I- Angles orientés - Maths Stan

2- Donner la mesure en degrés de chaque angle suivant : Point méthode : Conversion radians/degrés Pour convertir les radians en degrés (et vice versa), on utilise un tableau de proportionnalité , en considérant qu’un même angle mesure ou Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( ) 1- Donnons la mesure en radians de chaque angle

Trigonométrie et angles orientés A) Angles orientés

Mesure d’un angle, en radian, d’un angle orienté Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian) et un sens de parcours Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure précédente Ces mesures sont alors égales à 2 près, on dit alors qu’elles sont égales « modulo » Définition :

I- Angles orientés - Maths Stan

-Pour un angle donné, on peut parler de l’angle géométrique , lorsque sa mesure est positive Définition 3: 3 À tout point M du cercle trigonométrique C, on associe l’angle orienté (OI,OM) Parmi les mesures possibles de (OI,OM), il y a une unique mesure appartenant à l’intervalle ]−π,π]

Angles orientés ce

3 Angles orientés 3ème Sciences 09 – 10 www espacemaths com Remarque : La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs ( ¾ﬁu , ¾ﬁv ) est la mesure de l’angle géométrique

Angles orientés, Trigonométrie

1 2-Mesure d’un arc orienté: Définition : Les points A(a) et B(b) situé sur le cercle trigonométrique définissent un arc orienté ̂ Alors une mesure de cet arc est : ( ̂) [ ] II- Angles orientés : 2 1- Cas des vecteurs unitaires :

1ère S Ex angles orientés

1ère S Exercices sur les angles orientés 1 Sur un cercle C de centre O et de rayon 10 cm, un arc AB a pour longueur 5 cm Déterminer la mesure en degrés de l’angle géométrique AOB

Mesure principale d’un angle orient´e - Free

∈]−π;π] donc la mesure principale d’un angle de mesure α est ´egale a` 3π 5 Exercice 3 α = π+2×2π et π ∈]−π;π] donc la mesure principale d’un angle de mesure α est ´egale a` π Exercice 4 α = π 4 − 8 × 2π et π 4 ∈] − π;π] donc la mesure principale d’un angle de mesure α est ´egale a` π 4 Exercice 5

Angles orientés de vecteurs

1ère S Chapitre 2 : Angles orientés Exercices - p 4/6 Exercice 8 1) Considérons le triangle direct ABC ci-dessous La mesure de l'angle ^BAC est de 50° On dit que l'angle orienté de vecteurs (⃗AC;⃗AB) mesure −50° puisqu'on passe de ⃗AC à ⃗AB en tournant autour de A

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

3 Angles orientés 3 1 Le radian Définition 4 : Le radian est une unité de mesure d’un angle comme le degré Il est déﬁni comme la longueur de l’arc entre 2 points du cercle unité Le demi cercle unité a un longueur de π et donc correspond à un angle de π radian On a alors : 180˚=π rd La mesure en degré de 1 radian vaut donc

Optical Measurement and Interferometry

small angle θ, because of the presence of air damper between the two surfaces When light from a monochromatic light source is made to fall on an optical flat, which is oriented at a very small angle with respect to a flat reflecting surface, alternate band of light and dark patches are

[PDF] Mesure angle triangle EFG

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[PDF] mesure d'un angle

[PDF] Mesure d'un angle

[PDF] Mesure d'un angle

[PDF] Mesure d'un angle

[PDF] mesure d'un angle orienté

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[PDF] Mesure d'un parallélogramme

[PDF] Mesure d'un rectangle avec des inconnus

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II-- AAnngglleess oorriieennttééss

II-- 11 :: DDééffiinniittiioonnss

DDééffiinniittiioonn 11: À tout point A du cercle trigonométrique, on associe l"angle orienté ()OAOI, défini

par les vecteurs unitaires OIet OA tel que ()a=OAOI, et si B est le symétrique du point A par

rapport à (OI), on définit par les vecteurs unitaires OIet OB, l"angle orienté ()OBOI, tel que ()a-=OBOI,.

EExxeemmppllee :: Sur la figure suivante, on a : ()4

3,p=BCBA et ()4,p-=CDCB

DDééffiinniittiioonn 22: On dit que a est égale à b mmoodduulloo c, s"il existe un entier relatif k, tel que :

kcba=-

NNoottaattiioonnss ::

()cbamod= , ()cba= , []cba= , ()cbamodº , ()cbaº, ou encore []cbaº signifient que a est égale à b mmoodduulloo c. On peut enchaîner, ces égalités et n"indiquer, qu"à la fin []c( mmoodduulloo c). pa=[]p2.

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RReemmaarrqquueess:: - Ainsi, on peut associer à l"angle orienté ()a=OAOI,, d"autres mesures comme , ()pa2,-=OAOI , ()pa4,+=OAOI , ou encore ()a=OAOI,[]p2.

- ()0,=OIOI []p2

-Pour un angle donné, on peut parler de l"angle géométrique, lorsque sa mesure est positive.

DDééffiinniittiioonn 33: À tout point M du cercle trigonométrique C, on associe l"angle orienté ()OMOI,

Parmi les mesures possibles de ()OMOI,, il y a une unique mesure appartenant à l"intervalle ]]pp,-. Cette mesure est appelée la mesure principale (en radian) de l"angle orienté ()OMOI,.

CCoommmmeenntt ccaallccuulleerr llaa mmeessuurree pprriinncciippaallee dd""uunn aannggllee ddoonnnnéé ??

EExxeemmppllee :: Calculer la mesure principale de l"angle dont une mesure est donnée par 4 23p .
SSoolluuttiioonn :: On sait que les autres mesures de cet angles sont de la forme ppk24 On a donc parmi toutes les valeurs possibles de k, une qui vérifie, l"inéquation : 4 232
4 232
4

23ppppppppp-£<--Û£+<-kk

Ou encore

4 192
4

27ppp-£<-k, en multipliant tous les membres de cette inéquation par :p2

1, on trouve : 8 19 8

27-£<-k. Or, ,...38

27-»- et ,...28

19-»-. Donc le seul entier vérifiant k

dans l"inéquation précédente est -3, d"où ( )4324

23ppp-=´-´+. Donc la

la mesure principale de 4

23p est 4

p-. EExxeerrcciiccee 11:: Calculer la mesure principale de l"angle dont une mesure est donnée par 3

113p- .

SSoolluuttiioonn ::

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VVooiiccii ll""aallggoorriitthhmmee eett llee pprrooggrraammmmee dduu ccaallccuull ddee llaa mmeessuurree pprriinncciippaallee dd""uunn aannggllee ddoonnnnéé ::

Variables : ϕ, θ, k et t sont des nombres

Entrées

Introduire mesure de l"angle

Traitement

0¬k

Tant que t>

p ; (SSoouuss AAllggoobbooxx,, llee nnoommbbrree p eesstt ddééffiinnii ppaarr MMaatthh..PPII)

p2-¬tt

1-¬kk

Fin Tant que

Tant que t

p2+¬tt

1+¬kk

Fin Tant que

pjq´´+¬k2

Sorties

Afficher k

Afficher

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II-- 11 :: PPrroopprriiééttééss

II-- 11..11:: RReellaattiioonn ddee CChhaasslleess TThhééoorrèèmmee 11 ((aaddmmiiss)): Pour tous vecteurs u, v et w, on a : ()()()wuwvvu,,,=+ []p2 Et ceci, quelques soient les mesures des angles ()vu, et ()wv,. II-- 11..22:: PPrroopprriiééttééss ddeess aanngglleess oorriieennttééss

TThhééoorrèèmmee 22: Pour tous vecteurs u , v et w, et tous réels non nuls k et k" on a :

1) ()()vuuv,,-= []p2 ;

2) Si 0<¢kk, alors :()()p+=¢vuvkuk,, []p2 ,

3) Si 0>¢kk, alors :()()vuvkuk,,=¢ []p2 ;

4) ()0,=vu []p, si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires.

DDéémmoonnssttrraattiioonn :: 1)

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3) 4)

CCoonnssééqquueenncceess: ()()vuvu,,=-- []p2 ()()p+=-vuvu,, []p2 ()()p+=-vuvu,, []p2

RReemmaarrqquueess:: - ()0,=vu ou p []p2 ⇔ ()0,=vu []p; - ()22,ppouvu-= []p2 ⇔ ()2,p=vu []p . EExxeerrcciiccee 22::On considère deux points A et B du plan tels que 5=AB.

On place :

⊲ le point E, tel que AEAB= et ()4

31,p=AEAB []p2 ;

⊲ le point D, tel que le triangle ADE soit équilatéral avec ()3

53,p-=EDEA []p2 ;

⊲ le point F, tel que 5=DF et ()12

11,p-=DEDF []p2.

11°° Faire une figure précise.

22°° Démontrer que les droites (AB) et (DF) sont parallèles.

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SSoolluuttiioonn::

11°°

22°°

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EExxeerrcciiccee 33:: Donner la mesure principale de ()zu, dans les cas suivants : ()8

47,2p=-vu []p2 , ()3

13,p=-wv []p2 , ()6

57,p=--zw []p2.

SSoolluuttiioonn ::

IIII-- LLiiggnneess ttrriiggoonnoommééttrriiqquueess ((RRaappppeellss))

IIII-- 11 :: LLeess ccoooorrddoonnnnééeess dd""uunn ppooiinntt dduu cceerrccllee ttrriiggoonnoommééttrriiqquuee

DDééffiinniittiioonn 44: On dit que le repère ()jiO,; est un repère orthonormal direct, si les deux

conditions suivantes sont vérifiées simultanément : 1==ji ; ()[ ]pp22;=ji

TThhééoorrèèmmee 33 ((aaddmmiiss)):Soit M un point d"un cercle trigonométrique C, de centre O, associé à un

repère ()jiO,; tel que ()[]p2,xOMOI=, alors les coordonnées du point M sont données par ()xxMsin,cos.

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CCoonnssééqquueenncceess ::11))On a vu que si x est une mesure de l"angle ()OMOI,, alors tout nombre réel

()xkxcos2cos=+p et ()xkxsin2sin=+p

22)) Les coordonnées de tout point M du cercle trigonométrique, varient entre -1 et 1, donc

1cos1££-x et 1sin1££-x

IIII-- 22:: AAnngglleess aassssoocciiééss TThhééoorrèèmmee 44 ((aaddmmiiss)): Pour tout réel x : xxxxxxxxxxxx coscos,sinsincoscos,sinsincoscos,sinsin pppp Voici quelques angles et leurs sinus et cosinus associés:

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1. IIII-- 33:: AAnngglleess ccoommpplléémmeennttaaiirreess

TThhééoorrèèmmee 55 ((aaddmmiiss)): Pour tout réel x : xxxxxxxx sin

2cos,cos2sinsin

2cos,cos2sin

pppp

EExxeemmppllee :: Calculer : 

=67cos265sin562cos46sin ppppA.

SSoolluuttiioonn:: 

=67cos265sin562cos46sin ppppA ; =6cos26sin53cos46sin ppppppA car 66

5ppp-= ;

=6cos26sin53cos46sinppppA ; -=pppA.

VVooiiccii qquueellqquueess mmeessuurreess rreemmaarrqquuaabblleess eett lleeuurrss lliiggnneess ttrriiggoonnoommééttrriiqquueess ::

Mesure de

l"angle en radian 0 6 p 4 p 3 p 2 p Sin x 0 2 1 2 2 2 3 1 Cos x 1 2 3 2 2 2 1 0 Tan x 0 33 31=
1 3

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IIII--44 IIddeennttiittééss ttrriiggoonnoommééttrriiqquueess ffoonnddaammeennttaalleess

On sait déjà que pour tout réel x, on a :

1cossin22=+xx.

xx cos sintan= et xx22cos

1tan1=+ .

EExxeerrcciiccee ccoorrrriiggéé :: Démontrer l"égalité suivante, pour tout nombre réel t:

2sin

4t - 2cos4t + 4 cos2t = 2

SSoolluuttiioonn:: Pour démontrer cette égalité trigonométrique, on transforme le 1er membre (que est le

membre le plus complexe de l"égalité) par des manipulations algébriques afin qu,il soit identique

au 2 nd membre :

2cos4cos2sin21cossin2cos4cos2sin2cos2sin2cos4cos2sin2cos4cos2sin2cos4cos2sin2) identitél" après(D" cos4

xxxxxxxxxxxxxxxxbaxxxxxxxxxxx

44 344 2144 344 21

hosseini@maths-stan.fr Page 11 Cours : Trigonométrie

IIIIII-- 11.. FFoorrmmuulleess dd""aaddddiittiioonn TThhééoorrèèmmee 66:: Pour les réels a et b , on a : ()() ( ) ( )babababababababababababa

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

hosseini@maths-stan.fr Page 12 Cours : Trigonométrie

IIIIII--22.. FFoorrmmuulleess ddee dduupplliiccaattiioonn ((FFoorrmmuulleess ddee CCaarrnnoott))

TThhééoorrèèmmeess 77:: PourÎxℝ: ()xxxcossin22sin= ()xxx22sincos2cos-= ou ()1cos22cos2-=xx ou ()xx2sin212cos-= ou encore 2

2cos1sin

2cos1cos22xxetxx-=+=

( )x xx 2tan1 tan22tan -= avec x≠ppk+2 et x≠24

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

EExxeerrcciiccee 44:: Calculer les lignes trigonométriques de 12 p.

SSoolluuttiioonn::

hosseini@maths-stan.fr Page 13 Cours : Trigonométrie

Lorsque cela a un sens :

( )( )btanatan btanatanbatan; btanatan btanatanbatan+-=--+=+11 (H.P.)

Pour tous réels a et b , on a :

( ) ( )[ ]bacosbacosbcosacosbasinbasinbcosasinbacosbacosbsinasin ++-=-++=+--=2 12121
(H.P.)

222222222222

(H.P.)

IIVV-- ÉÉqquuaattiioonnss,, iinnééqquuaattiioonnss ttrriiggoonnoommééttrriiqquueess

IIVV-- 11.. ÉÉqquuaattiioonnss ttrriiggoonnoommééttrriiqquueess

TThhééoorrèèmmee 88 ((aaddmmiiss)): On définit les équations trigonométriques élémentaires :

xaavecax

2tantan2

,2"2,2, sinsin11sin,0"2,2, coscos11cospppggppbpbppb bpapapa a CCaass ppaarrttiiccuulliieerrss :: Pour tout réel x et tout entier relatif k : ppkxxcos+=Û=20 ; pkxxsin=Û=0 pkxxcos21=Û= ; ppkxxsin221+=Û= ppkxxcos21+=Û-= ; ppkxxsin221+-=Û-=

hosseini@maths-stan.fr Page 14 Cours : Trigonométrie

EExxeerrcciiccee ccoorrrriiggéé :: Résoudre dans ℝ puis dans [[pp,- : ( )2

13sin-=x.

SSoolluuttiioonn::

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

[PDF] I- Angles orientés - Maths Stan

II-- AAnngglleess oorriieennttééss

II-- 11 :: DDééffiinniittiioonnss

3,p=BCBA et ()4,p-=CDCB

NNoottaattiioonnss ::

23ppppppppp-£<--Û£+<-kk

Ou encore

27ppp-£<-k, en multipliant tous les membres de cette inéquation par :p2

27-£<-k. Or, ,...38

27-»- et ,...28

19-»-. Donc le seul entier vérifiant k

23ppp-=´-´+. Donc la

23p est 4

113p- .

SSoolluuttiioonn ::

Variables : ϕ, θ, k et t sont des nombres

Entrées

Introduire mesure de l"angle

Traitement

0¬k

Tant que t>

1-¬kk

Fin Tant que

Tant que t

1+¬kk

Fin Tant que

Sorties

Afficher k

Afficher

II-- 11 :: PPrroopprriiééttééss

1) ()()vuuv,,-= []p2 ;

2) Si 0<¢kk, alors :()()p+=¢vuvkuk,, []p2 ,

3) Si 0>¢kk, alors :()()vuvkuk,,=¢ []p2 ;

4) ()0,=vu []p, si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires.

DDéémmoonnssttrraattiioonn :: 1)

On place :

31,p=AEAB []p2 ;

53,p-=EDEA []p2 ;

11,p-=DEDF []p2.

11°° Faire une figure précise.

22°° Démontrer que les droites (AB) et (DF) sont parallèles.

SSoolluuttiioonn::

11°°

22°°

47,2p=-vu []p2 , ()3

13,p=-wv []p2 , ()6

57,p=--zw []p2.

SSoolluuttiioonn ::

22)) Les coordonnées de tout point M du cercle trigonométrique, varient entre -1 et 1, donc

1cos1££-x et 1sin1££-x

1. IIII-- 33:: AAnngglleess ccoommpplléémmeennttaaiirreess

2cos,cos2sinsin

2cos,cos2sin

EExxeemmppllee :: Calculer : 

SSoolluuttiioonn:: 

5ppp-= ;

Mesure de

1cossin22=+xx.

1tan1=+ .

4t - 2cos4t + 4 cos2t = 2

2cos4cos2sin21cossin2cos4cos2sin2cos2sin2cos4cos2sin2cos4cos2sin2cos4cos2sin2) identitél" après(D" cos4

44 344 2144 344 21

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

2cos1sin

2cos1cos22xxetxx-=+=

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

SSoolluuttiioonn::

Lorsque cela a un sens :

Pour tous réels a et b , on a :

222222222222

2tantan2

13sin-=x.

SSoolluuttiioonn::