SERIE 13 Trigonométrie – Mesure d’angle

Trigonométrie – Mesure d’angle La mesure de l’angle Les quatre unités principales de mesure d'un angle géométrique sont le degré, le radian, le grade et le tour Le degré peut être utilisé avec deux sous-unités : minute, seconde Une mesure peut donc être un nombre décimal ou un nombre en degré, minute, seconde Le degré :

Les unités dangles

Les unités d'angles 1 Le degré: il est défini comme étant le 1/180 de l'angle plat Ex: L'angle droit = 90 o 2 Le radian (rad): on obtient plus de précision et d'exactitude avec le radian 1 radian = 57,295 o et 2 π = 360 o 3 Le grade: Un angle plein équivaut à 400 grades Les géodésiens utilisent cette unité de mesure

Halwar Groupe Scolaire

Pour connaître la mesure d'un angle, on utilise le rapporteur Le degré (0) et le grade (gr) sont des unités de mesure d'angle Un angle droit mesure 900 ou 100 gr Utilisation du rapporteur gradué en de ré: On note 300 66 Chapitre 5 LES ANGLES A - RECOMMANDATIONS 1 INTRODUCTION GÉNÉRALE

Degré, radians, arcs et sinusoïdes

Un radian est la mesure d’un angle au centre d’un cer-cle qui sous-tend un arc de longueur égale au rayon Puisque la circonférence d’un cercle vaut 2 fois la mesure du rayon, un tour complet vaut 360° ou 2 ra-dians (Mathophilie 536, p 357) Cette définition est relativement standard Le manuel Ré-

Angles and Algebra Examples - Beacon Learning Center

third angle is twice the sum of the first two angles Find the measure of each angle 29 One of two complementary angles measures 30o more than three times the other Find the measure of each angle 30 Find the measure of angle that is 10o more than its complement 31 Find the measure of an angle that is 30o less than its supplement 32

Lesson 5: Writing and Solving Linear Equations

4 One angle measures nine more than six times a number A sequence of rigid motions maps the angle onto another angle that is described as being thirty less than nine times the number What is the measure of the angle in degrees? 5 A right triangle is described as having an angle of measure six less than negative two times a number, another angle

II le cercle trigonométrique abscisses curvilignes : égalité

Si un angle sa mesure est x et y et z respectivement en degré et radian et grade alors x y z = 180 200 c Exercice : 1 Exprimer en radian et en grade la mesure suivante : 60 2 Exprimer en radian et en degré la mesure suivante : 150 gr B Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites : a Définition : Soit OA et OB

I- DECOUVERTE DE LA ROTATION A- D’ PISA

Une mesure d’angle Un sens Le triangle ′′′ est l’image du triangle "# par la rotation de centre O et de mesure d’angle 60° dans le sens anti horaire Remarques : Une rotation d’angle 180° est une symétrie centrale L’image du point O par une rotation de centre O est le point O lui-même

I Le radian

Le cercle de rayon 1 a pour longueur 2π , un angle plat intercepte un arc de longueur π radian Conversions : Il y a proportionnalité entre la mesure en degré, en grade et en radian d'un même angle Autrement dit a π= b 180 = c 200 où a est la mesure en degré, b en radian et c en grade angle plein plat droit nul mesure en degré 180 60

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Exercices de math ECG J.P. - 2ème A

SERIE 13

Trigonométrie - Mesure d'angle

La mesure de l'angle

Les quatre unités principales de mesure d'un angle géométrique sont le degré, le radian, le grade et

le tour. Le degré peut être utilisé avec deux sous-unités : minute, seconde. Une mesure peut donc être un nombre décimal ou un nombre en degré, minute, seconde.

Le degré :

La mesure des angles en degrés correspond au plus ancien des modes de division du cercle. Il consiste à rapporter l'unité d'angle à une unité d'arc qui est la 360ème partie du cercle : arc ou angle-unité sont alors dits de un degré et noté 1°.

Par définition on a:

·Il y a 90 degrés dans un Droit. Ce qui s'écrit: 1D=90°. ·Il y a 60 minutes d'angle dans un degré. Soit: 1°=60' (Il faut remarquer apostrophe qui exprime les minutes d'angle et à ne pas confondre avec une durée).

Remarque: 1'=1°/60 ou 1/60 de degré

·Il y a 60 secondes d'angle dans une minute d'angle : 1'=60" Donc: 1°=60 x 60=3600" (60' valant chacune 60").

Remarque: 1"=1°/3600 ou 1'/60.

Exemples:

1)45°20'50" soit 45·3600 + 20·60 + 50 = 163250"

La manipulation de ces unités se fait comme avec les unités de durée. Aussi : 45°20'50" = 45° + 20/60 + 50/3600 = 45 + 0,333333 + 0,0138 = 45,347°

2)En général, nous n'utilisons pas les sous multiples du degré (écriture sexagésimale). Nous

préférons utiliser une écriture décimale.

Par exemple: 30,5° ne signifie pas 30° et 5 minutes d'angle mais 30° et 0,5° = 0,5 · 60 = 30'

finalement: 30,5° = 30°30'

Exercice 1 :

Effectuer les conversions demandées.

a)37 42' ....................° = °b)

47,25 ........ .......'.......''° = °c)

120 35'42'' ....................° = °d)

20,32 ........ .......'.......''° = °Remarque :

·La navigation maritime à conduit à la mesure en gradient où 90° = 100 gr

·Le tour utilisé conjointement avec les vitesses angulaire est largement utilisé en mécanique

donne que 1 tour = 360°

Série 13 © A. Arnautovic -1-http://math.aki.ch/ ECG 2A

En premier lieu la nécessité du radian est du domaine de l'analyse (pour ne citer que les fonctions

trigonométriques). Néanmoins en géométrie la mesure des angles en radian simplifie

considérablement la relation entre la longueur d'un arc L et l'angle dont il rend la mesure α, en effet

un arc représente en effet autant de radian qu'il mesure de rayons.

Le radian :

Un radian, noté rad, est la mesure d'un angle au centre sous-tendu par un arc L égale au rayon du

cercle r. En comptant le nombre de reports qui seraient nécessaires pour couvrir le cercle entier on trouve

environ " 6 fois et 1 quart ». Rien d'étonnant, car c'est comme si on cherchait à mesurer la longueur

du cercle avec son rayon comme unité. 1 tour = 2πr ≈ 6,28r Si on prend le rayon pour unité de longueur on peut alors énoncer que :

" Sur un cercle unité, la mesure de la longueur d'un arc et celle de l'angle qui si rapporte expriment

le même nombre. »

Donc :360° = 2π rad.1 rad = 360

° ≈ 57,3°

Aussi :180° = π rad.

Remarque :

·L'expression d'un angle sans indication d'unité signifie une mesure en radian. La mesure en degré doit être expressément indiquée. ·Il est bien plus commode d'exprimer une mesure en radian par des facteurs de π que par un nombre décimal. Cela donne des divisions rationnelles du cercle. ·Le passage des degrés en radians et réciproquement est un simple exercice de proportion. rad. 180
x y p

°=°Exercice 2 :

Compléter le tableau suivant :

Radians

4 p 3 pπ3 2 p1,22,1 Représenter ensuite ces angles sur le cercle trigonométrique.

Application sur le secteur d'un disque :α en degrés α´ en radians

Aire :12 2

2'360A r rap a= × × =°Longueur :

2 '360L r rap a= × × × = ×°Exercice 3

Calculer l'aire et le périmètre de la figure suivante :

Exercice 4

Placer sur le cercle les points correspondants aux angles orientés dont les mesures α sont données

dans le tableau.

PointsABCDEFGHKL

Radians

3 4 p5 6 p4 3 p-13 3 p23 4 p-51p38 3 p-43 4 p28 6 p-11 2

r r

Vitesses angulaire & vitesse linéaire :

·La vitesse angulaire d'une roue qui tourne à vitesse constante est l'angle généré par unité de

temps du segment de droite allant du centre de la roue au point P sur la circonférence. t qw= Elle peut-être exprimée [rad/s], [rad/min], [tours/m], ... ·Or la vitesse linéaire d'un point P sur cette même circonférence est la distance " horizontale » ou linéaire parcourue par unité de temps. dvt=Elle peut-être exprimée [m/s], [km/h], ...

Remarque :

·La fréquence est définie par :

2fw p=

·La vitesse angulaire ne dépend par du diamètre de la roue, il n'en est pas de même de la vitesse

linéaire. ·L'utilisation de la longueur d'un segment permet de passer de l'une à l'autre. : v rw= ×Exercice 5* :

Supposons qu'une roue de voiture de 50 cm de diamètre tourne à la vitesse constante de 1600 tpm.

a)Donner la vitesse angulaire de la roue. b)Trouver la vitesse linéaire.

Exercice 6* :

Sur la figure ci-contre on voit la mécanique d'une bicyclette avec

113r=cm et 25r=cm.

Un cycliste expérimenté peut atteindre une vitesse de 64 km/h. Si la roue a un diamètre de 71 cm évaluer la vitesse en tours/min du pignon avant pour atteindre une telle vitesse linéaire.

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Exercices de math ECG J.P. - 2ème A

SERIE 13

Trigonométrie - Mesure d'angle

La mesure de l'angle

Le degré :

Par définition on a:

Remarque: 1'=1°/60 ou 1/60 de degré

Remarque: 1"=1°/3600 ou 1'/60.

Exemples:

1)45°20'50" soit 45·3600 + 20·60 + 50 = 163250"

2)En général, nous n'utilisons pas les sous multiples du degré (écriture sexagésimale). Nous

Exercice 1 :

Effectuer les conversions demandées.

47,25 ........ .......'.......''° = °c)

120 35'42'' ....................° = °d)

20,32 ........ .......'.......''° = °Remarque :

Le radian :

Donc :360° = 2π rad.1 rad = 360

° ≈ 57,3°

Aussi :180° = π rad.

Remarque :

°=°Exercice 2 :

Compléter le tableau suivant :

Radians

Aire :12 2

2'360A r rap a= × × =°Longueur :

2 '360L r rap a= × × × = ×°Exercice 3

Exercice 4

PointsABCDEFGHKL

Radians

Vitesses angulaire & vitesse linéaire :

Remarque :

·La fréquence est définie par :

2fw p=

Exercice 6* :

113r=cm et 25r=cm.

Indications :

On peut travailler avec

1q et 2q en radians et rendre compte de leur relation avec 1r et 2r .

Solutions :

Ex 1 :

Ex 2 :

A= 59,06 cm²

P =33,84 cm

Ex 5 : a) 167,5 rad/s ; b) 150,8 km/h

Ex 6 : 184 tours/min