La m ethode de Cardan et les imaginaires
La m ethode de Cardan et les imaginaires Daniel PERRIN 1 La m ethode de Cardan Il s’agit d’une m ethode de r esolution exacte des equations du troisi eme degr e \par radicaux", analogue de la r esolution de l’ equation du second degr e ax2 +bx+c= 0 par la formule x= b+ p b2 4ac 2a, mais qui fait intervenir des racines carr ees et cubiques
II ableauT de ariationsv
I Méthode de Cardan 1 Question de cours Rappeler la dé nition du nombre complexe j, l'expression de U 3 avec jainsi que le résultat de cours sur l'ensemble des racines cubiques d'un nombre complexe non nul Par exemple, si pest un nombre complexe non nul, quel est l'ensemble des racines cubiques de p3 27? Aucune démonstration n'est
POOTT APPOOUURRRRI I T:: CACCTTIIVVIITTÉÉSS HHISSTOORRIICOO
obtenu la formule de Cardan Or si l'on applique cette méthode à l'équation x3 – 15x = 4, dont 4 est une solution simple, on obtient l'équation du second degré de variable U : U² – 4 U + 125 = 0 de discriminant = – 484, et donc de solutions 2 + – 121 et 2 – – 121 d'où la solution finale : x = 3
NOMBRES COMPLEXES (Partie 1)
libri" dans lequel il présente des nombres de la forme a+b−1 et poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré A cette époque, on sait manipuler les racines carrées d’entiers négatifs mais on ne les considère pas comme des nombres
LES ALGEBRISTES ITALIENS DE LA RENAISSANCE ET L’INTRODUCTION
4 Conscient de l’effort qu’il demande à ses lecteurs, Cardan propose une démonstration dans laquelle il écrit en substance , qui est : « mais, comme le reste est moins [que zéro], tu imagineras m 15 la différence de 25 avec le quadruple de 10, que tu dois ajouter et retrancher de 5, tu auras ce qui était cherché, à savoir 5 p m 15R x
Introduction aux nombres complexes : De la résolution des
Mais dans des circonstances un peu scabreuses, Cardan réussit à le convaincre de lui révéler sa méthode, lui promettant sur la bible de la garder secrète, et de ne rien publier sans son accord De retour à Milan, Cardan se met alors à tester les formules, elles fonctionnent à merveille mais il lui manque tout de même une démonstration
Classes de première et de terminale - Collège Sévigné
Résolution des équations polynomiales de degré 3 par la méthode de Cardan Combinatoire En classe de Première : Principe d’inclusion-exclusion pour deux ou trois ensembles Nombre d’arrangements Nombre de combinaisons et triangle de Pascal Principe des tiroirs Application au calcul de probabilités
Les nombres complexes 2012 - WordPresscom
bloc-notes du feu Del Ferro Cardan pensa que bien qu'il ait juré de ne jamais révéler la méthode de Tartaglia, personne ne l'empêcherait de publier celle de Del Ferro En 1 545, Cardan publia "Arts Magna" bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3° et 4° degré
Exo7 - Cours de mathématiques
en une seule nuit Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan » Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmé-tique des polynômes
Note sur la résolution de l’équation de degré 3
Cette démonstration est fortement inspirée de celle que l’on peut trouver dans les livres, forts classiques, de Ramis, Deschamps, Odoux [Ramis et al , 2001], ou de Go-zard [Gozard, 1997] Historiquement, elle n’a pas beaucoup changé depuis sa découverte par Cardan et Tartaglia au XVIeme siècle [Cardan, 1545]
[PDF] méthode de composition histoire
[PDF] méthode de composition militaire
[PDF] méthode de conservation des aliments tableau
[PDF] méthode de contraception : le diaphragme
[PDF] méthode de correction
[PDF] methode de cramer pour resoudre un systeme
[PDF] Methode de cryptage
[PDF] méthode de datation absolue
[PDF] Méthode de dichotomie
[PDF] méthode de dichotomie algorithme
[PDF] méthode de dichotomie exemple
[PDF] methode de dichotomie exercice corrigé pdf
[PDF] méthode de dichotomie exercices corrigés pdf
[PDF] méthode de dichotomie pdf
Introduction aux nombres complexes : De la résolution des équations
à l'invention des nombres complexes
" Les chemins de la crĠation sont imprĠǀisibles et rĠsultent parfois d'audacieuses transgressions des rğgles et saǀoirs Ġtablis »
(Jean Le Rond d'Alembert)ĠloignĠes du problğme initial. C'est le cas des nombres complexes. Ici, le problème initial est la
Partie 1 : Les équations du second degré (Moyen âge) Au Moyen-Age, les savants arabes reprennent et enrichissent les écrits grecs et indiens. Ils progressent notamment dans la résolution des équations.Les méthodes utilisées sont géométriques ou algorithmiques et ont peu de rapport avec notre
écriture algébrique actuelle. Les mathématiciens assimilaient les longueurs à des nombres pour
résoudre des équationsAinsi au IXe siècle à Bagdad, Al-Khwarizmi (vers 780-850) publie un manuscrit " Abrégé de calcul
par la restauration [Al-jabr] et la comparaison [al-muqabala]. solution.En particulier, Al-Kwarizmi traite des équations du second degré. Par exemple il reprend un vieux problème grec (Diophante) :
trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit. Il constate que cela revient à résoudre une équation du second
degré. Question 1 : Trouver 2 nombres dont la somme est 4 et le produit vaut 1.résoudre des problèmes sera de se ramener à la recherche de deux nombres connaissant leur somme et leur produit.
Partie 2 : Les équations du troisième degré (renaissance italienne) -(1545)Les mathématiciens arabes des XI° et XII° siècle ont essayé de résoudre " par la géométrie » des équations du troisième degré.
Dans la première moitié du XVIe siècle, en Italie, des savants (del Ferro, Fior, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli) cherchent à
résoudre les équations du 3e degré.d'équations du 3ème degré. Peu aǀant sa mort, il montre ses mĠthodes ă l'un de ses Ġlèves, Antonio Maria Fior.
un poste ă l'uniǀersitĠ. En 1535, Fior lance un défi à Niccolo Fontana, dit Tartaglia (1499-1557), mathématicien bègue mais ayant
une certaine réputation. Fior ne sait résoudre que les équations du type ݔଷܽݔൌܾ où ܽ et ܾ
les nombres nĠgatifs n'edžistent pas). A force de recherche, Tartaglia trouve la procédure générale de résolution des équations
de 3ème degré, et parvient peu avant le dénouement du concours à résoudre tous les problèmes qui lui ont été posés De son
côté, Fior, plutôt médiocre, ne vient pas à bout des problèmes variés soumis par Tartaglia. Ce dernier remporte brillamment le
concours.souhaitant écrire lui-même un ouvrage sur le sujet. Mais dans des circonstances un peu scabreuses, Cardan réussit à le
convaincre de lui révéler sa méthode, lui promettant sur la bible de la garder secrète, et de ne rien publier sans son accord.
De retour à Milan, Cardan se met alors à tester les formules, elles fonctionnent à merveille mais il lui manque tout de même une
amenés à rencontrer le gendre de Scipione Del Ferro, Annibale Dela Nave (1500 - 1558), et découvrent alors d'anciennes notes
premier certaines des formules données par Tartaglia permettant de résoudre les équations du 3ème
degré.Cardan s'estime alors délivré de sa promesse, et ne tarde pas à publier un grand traitĠ d'algğbre,
largement enrichies, en donnant une étude complète des équations de degré 3.Tartaglia, se sentant flouĠ, proteste. S'en suit alors une controǀerse entre les deudž hommes, dans
laquelle Tartaglia perdra une partie de sa réputation.Méthode dite de Cardan pour résoudre une équation du type : ࢞ ൌ ࢞ où et sont
deux entiers naturels.Il souhaite par exemple résoudre ݔଷൌ͵ݔͻͳ. L'idĠe est de chercher ݔ en l'Ġcriǀant ݔൌݑݒ.
Question 2 : Pourquoi, dans ces conditions, suffit-il d'aǀoir ݑଷݒଷൌͻͳ et ݑݒൌͳ- ?
La deudžiğme condition peut s'Ġcrire ݑଷݒଷൌͳ-ଷ, et ainsi ݑଷet ݒଷ sont donnés par leur somme et leur produit.
On sait donc les calculer ce qui fournit ݑ et ݒ puis ݔ. nombre NommĠe aujourd'hui formule de Tartaglia-Cardan.La notation ξܽయ désigne la racine cubique de ܽ, c'est-à-dire le nombre dont le cube est ܽ
Approfondissement : retrouver la formule de Tartaglia-CardanQuestion 3 :
Partie 3 ͗ L'audace de Bombelli qui utilise des " nombres impossibles » (1572)Rafael Bombelli (1526 - 1572), ingénieur italien, admirateur de Cardan, fut l'un des grands algĠbristes italiens du yVIème siècle. Il
une formulation plus abstraite et théorique de l'algèbre.impossible selon la règle des signes ͗ le carrĠ d'un nombre positif est positif tout comme le carrĠ d'un nombre nĠgatif. Aucun
nombre multiplié par lui-mġme ne peut donner un nombre nĠgatif. Ces racines carrĠes n'edžistent tout simplement pas.
Il dĠcide d'utiliser la méthode de Cardan en faisant comme si un nombre négatif pouvait être le " carré de quelque chose » ! il va
utiliser ξെͳ-ͳ (écriture algébrique actuelle, dont ne disposait pas Bombelli), sans chercher à donner un sens à ce nombre, mais
comme un outil de calcul. Une nouvelle espèce de nombre est née. que ൫-ξെͳ൯3. De la même façon, calculer ൫-െξെͳ൯
Déterminer les valeurs de ܽǡܾǡܿ
Conclusion : Bombelli a ainsi imaginé une chose qui n'est ni un nombre positif, niun nombre négatif, mais dont le carré vaut -1, et qui est très utile pour trouver les solutions réelles d'une équation. Il nomme
cette chose " piu di meno » (plus de moins). Nous la noterons provisoirement ξെͳ. Ainsi : ൫ξെͳ൯
Traduction :
Piu : (ou ͳ) Meno : െ (ou െͳ) Uia : multiplié par Fà : faitainsi la méthode de Cardan (A cette époque les nombres négatifs étaient aussi des quantités impossibles).
Peu à peu, ces nouvelles choses vont être utilisées dans les calculs algébriques, et pas seulement pour résoudre les équations de
degré 3. Descartes les nommera, dans sa Géométrie, en 1637, "quantités imaginaires". D'autres continueront longtemps de les
nommer "quantités impossibles".Dans un texte de 1774 Euler écrit :
"Maintenant comme െܽ signifie autant ܽensemble les racines des facteurs, il s'ensuit que la racine de ܽ multiplié par െͳ, ou ξെܽ est autant que ξܽ
Or ξܽ
2. Or, ൫ξെͳ൯
Euler prend conscience de cette difficulté et juge cette notation absurde. En 1777, il introduit une notation pour ce nombre dont