Corrige de l exercice sur la dichotomie
Lycée Berthelot L Gulli Page 1 sur 1 Corrigé exercice Dichotomie Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d’une équation f( x)=0 Théorème : Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a0;b 0]telle que
Analyse Num´erique Corrig´e du TD 5 - unicefr
ferm´e de R 2 1 M´ethode de dichotomie Rappeler la m´ethode de dichotomie qui permet d’approcher ce z´ero de f Faites une illustration graphique La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2 1 Soit [a,b] un intervalle ferm´e de R et f : [a,b] → R une fonction continue
ur 12 - univ-tlnfr
Méthode de dichotomie et méthode de LAGRANGE Soit deux points a0 et b0 (avec a0 ˙b0) d’images par f de signe contraire (i e f (a0)¢f (b0) ˙0) En partant de I0 ˘[a0,b0], les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de sous-intervalles Ik ˘ [ak,bk], k ‚0, avec Ik ‰Ik¡1 pour k ‚1
CPI1 - ANALYSE 1
autrement dit la m ethode de point xe assign ee est la m ethode de Newton (qu’on sait ^etre d’ordre de convergence egale a 2 lorsque la racine est simple) Exercice 4 2 Correction : 1 On cherche les z eros de la fonction f(x) = x2 2 M ethode de dichotomie : en partant de I 0 = [a;b], la m ethode de dichotomie produit une suite de sous
Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires
Fig 3 1 – méthode de dichotomie Soit le polynôme P(x) = 10−7 ∗ x3 + x2 − 1 Utilisons le script roots de matlab Nous obtenons 3 racines ans =-9 999999999999898e+06-1 000000050000001e+00 9 999999500000014e-01 Si nous voulons maintenant utiliser la méthode de dichotomie précédente pour calculer ces ra-cines, nous devons d’abord
EXAMEN 1 - Corrigé
(iii) g0 1 (x) = ex Si1 x 2,e1 ex e2 donclaméthodedepointfixediverge g0 2 (x) = 1 2+x 1 x 2 ()3 x+ 2 4 1 3 1 x+ 2 1 4 donc la méthode de point fixe converge car
Chapitre 1: Résolution d’équations à l’aide de méthodes
§ 1 2 La dichotomie Soit Rappel : f une fonction continue sur [a; b] telle que sgn(f ( )) ≠ sgn( ( )) On se propose de déterminer un zéro de f compris entre a et b La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles emboîtés qui contiennent le zéro de f cherché On calcule x 1 = 1 2 (a+b), le milieu de l
Zéros des fonctions - Exo7 : Cours et exercices de
LA DICHOTOMIE 4 1 4 Calcul de l’erreur La méthode de dichotomie a l’énorme avantage de fournir un encadrement d’une solution ‘de l’équation (f (x) = 0) Il est donc facile d’avoir une majoration de l’erreur En effet, à chaque étape, la taille l’intervalle contenant ‘est divisée par 2
SérieTPN=˚2(Solution) Résolutionnumériqued’équationsnonlinéaires
Appliquer la méthode de dichotomie, pour trouver la valeur approchée de la racine de f(x) définie dansl’exercice2 Solution
CHOKRI, BEKKEY; ZOUHAIER, HELALI
Dans ce document, nous allons traiter quatre méthodes : la méthode de dichotomie, de point fixe, de Newton et de Lagrange Pour le faire, nous avons besoin de quelques rappels d’analyse 1 3 Rappels d’analyse Une équation de type f(x) = 0 peut être écrite d’une manière équivalente sous la forme de g(x) = x
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Chapitre 3Résolution numérique des équations nonlinéairesSommaire
3.1 Méthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.2 Méthodes itératives pour la résolution de F(x)=x . . . . . .. . . . 4
3.3 Facteur de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Méthodes itératives à 1 pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.1 Méthodes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4.2 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5 Méthodes multi-point : méthode de la sécante et regula falsi . . . 11Soitfune fonction continue surR. Nous cherchons à localiser les zéros def, c"est-à-dire les
valeurs dextelles quef(x) = 0. En généralxne peut pas être calculé explicitement (penser à
e xtgx-4 = 0!). On cherche donc à calculerxde façon approchée.3.1 Méthode de dichotomie
Elle repose sur le théorème des valeurs intermédiaires : unefonction continuefprend toutes les valeurs comprises entre ses bornes. Donc si une fonctiondéfinie sur[a,b]prend des valeursde signe opposé enaetb, elle s"annule entre les deux. Écrivons un script matlab élémentaire.
function [c,nit]= dicho(f,a,b) % dicho calcule un zéro de la fonction f dans l"intervalle [a,b] % au moyen de la méthode de dichotomie % juqu"à la précision machine c=(a+b)/2; nit=0; 1 while c>a & cFig.3.1 - méthode de dichotomie
Soit le polynômeP(x) = 10-7?x3+x2-1. Utilisons le scriptrootsdematlab. Nous obtenons 3 racines ans = -9.999999999999898e+06 -1.000000050000001e+009.999999500000014e-01
Si nous voulons maintenant utiliser la méthode de dichotomie précédente pour calculer ces ra-
cines, nous devons d"abord les localiser. Nous calculons 2P(-107) =-1,P(-12107) = 1.249999999999900e+ 13.
Donc-107< x1<-1
2107.P(-2) = 2.999999200000000e+ 00,P(0) =-1.
Donc-2< x2<1,
P(0) =-1,P(1) = 1.000000000583867e-07.
Donc0< x3<1.
Nous appliquons alors dicho.
[c,nit]=dicho("f1",a,b)1.a=-1.0e+07;b=-0.5e+07;c = -9.999999999999903e+06nit = 51.
2.a=-2;b=0;c = -1.000000050000006e+00nit = 53
3.a=0;b=1;
c = 9.999999500000063e-01 nit =53 Remarquons qu"il a fallu 53 itérations pour calculerx3qui est très proche de l"une des bornes de l"intervalle! Mais peut-être n"avons nous pas besoin de la précision machine. Revenons surla méthode. Supposons que nous avons isolé un intervalle]a,b[dans lequel il y a un seul zéro
def.1. Sif(a+b
2) = 0, alorsx=a+b2,
2. Sif(a)f(a+b
2)<0, alorsx?]a,a+b2[,
3. Sif(a)f(a+b
2)>0, alorsx?]a+b2,b[.
Nous créons ainsi un nouvel intervalle]a1,b1[auquel appartientxet dont la longueur est lamoitié de celle de]a,b[. En itérant nous avons une suite de segment emboîtés]an,bn[dont la
longueur est(b-a)/2n, qui converge donc vers le pointxtel quef(x) = 0. Pratiquement ce processus doit avoir une fin. Supposons que nous voulons connaîtrexavec une précision absolue deε. A l"étapen, nous choisirons comme approximation dexla valeuran+bn 2. xanbnan+bn2 Fig.3.2 - convergence de la méthode de dichotomie 3 donne un nombre d"itérations n≥log2(b-aε)-1
Dans notre cas, pour avoir une précision de10-7sur toutes les racines, nous devons utiliser :44 itérations pour la première racine. On obtient
x D=-9.999999999999894e+ 06,xE=-9.999999999999903e+ 06.23 itérations pour la deuxième racine. On obtient
x D=-1.000000029802322e+ 00,xE=-1.000000050000006e+ 00.22 itérations pour la deuxième racine. On obtient
x D= 9.999999701976776e-01,xE= 9.999999500000063e-01. où dans chaque cas,xEest la valeur présumée exacte calculée parrootsdematlab. La méthode de dichotomie converge toujours, mais la convergence est linéaire : l"erreur à chaque pas est divisée par 2. Nous allons introduire une méthode plus rapide.3.2 Méthodes itératives pour la résolution de F(x)=x
Nous présentons ici la méthode des approximations successives. Elle consiste, à partir d"un pointx0, de calculer les itéréesxnpar la formule de récurrence x n+1=F(xn) Sous des hypothèses convenables sur la fonctionFet surx0, cette suite va converger vers un point fixe unique, i.e. qui vérifieF(X) =X.
Voici une représentation graphique du processus : 4 x x0x1x2x3x=yy X F(x) Fig.3.3 - méthode des approximations successives Définition 3.1Soitfune fonction continue sur[a,b]. On dit quefest lipschitzienne de constante de LipschitzLsiThéorème 3.1SIfest dérivable sur[a,b]et si sa dérivée y est bornée parL,fest lipschit-
zienne de constante de LipschitzL. Théorème 3.2SoitFune application de[a,b]dans[a,b], lipschitzienne de constante de Lip- schitz L <1. Alors pour toutx0la suite définie parxn+1=F(xn)converge vers un point fixe unique. 5 x x0x1x2x3x4x=yy X F(x) Fig.3.4 - méthode des approximations successives divergente3.3 Facteur de convergence
linéaire parce que l"erreur à l"itérationnest une fonction linéaire de la précédente. Dans le
cas de la méthode des approximations successives, nous avons écrit dans la démonstration du théorèmela convergence est encore linéaire, et puisqueLest le maximum de|F?|sur l"intervalle considéré,
l"algorithme converge d"autant plus vite que sa dérivée estpetite (i.e.plate). Nous parlerons de convergence quadratique siek≂Ce2k, etc.. Ecrivons la formule de Taylor x n+1-x=F(xn)-F(x) =F?(x)(xn-x) +12!F?(x)(xn-x)2+···
6 SiF?(x)?= 0, on peut écrire formellement, que si la suite converge on a lim n→∞e n+1 en=F?(x) et la convergence est linéaire. Mais siF?(x) = 0etF??(x)?= 0, on a lim n→∞e n+1 e2n=F??(x), et la convergence est quadratique, etc... -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2Fig.3.5 - courbef(x) =xex-1
n x n0 0.5000000000
1 0.6065306597
2 0.5452392118
3 0.5797030948
4 0.5600646279
5 0.5711721489
6 0.5648629469
7 0.5684380475
8 0.5664094527
9 0.5675596342
10 0.5669072129n x
n11 0.5672771959
12 0.5670673518
13 0.5671863600
14 0.5671188642
15 0.5671571437
16 0.5671354336
17 0.5671477463
18 0.5671407632
19 0.5671447236
20 0.5671424775n x
n21 0.5671437514
22 0.5671430289
23 0.5671434386
24 0.5671432063
25 0.5671433381
26 0.5671432633
27 0.5671433057
28 0.5671432817
29 0.5671432953
30 0.5671432876
31 0.5671432919
Tab.3.1 - Approximations successives pour résoudre l"équationx=e-x, dont la solution est0.5671432904
73.4 Méthodes itératives à 1 pas
Toutes les méthodes que nous allons décrire pour résoudref(x) = 0reposent sur l"applica- tion de la méthode des approximations successives à une fonction obtenue à partir def.3.4.1 Méthodes de base
On peut évidemment écrire
f(x) = 0??x+f(x) =x,et résoudre cette dernière équation par la méthode des approximations successives pourF:=