Corrigé de la séance Python 1 1 Dichotomie
Corrigé de la séance Python 1 1 Dichotomie La méthode de Newton permet elle, grâce à un unique passage supplémentaire dans la >>> dichotomie(f, -3, -1
TD n°1 - METHODE DE DICHOTOMIE TD n°2 - METHODE DE NEWTON
Programme Python : A savoir : La vitesse de convergence de la méthode de Newton est quadratique A chaque étape le nombre de décimales exactes suit une progression géométrique (le nombre de d écimales exact peut doubler, ou être multiplié par 1,2 par exemple) Comparatifs des deux méthodes Méthode de dichotomie Méthode Newton
La méthode de Dichotomie - Abbes AZZI
La méthode de Dichotomie www abbesazzi com, Marseille, 25 Avril 2013 Page 1 La méthode de Dichotomie Trouver la racine d’une équation par la méthode de Dichotomie Ça peut paraitre une méthode très compliquée à comprendre ou à appliquer Loin de là, c’est comme pour dire réaliste en vous dit pragmatique, juste pour impressionner
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L’ÉQUATION f x) = 0
méthode de dichotomie et méthode de Newton Résolution approchée d’une équation Dans Python, la bibliothèque scipy optimize contient la méthode
L’algorithmededichotomie
Les calculatrices programmables "non formelles" ne gèrent que les variables de type numérique et pas les chaînes de caractères Il faut donc trouver un codage pour la réponse d’Albert Pour simplifier, Albert tapera -1 pour "Trop petit" ou 1 pour "Trop grand" ou 0 pour "Gagné" On obtient l’algorithme suivant : Première méthode
Zéros des fonctions - Exo7 : Cours et exercices de
LA DICHOTOMIE 4 1 4 Calcul de l’erreur La méthode de dichotomie a l’énorme avantage de fournir un encadrement d’une solution ‘de l’équation (f (x) = 0) Il est donc facile d’avoir une majoration de l’erreur En effet, à chaque étape, la taille l’intervalle contenant ‘est divisée par 2
Chapitre 3 Résolution numérique des équations non linéaires
Fig 3 1 – méthode de dichotomie Soit le polynôme P(x) = 10−7 ∗ x3 + x2 − 1 Utilisons le script roots de matlab Nous obtenons 3 racines ans =-9 999999999999898e+06-1 000000050000001e+00 9 999999500000014e-01 Si nous voulons maintenant utiliser la méthode de dichotomie précédente pour calculer ces ra-cines, nous devons d’abord
Résolution approchée de l’équation f x = 0 Méthode de
IV Comparaison de la dichotomie et de Newton – La méthode de Newton est peu robuste mais rapide ♥ Dans le as où l’on herhe rapidité et stailité, on peut utiliser : -la méthode par dichotomie dans un premier temps pour localiser le zéro de la fonction, - puis la méthode de Newton une fois proche de la solution Définition :
TP no 10 - Site dAlain Troesch, professeur de mathématiques
1 Dichotomie On rappelle que la méthode de dichotomie consiste à partir d’un intervalle [a,b]tel que f(a)et f(b)soient de signes opposés On itère le procédé consistant à couper l’intervalle en son milieu, et à garder la moitié assurant
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InformatiqueIngénierie numérique et simulation RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L"ÉQUATIONf(x) = 0 méthode de dichotomie et méthode de NewtonRésolution approchée d"une équation
?Dans la mesure où on ne sait pas résoudre de manière exacte toutes les équations numériques
que l"on peut être amené à rencontrer, il est légitime de mettre au point des démarches
permettant d"obtenir une valeur approchée d"une solution d"équation. ?La méthode de la dichotomie et la méthode de Newton sont deux techniques permettant, de manière algorithmique, de calculer une approximation d"une solution de l"équationf(x) = 0, oùfest une fonction définie sur un intervalle et à valeurs réelles.Cadre de travail •Dans la suite, on noterafune fonction continue sur un intervalle[a,b]. •On supposera, en outre, quefs"annule en un unique point de[a,b], que l"on noteraxsol.11 Méthode de dichotomie
Contexte de travail et idée de départOn suppose que : ?◦fest continue sur[a,b] ◦f(a)etf(b)sont de signes contraires Ces hypothèses suffisent à garantir quefs"annule (au moins une fois) sur[a,b].1.1 Démarche Technique à répéteri.On divise l"in tervalle[a,b]en deux, et on ne garde que la section qui contient la solution. ?→Pour cela, on examine le signe def?a+b2 →sif(a)etf?a+b2 sont de signes contraires, on se place alors sur a,a+b2 →sinon, il faudra travailler sur?a+b2 ,b? ii.Puis on recommence. Condition d"arrêt
Plusieurs conditions peuvent justifier l"arrêt des itérations décrites précédemment : ?lorsque la taille de notre intervalle de travail est " suffisamment petite » ?→l"écart entre le milieu de cet intervalle etxsolest encore plus petit ?lorsqu"on estime que le nombre d"itérations est suffisant. Le dernier milieu calculé sera alors considéré comme une approximation dexsol.1.2 Programmation en Pythondefrecherche_solution_dichotomie (fonction,borne_inf,borne_sup,tolerance,nb_iterations_max) :
milieu=(borne_sup+borne_inf)/2 nombre_iterations=0 while (borne_sup-borne_inf>tolerance) and (nombre_iterations<=nb_iterations_max) : if f(borne_inf)*f(milieu)<=0 : borne_sup=milieu else : borne_inf=milieu milieu=(borne_sup+borne_inf)/2 nombre_iterations=nombre_iterations+1 return milieu Remarque ?Dans Python, la bibliothèquescipy.optimizecontient la méthode de dichotomie. ?Pour l"utiliser, il suffit de charger la bibliothèque, puis d"appliquer la fonctionbisecen précisant (au moins) la fonctionfconsidérée, ainsi que les bornesborne_infetborne_supde l"intervalle de travail.fromscipy.optimize import * bisect(f,borne_inf,borne_sup)1.3 Vitesse de convergenceComme, à chaque étape, la taille de l"intervalle de travail est divisée par 2, l"intervalle de recherche à lan-ième étape
est de longueurb-a2 n: le milieu de cet intervalle est alors distant dexsold"au plusb-a2 n. 22 Méthode de Newton
Contexte de travail et idée de départOn suppose que : ?◦fest dérivable sur[a,b] ◦f?ne s"annule pas sur[a,b]On va considérer que la représentation graphiqueCfdefest " proche » de sa tangente en un point :
l"intersection de cette tangente avec(Ox)doit nous " rapprocher » dexsol2.1 Démarche Technique à répéteri.On considère un réel x0dansI ii.→On considère alors la tangente àCfau point d"abscissex0, qui a pour équation cartésienney=f?(x0)(x-x0)+f(x0). →Le point d"intersection de cette droite et de l"axe des abs- cisses permet d"approcherxsol: on note ainsix1le réel vérifiant0 =f?(x0)(x1-x0)+f(x0), c"est-à-dire que l"on posex1=x0-f(x0)f ?(x0). iii. Puis on recommence : le réel xnétant construit, on pose x n+1=xn-f(xn)f ?(xn).Condition d"arrêt Plusieurs conditions peuvent justifier l"arrêt des itérations décrites précédemment : ?lorsque l"écart entre deux termes consécutifs est " suffisamment petit » ?lorsqu"on estime que le nombre d"itérations est suffisant. Le dernier termexncalculé sera alors considéré comme une approximation dexsol.2.2 Programmation en Pythondefrecherche_solution_Newton (fonction,derivee_fonction,position_depart,tolerance,nb_iterations_max) :
returnRemarque ?Dans Python, la bibliothèquescipy.optimizecontient la méthode de Newton. ?Pour l"utiliser, il suffit de charger la bibliothèque, puis d"appliquer la fonctionnewtonen précisant (au moins) la fonctionfconsidérée, sa dérivéeder_fet la valeur initialeposition_depart.fromscipy.optimize import * newton(f,position_depart,der_f)2.3 Vitesse de convergenceSous certaines hypothèses concernantf(que nous supposerons vérifiées), on montre qu"il existe une constante
×(C|x0-xsol|)2n.
pour être en mesure de garantir la convergence de(xn)versxsol... et de majorer la distance dexnàxsol. 33 Comparaison des deux méthodes
Pour comparer l"" efficacité » des deux méthodes de résolutionnumériqueprécédemment étudiées, plusieurs critères
doivent être considérés : ?La rapidité de convergenceDe ce point de vue, dans les hypothèses où les deux méthodes convergent, la méthode de Newton met en place
une suite de nombres qui converge plus " rapidement » (on parle ici de convergencequadratique) versxsolque
celle construite par la méthode de dichotomie (qui converge de façonlinéaire) :?Le caractère " contraignant » des hypothèses
La méthode de dichotomie nécessite, pour converger, des hypothèses plus simples que la méthode de Newton : il
suffit de disposer d"une fonction continue qui change de signe pour que cette construction converge vers un point
d"annulation de cette fonction. Dans certains cas (respectant pourtant les hypothèses initialement formulées), la
méthode de Newton risque de ne pas converger... 4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47