La Méthode de Gauss/ Gauss-Jordan - Abbes AZZI
La Méthode de Gauss/ Gauss-Jordan www abbesazzi com, Marseille, 06 Mai 2013 Page 1 Méthode de Gauss et Gauss-Jordan Méthode de Gauss Résoudre un système d’équations algébriques linéaires par la méthode de Gauss, revient à manipuler les équations pour arriver à un système équivalent mais plus simple à résoudre
METHODE DU PIVOT DE GAUSS - {toutes les Maths}
Dans tous les cas, la mØthode du pivot de Gauss permet de dØterminer si le systŁme a des solutions ou non (et notamment de savoir s™il est un systŁme de Cramer lorsque n= p) Le cas des systŁmes de Cramer à deux ou trois inconnues a ØtØ traitØ dans le chapitre 4, page 45, de "Toutes les mathØmatiques" (TLM1)
M ethode de Gauss-Jordan Calcul de l’inverse d’une matrice
Le nombre d’op erations est de l’ordre de n3 au lieu de 2n 3 3 A v eri er en exercice Donc moins int eressant que l’algorithme de Gauss Mais application int eressante pour le calcul de l’inverse d’une matrice 6 Calcul de l’inverse d’une matrice La formule th eorique (A 1)ij = cofacteur(aij) d et(A) est inutilisable pratiquement
Gauss, LU, pour l’ingénieur Méthodes numériques
Pivot de Gauss 4 principes fondamentaux reprendre l’étape de triangularisation de la méthode de Gauss au cours de l’élimination de Gauss sur la matrice A,
Système linéaire d’équations : méthode du pivot de Gauss
Afin de simplifier la mise en œuvre de la méthode du pivot de Gauss, on fait l’hypothèse que la matrice A est inversible Le système ( S ) a alors une unique solution : X = A −1 B
Méthode du pivot de Gauss - Quentin Fortier
Méthode du pivot de Gauss La méthode du pivot de Gauss comporte 2 grandes étapes : 1 échelonnement du système (descente), 2 réduction du système (remontée) Etapes réalisées avec des´ opérations élémentaires sur les lignes: L i ←λL i avec λ 6= 0, L j ←L j +λL i avec i 6= j, L i ↔L j Appliquer des opérations
Analyse numérique matricielle Élimination de Gauss
où Aeest triangulaire supérieure, issue de A L’algorithme d’élimination de Gauss permet de trianguler la matrice A Il comporte nétapes de transformation On note A(k) l’état de la matrice transformée à la ke étape La matrice Aerecherchée correspond à A(n) On initialise l’algorithme avec A(1) = A, puis on calcule les
Info Méthode du pivot de Gauss – Corrigé PTSI
Info Méthode du pivot de Gauss – Corrigé PTSI Métho de du pivot de Gauss rrigé Co rtie a P n ° 1: Pivot de Gauss 1 Python A = [ [ 2, 2 - 3 ] [ - 2 - 1 [ 6 4 4 ] ] Y = [ 2, - 5, 16] 2 Python imprt o y cop # pour utiliser la fonction y deepcop # et réaliser une copie réellement indépendante def matrice_aug (AB ,): onction F """ qui
Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Rappeldel’épisodeprécédentsurl’inversed’uneapplicationlinéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matrices Notion d’inverse d’une application linéaire Inverse d’une matrice Critère d’inversibilité : le déterminant 1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matrice
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Analyse numérique matricielle
Élimination de Gauss, factorisation LU
et applicationsL3 Mathématiques - Université d"Évry
Printemps 2008
L"objet de ce TD est d"utiliser les méthodes élémentaires de l"analyse numérique matricielle pour résoudre des systèmes linéaires simples. L"im- plémentation est faite à l"aide du logiciel Scilab.1 Rappels de cours
Danslasuite,onconsidèreunematricecarréeA= (aij)i,j=1,...,ndeMnn(R) supposée inversible. On cherche à résoudre le système linéaireAx=b, (1)
pourb= (b1,b2,...,bn)|2Rndonné. Résoudre (1) signifie déterminer x= (x1,x2,...,xn)|2Rn.1.1 Résolution des systèmes triangulaires
Un cas facile à traiter est celui des systèmes triangulaires. LorsqueAest une matrice triangulaire inférieure, c"est-à-dire queaij=0 pour toutj>i, il est très facile de voir que 8>>>< >>:x 1=b1a 11, x i=1a ii b ii1å j=1a ijxj! ,i=2,...,n.(2) Lorsque l"on a un système triangulaire supérieur, c"est-à-dire lorsque a ij=0 pour touti>j, alors l"algorithme de résolution fonctionne par parcours inverse et devient 8>>>< >>:x n=bna nn, x i=1a ii b inå j=i+1a ijxj! ,i=n1,...,1.(3) 1 ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE1.2 Triangulation par élimination de Gauss La résolution des systèmes triangulaires est facile et peu coûteuse numé- riquement. L"idée est donc de proposer des algorithmes qui transforment un système linéaire général (1) en un système équivalent eAx=eb, (4)
où eAest triangulaire supérieure, issue deA. L"algorithme d"élimination de Gauss permet de trianguler la matrice A. Il comportenétapes de transformation. On noteA(k)l"état de la matrice transformée à lakeétape. La matriceeArecherchée correspond àA(n). On initialise l"algorithme avecA(1)=A, puis on calcule les étapesk=2,...,n à l"aide de la relation de récurrence définie pouri=k+1,...,npar8>>>><
>>>:a (k+1) ij=a(k) ija(k) ika (k) kka (k) kj,j=k,...,n, b (k+1) i=b(k) ia(k) ika (k) kkb (k) k.(5) D"où l"algorithme 1.Algorithme 1: Algorithme d"élimination de GaussEntrées:A,b pourk=1,...,n1faire// On teste si le pivot est nul sijakkj<#alorsAfficher un message d"erreur fin sinon//Calcul deA(k) pouri=k+1,...,nfairec aika kkbi bicbk a ik 0 pourj=k+1,...,nfairea ij aijcakj fin fin fin fin eA Aeb bSorties:eA,ebpage 2
ÉLIMINATION DEGAUSS,FACTORISATIONLUET APPLICATIONS1.3 FactorisationLU Supposons que l"on dispose d"une factorisation telle queA=LUouL est une matrice triangulaire inférieure etUsupérieure. Alors le système général (1) s"écritLUx=b, (6)
que l"on résout en traitant successivement les systèmes triangulaires Ly=b,Ux=y.(7)
L"algorithme suivant, appelé algorithme de Doolittle, permet d"obtenir cette factorisationAlgorithme 2: Algorithme de DoolittleEntrées:A L Inn U 0nn pouri=1,...,n1fairepourj=i,...,nfaireu ij aiji1å k=1l ikukj fin pourj=i+1,...,nfairel ji 1u ii a jii1å k=1l jkuki! fin fin u nn annån1 k=1lnkuknSorties:L,U2 Applications numériques
Questions
1. Systèmes triangulaires
a) Écrire une fonction[x]=solinf(L,b)qui résout un système trian- gulaire inférieurLx=b. Tester sur le système 241 0 0
2 3 0 1 413 5 x=2 418 103
5 page 3
ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLEb) Écrire une fonction[x]=solsup(U,b)qui résout un système trian-
gulaire supérieurUx=b. Tester sur le système 241 2 3
0 4 80 0 53
5 x=2 4616 153
5
2. Élimination de Gauss
a) Écrire une fonction[At,bt]=trigGauss(A,b)qui renvoie une ma- trice triangulaire supérieure eAet un vecteurebtels queAx=b, eAx=eb. Tester sur le système 243 1 2
3 2 6 6 113 5 x=2 421 43
5 b) Écrireunefonction[x]=ResolutionGauss(A,b)quiutilisetrigGauss etsolsuppour résoudre le systèmeAx=bdans le cas général. Tes- ter sur le système2
41 2 3
5 2 1 31 135 x=2 45
5 63
5
3. FactorisationLU
a) Écrire une fonction[L,U]=FactLU(A)qui implémente la méthode de Doolittle pour la factorisationLU. Tester sur la matrice 243 1 2
3 2 6 6 113 5 b) Écrireunefonction[x]=ResolutionLU(A,b)quiutiliseFactLU,solsup etsolinfpour résoudreAx=b. Tester sur le système 241 2 3
5 2 1 31 135 x=2 45
5 63
5
4. Application à l"inversion d"une matrice
Écrire une fonction[B]=inverse(A)qui calcule l"inverse d"une matrice Adennen résolvantnsystèmes linéaires. Tester sur la matrice 241 2 3
5 2 1 31 135 page 4quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14