Méthode des soustractions successives : preuve et application
Méthode des soustractions successives : preuve et application La méthode des soustractions successives repose sur cette propriété : Nous allons démontrer cette propriété Pour cela, nous allons rappeler une définition et utiliser deux propriétés définition : propriété 1 : démonstration : Soient a et b deux nombres entiers
Connaissances des nombres Fiche Ar13
Entraînement 2 Comparaison des deux méthodes Trouve le PGCD des nombres 714 et 612 par la méthode de l’algorithme d’Euclide Trouve le PGCD des nombres 714 et 612 par la méthode des soustractions successives Rendre la fraction 714 612 irréductible Entraînement 3 Déterminer le pgcd de a et de b avec la méthode de ton choix, puis
Calcul du PGCD de deux nombres entiers par la méthode des
Déterminer ci -dessous, en utilisant la méthode des soustractions successives, le PGCD de 126 et 105 Quatrième partie : Avec l’ordinateur Comparaison des deux méthodes On voudrait savoir si des deux méthodes – algorithme d’Euclide , soustractions successives - l’une ou l’autre est plus rapide
Systèmes de nombres - Université de Montréal
–Méthode des soustractions successives •La plus grande puissance de X qui est inférieure ou égale à N est soustraite à N •Répéter jusqu’à obtenir un résultat égale à 0 •Le nombre N exprimé en base X est obtenu en notant le nombre de fois où une même puissance de X a été retirée et ce pour chaque puissance depuis la plus
I - Division euclidienne
la méthode des soustractions successives 8 Calcule PGCD (1 789 ; 1 492) par la méthode des divisions successives Combien d'étapes aurait nécessité la méthode des soustractions successives ? 9 Démontre que 481 et 625 sont premiers entre eux 10 Démontre que 360 et 741 ne sont pas premiers entre eux 11 La fraction 456 568 est-elle
TS spé Cours sur algorithmes liés à la divisibilité et à la
I Méthode des soustractions successives II Algorithme de division euclidienne correspondant à la méthode des soustractions successives Partie E : Retour sur l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier naturel non nul Partie F : Quelques formules utilisant la partie entière Partie G : Algorithme d’extraction des chiffres
Activité 1 : Multiple, diviseur
Activité 4 : Vers la méthode des soustractions successives 1 Somme et différence de multiples a Sans faire de division, explique pourquoi 49 014 est un multiple de 7 et pourquoi 13 est un diviseur de 12 987 b Démontre la propriété suivante : « Si d est un diviseur commun à deux entiers naturels a et b avec a b alors d est
Contrôle n°2 - corrigé
Par la méthode des soustractions successives, PGCD 1634 602 86(;)= Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3 ème - 2 - Exercice 3 – 2 points
1 Arithmétique - Éditions Ellipses
1 Ce n’est pas habile d’utiliser la méthode des soustractions successives car l’écart entre 2 004 et 18 est relativement important 2 La méthode la plus appropriée semble être la méthode de l’algorithme d’Euclide Autre présentation de l’algorithme d’Euclide : a b r a = bq + r 2 004 18 6 2 004 = 18×111 + 6
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Méthode des soustractions successives : preuve et application La méthode des soustractions successives repose sur cette propriété :
Nous allons démontrer cette propriété. Pour cela, nous allons rappeler une définition et utiliser deux propriétés.
définition : propriété 1 : démonstration :Soient a et b deux nombres entiers.
Soit u un diviseur commun de a et b.
Alors il existe un nombre entier k tel que k x u = a (car u divise a) et il existe un nombre entier l tel que l x u = b(car u divise b) donc k x u - l x u = a - b autrement dit, (k - l) x u = a - b (en factorisant le premier membre par u) donc u est un diviseur de a - b. u est donc un diviseur commun de a - b et b. conséquence de la propriété 1 : avec les mêmes notations, . (*) propriété 2 : démonstration :Soient a et b deux nombres entiers.
Soit u un diviseur commun de a - b et b.
Alors il existe un nombre entier k tel que k x u = a - b (car u divise a - b) et il existe un nombre entier l tel que l x u = b(car u divise b) donc k x u + l x u = a - b + b autrement dit, (k + l) x u = a(en factorisant le 1er membre par u et en simplifiant le 2d membre) donc u est un diviseur de a u est donc un diviseur commun de a et b. conséquence de la propriété 2 : avec les mêmes notations, . (**)Finalement, en tenant compte des deux inégalités (*) et (**), nous obtenons la propriété initiale.
application : cette propriété, utilisée plusieurs fois, permet de calculer le PGCD de deux nombres. C'est ce
qu'on appelle la méthode des soustractions successives. exemple : PGCD (448 ; 350) = PGCD (98 ; 350)car 448 - 350 = 98 = PGCD (252 ; 98)car 350 - 98 = 252on pourrait accélérer = PGCD (154 ; 98)car 252 - 98 = 154certaines étapes : c'est la = PGCD (56 ; 98)car 154 - 98 = 56méthode des divisions successives = PGCD (42 ; 56)car 98 - 56 = 42(en divisant 350 par 98, il reste 56) = PGCD (14 ; 42)car 56 - 42 = 14 = PGCD (28 ; 14) car 42 - 14 = 28 = PGCD (14 ; 14)car 28 - 14 = 14 donc PGCD (448 ; 350) = 14 . Pour tous nombres entiers a et b,