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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASIntroduction a la theorie des sondages -

Cours 2

Thomas Merly-Alpa

thomas.merly-alpa@insee.fr

INSEE, departement des methodes statistiques

22 janvier 2018

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASOrganisation

8 cours, 4 TD en demi-groupes

1/3 de la note : devoir maison a rendrele 5 mars2/3 de la note : examen nal le 19 mars

2 intervenants :

Thomas Merly-Alpa -thomas.merly-alpa@insee.frMartin Chevalier -martin.chevalier@insee.frLes slides et TD du cours sont a l'adresse

http://nc233.com/teaching 2/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASPrincipe du sondage

ObjectifConstruire un estimateur (Y) d'une variableYa partir d'un echantillonsde taillentire dans une populationUde tailleN. Plan de sondageOn denit un plan de sondagepcomme une loi de probabilite sur l'ensemble des echantillons possiblesS. Exemple:U=f1;2;3g. On denit le plan de sondagep1par : p

1(f1g) =p1(f2g) =p1(f3g) = 0

p

1(f1;2g) = 0;5p1(f1;3g) = 0;2p1(f2;3g) = 0;2

p

1(f1;2;3g) = 0;1

Remarquep1n'est pas un plan de sondage de taille xe. 3/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASProbabilites d'inclusion

Le plan de sondage permet de determiner des probabilites d'inclusion pour chaque unite de la population.

Probabilite d'inclusion simplek=P

s2Skp(s)

Probabilite d'inclusion doublek;l=P

s2Sklp(s) aveck(s) =1(k2s)

Enn, on note

kl=klkl. 4/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASProbabilites d'inclusion

L'estimateur d'Horvitz-Thompson est deni :

pour un total : ^Ty=X k2sy k k pour une moyenne : ^y=1N X k2sy k k C'est donc unestimateur pondereutilisant les poidswk=1 k 5/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASSommaire

1Sondage aleatoire simple

Denitions

Realiser un tirage

2Estimation dans un SAS

Estimation d'un total

Estimation d'une proportion

Echantillonnage dans le tempsEstimation sur un domaine

Estimation d'un ratio

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirage

Chapitre 1Sondage aleatoire simple

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirage

Partie 1Denitions

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageDenition

Sondage aleatoire simple sans remise (SAS) de taille n : plan de sondage sans remise de taille xe n tel que tous les echantillons de taille n ont la m^eme probabilite d'^etre tires. Cette probabilite vaut : p(s) =1 N n sijsj= n = 0 sinon:

On note le taux de sondage :f=nN

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageUn petit rappel

Combien vaut

N n? On rappelle que cette notation,nparmiN, signie "le nombre de facons de choisirnelements parmiN", note aussiCnN. On a ainsi : N n =N!n!(Nn)! oun! = 123:::n. 10/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageProbabilites d'inclusion

8k2 U;k=P(k2s) =nN

=f

8k6=l2 U;k;l=P(k^l2s) =n(n1)N(N1)

11/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageNotations

On note,dans la population:

Total :T(Y) =X

k2UY k

Moyenne :

Y=1N X k2UY k

Variance empirique (dispersion) :S2=1N1X

k2U YkY2 12/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageNotations

On note,dans l'echantillon s:

Total :ny=X

k2sy k

Moyenne : y=1n

X k2sy k

Variance empirique (dispersion) :s2=1n1X

k2s(yky)2 13/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirage

Partie 2Realiser un tirage

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageTirage aleatoire simple

Comment proceder en pratique pour tirer un echantillon? Il y a plusieurs possibilites.En R, par exemple, on peut utiliser la fonctionsamplequi realise un sondage aleatoire simple.Sinon, le moyen le plus simple consiste a trier la population completement au hasard, et choisir lesnpremiers individus. 15/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageTirage aleatoire simple

Comment trier aleatoirement une population?A

B C D E F G H I J K 16/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageTirage aleatoire simple

On genere pour chaque individu une variable aleatoire uniforme, entre 0 et 1.A0.123

B0.245

C0.654

D0.987

E0.015

F0.975

G0.126

H0.745

I0.811

J0.626

K0.413

17/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASDenitions

Realiser un tirageTirage aleatoire simple

On trie la population sur cette variable, et on prend lesn= 4 premiers (par exemple)E0.015Selection

A0.123Selection

G0.126Selection

B0.245Selection

K0.413

J0.626

C0.654

H0.745

I0.811

F0.975

D0.987

18/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratio

Chapitre 2Estimation dans un SAS

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratio

Partie 1Estimation d'un total

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratioEstimateur d'Horvitz-Thompson L'estimateur d'Horvitz-Thompson pour le total et la moyenne s'ecrit :

T(Y) =X

k2s1 kyk=Nn X k2sy k=Ny Y=1N X k2s1 kyk= y 21/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratioPoids de sondage

Les poids pour l'estimation par Horvitz-Thompson sont : w k=1 k=Nn

On peut dire que l'individu k \represente"wk=Nn

individus de la populationU. Attention,wkn'est pas un eectif (en particulier,wkn'est pas forcement entier!) 22/61

Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratioPrecision

Theoreme

En utilisant la formule de Yates-Grundy, lavraievariance des estimateurs d'Horvitz-Thompson s'ecrit :

Var(y) = (1f)S2n

Var(^T(Y)) =N2(1f)S2n

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Sondage aleatoire simple

Estimation dans un SASEstimation d'un total

Estimation d'une proportionEchantillonnage dans le temps

Estimation sur un domaine

Estimation d'un ratioPrecision

Demonstration.

Var[^Y] =1N

2Var[^T(Y)]

12N2X k2UX l2U;l6=k ykquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14