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MÉTHODE DE TRAVAIL / MÉTHODOLOGIE AComment travailler

l’autre des erreurs en mathématiques mais tout le monde ne réagit pas de la même façon Ce qui permet de progresser est d’utiliser ses erreurs pour apprendre quelque chose Une erreur traduit souvent une confusion entre deux résultats qui se ressemblent un peu et sont donc employés l’un à la place de l’autre Une erreur

INSA de Toulouse

Département STPI

Année 1

2017-2018

Eléments de méthodologie en mathématiques ou comment travailler son cours de maths?

Mélisande Albert

1, Loïc Lacouture2, Benjamin Laquerrière3,

Géraldine Quinio

4, Anthony Réveillac5, Adeline Rouchon6, Sandrine Scott71. melisande.albert@insa-toulouse.fr, bureau GMM 115

2. lacoutur@insa-toulouse.fr, bureau GMM 118

3. laquerri@insa-toulouse.fr, bureau GMM 120

4. quinio@insa-toulouse.fr, bureau GMM 119

5. anthony.reveillac@insa-toulouse.fr, bureau GMM 111

6. rouchon@insa-toulouse.fr, bureau GMM 119

7. scott@insa-toulouse.fr, bureau GMM 118

Table des matières

1 Motivation : mais... ça sert à quoi les maths pour un futur ingénieur? 5

1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths . . . .

1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 D"accord mais quels sont les composants d"un théorème? . . . . . .

2 Comment travailler mon cours de maths? 13

2.1 Deux méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Deuxième méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Comment travailler les CM et le poly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comment travailler les TD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Mise en pratique 19

Table des matières

Chapitre 1

Motivation : mais... ça sert à quoi les

maths pour un futur ingénieur?

1.1 Motivation

Disons le tout de suite : la science mathématique n"est pas une science expérimentale,

dans le sens où elle ne consiste pas à déduire des lois de la nature à partir d"observations de

phénomènes physiques. Le métier d"ingénieur a pour vocation d"utiliser des connaissances scientifiques en physique, biologie, chimie, etc., pour mettre en place de nouvelles techno- logies. Mais alors pourquoi avoir des notions en mathématiques et quelle est la place des mathématiques par rapport aux sciences dites "naturelles", qui sont au coeur du métier d"ingénieur? Pour tenter de donner une réponse à cette question, examinons trois exemples concrets dans différents domaines scientifiques. Exemple 1 : mécanique classique et chute d"un corps (modèle dit linéaire). Imaginons que l"on regarde le mouvement de la chute d"un objet (une pomme par exemple). Les lois de la mécanique classique nous instruisent que la vitesseV(t)de l"objet à l"instant tévolue de la façon suivante : V

0(t) =gFm

V(t); t2[0;tMax]; V(0) =v0;(1.1.1)

où -[0;tMax]est la période d"observation (avect= 0la date où l"on a lâché l"objet et t

Maxl"instant de fin d"observation),

-gest la constante d"accélération de la pesanteur terrestre (g= 9;807ms2), 5

1.1. Motivation

-Fest une constante modélisant la résistance de l"objet (essentiellement sa forme), -msa masse, -v0un réel positif ou nul indiquant la vitesse initiale de l"objet au temps0(par exemplev0= 0si l"on lâche l"objet). Autrement dit, les lois de la mécanique classique ne nous donnent pas une forme ex- plicite pourV, c"est-à-direV(t) =une expression dans laquelle interviennentg;Fetm, mais une relation (on parlera d"équation) reliant la quantité inconnue (la fonction vitesse

V:t7!V(t)) à sa dérivéeV0(autrement dit l"accélération). Une telle relation est tout à

fait ce que l"on entend par "loi de la nature". Exemple 2 : développement d"une colonie de bactérie en biologie. Imaginons cette fois un biologiste qui observe le développement d"une colonie de bactéries. On noteN(t)le nombre de bactéries dans la colonie à la datet. De nouveau, le biologiste cerne l"évolution de ce nombre par la formulation suivante : N

0(t) =TN(t); t2[0;tMax]; N(0) =n0;(1.1.2)

où -[0;tMax]est la période d"observation (avect= 0la date où l"on a initié la culture de bactéries ettMaxl"instant de fin d"observation), -Test une constante propre à la bactérie en question, -n0est le nombre de bactéries initialement introduites (ou présentes) au début de l"observation. De nouveau, la loi de la nature en question nous donne que la quantité que l"on souhaite étudierN:t7!N(t)est reliée à sa dérivéeN0. Exemple 3 : datation par Carbone 14 en paléontologie (ou en archéologie). Considérons enfin un paléontologue qui vient de mettre au jour le squelette d"un individu semblant être d"une nouvelle espèce d"hominidé. Mais, comment dater cette dernière et la restituer dans l"arbre généalogique des hominidés? Les lois de la physique des particules (cette fois) nous apprennent que certains composés radioactifs tels que l"isotope dit "Car-

bone 14" se détériorent avec le temps suivant un schéma précis. C"est-à-dire que si l"on

noteC(t)la radioactivité mesurée à la datetsur l"échantillon, on obtient que : C

0(t) =C(t); t2[0;t0]; C(0) =c;(1.1.3)

où -t= 0correspond à la date de décès de l"individu dont provient le squelette1et t

0dénote la différence entre la date où le squelette a été sorti de terre (ou encore1. Un exemple pratique est donné par l"isotope "Carbone 14" du carbone. Un échantillon (originelle-

ment un organisme vivant) ingère par respiration cet isotope, qui cesse donc d"être renouvelé au décès

de l"individu. Ainsi, le nombre d"atomes de Carbone 14 dans l"individu ne cesse de décroître au cours du

temps. 6

1.1. Motivation

la date d"examen de l"échantillon) et la date de décès de l"individu dont est issu l"échantillon, -est une constante dont l"unité est "année1" et qui dépend du composé radioactif étudié (par exemple pour le carbone 14,est liée à la durée dite de "demi-vie" de l"isotope et vaut:= 1;22104année1),

-cest la radioactivité mesurée au moment du décès de l"échantillon, c"est-à-dire à

la datet= 0(il s"agit en fait du taux de désintégration du composé radioactif à partir du moment où ce dernier n"est plus ingéré par l"individu, par exemple pour le Carbone 14 cette valeur est de13;6décompositions par minute). Quel enseignement tirer de ces trois exemples en apparence bien différents? Considérons trois scientifiques. Isaac physicien, Louis biologiste et Yves

2paléontologue.

Isaac lâche une pomme àt= 0et veut connaître (à partir de la relation (1.1.1)) sa vitesse

V(1)au bout d"une seconde (c"est-à-dire àt= 1s). Louis souhaite connaître (à partir de (1.1.2)) le nombreN(3600)de bactéries d"une souche donnée au bout de 1h (1h= 3600s),

et Yves souhaite connaître l"âge de ce squelette qu"il vient de "sortir de terre", c"est-à-dire

donner une indication de la période où l"individu vivait (en se basant sur (1.1.3)). Nos trois

scientifiques se retrouvent face à trois équations "qu"il ne reste plus qu"à résoudre". Mais

comment faire parler les relations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3)? Isaac, Louis et Yves décident donc de s"adresser à René (mathématicien) pour résoudre

leurs problèmes. René examine les trois problèmes qui lui sont proposés et réaliseque les

trois scientifiques se posent finalement la même question!En effet, la fonction du temps qui les intéresse (t7!V(t)pour Isaac,t7!N(t)pour Louis ett7!C(t)pour Yves)

est reliée de façon bien précise à sa dérivée. Ainsi, mathématiquement, les trois problèmes

sont en fait identiques et s"écrivent tous trois sous la forme : y

0(t) =y(t) +; t2[tmin;tmax](1.1.4)

avecetdeux constantes données et[tmin;tmax]l"intervalle de temps sur lequel le phé- nomène (ou l"expérience) est observé (ou réalisée)

3. En effet,

1. la fonction t7!V(t)dans (1.1.1) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant =Fm et=g, 2. la fonction t7!N(t)dans (1.1.2) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant =Tet= 0, 3. la fonction t7!C(t)dans (1.1.3) n"est autre quet7!y(t)de (1.1.4) en choisissant

=et= 0.2. Les auteurs de ce polycopié déclinent toute ressemblance avec des personnages vivants ou morts et

tout anachronisme qui découlerait de cette identification.

3. On a de plus une "condition au bord" (ou condition initiale)y(tmin)qui est une valeur connue pour

les équations (1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3) 7

1.1. Motivation

Donc si René sait résoudre l"équation "abstraite" (1.1.4) où les coefficientsetsont

supposés connus, alors il sait résoudre les trois équations "concrètes" (lois de la nature)

(1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3). C"est à cela que servent les mathématiques : non pas raisonner dans des si- tuations qui ne sont pas en lien avec la réalité, mais au contraire permettre un niveau de généralité (d"abstraction) dans lequel pourront rentrer plusieurs situations concrètes. A titre d"exemple, si demain on souhaite interdire une route aux voitures, motos, mo- bylettes, camions, etc., on ne va pas disposer un panneau pour chaque véhicule mais bien

un seul et même panneau "interdit aux véhicules motorisés" qui englobera tous les véhicules

cités précédemment. Ce niveau de généralité (on parlera d"universalité des mathématiques)

est bien une force et non un désavantage! Donnons un autre exemple (probablement un peu naïf) de l"utilité d"une approche abs-

traite pour résoudre les problèmes. Vous avez tou(te)s rencontré cet exercice pour résoudre

les systèmes d"équations linéaires à deux inconnues. Exercise 1 :Adeline va acheter à la boulangerie 2 baguettes et 1 croissant. Elle paie

3;10e. Géraldine va à la même boulangerie et achète 1 baguette et 1 croissant et paie le

tout2;10e. Quel est le prix d"une baguette dans cette boulangerie et celui d"un croissant? Vous connaissez tou(te)s la méthode de résolution d"un tel problème mais restituons cette

résolution au vu des quelques points mentionnés dans ce poly jusqu"à présent. On commence

par nommer ce que l"on cherche. On cherche le prix d"une baguette et celui d"un croissant. Comme précisé plus haut, on peut appeler la première inconnue "le prix d"une baguette"

Jean-Roger, mais cela est un peu long à écrire. Nous préférerons donc la nommer simplement

xet dénoter pary"le prix d"un croissant". On cherche doncxety. Quelles sont les informations dont on dispose surxety? On sait par les achats d"Adeline que

2x+y= 3;10

et par ceux de Géraldine que x+y= 2;10:

Notre problème est donc réduit à résoudre un système de deux équations à deux inconnues

qui prend la forme :

2x+y= 3;10

x+y= 2;10 Dans le cours de "Maths 2" vous étudierez de tels systèmes, mais comme vous le remar-

querez le cours n"est pas dédié à résoudre ce système là exactement. Car si demain, on

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

remplace le problème précédent par"Sandrine achète 1 pain au raisin et 3 chocolatines pour un total de 4,90e. Loïc achète 2 pains au raisin et 1 chocolatine pour un total de

3,80e. Quel est le prix d"un pain au raisin et d"une chocolatine?", il faudra alors savoir

résoudre le système : x+ 3y= 4;90

2x+y= 3;80

oùxetydésignent cette fois respectivement le prix d"un pain au raisin et d"une chocolatine. Ainsi dans le cours de "Maths 2", on étudiera les systèmes de la forme : ax+by=e cx+dy=f

où les coefficientsa, b, c, d, eetfsont donnés par le problème considéré. Bien entendu,

ce propos parait tomber sous le sens, mais il convient peut être de le garder en tête le jour où vous étudierez un sujet qui vous paraîtra un peu trop abstrait. Un certain niveau

d"abstraction (ou de généralité) garantit donc le caractère "portable" à différentes situa-

tions concrètes de l"analyse ou de la méthode de résolution. Pour conclure cette section, il convient peut-être de préciser un autre avantage des mathé-

matiques, à savoir : donner une méthode de pensée qui permet de systématiser la réflexion

face à une situation pratique. En particulier, vous étudierez dans le cours de "Maths-Algo" les éléments de base du raisonnement, et comment construire une argumentation. Cette méthode de pensée sera bien entendu essentielle dans votre métier d"ingénieur, mais elle

participe également à affûter l"esprit critique qui peut se révéler utile dans votre vie de

citoyen.

1.2 Vocabulaire des maths et comment est construit un

cours de maths

1.2.1 Généralités

Une des grosses difficultés des mathématiques réside dans le fait qu"elles disposent de leur propre langage et de leur propre écriture. Vous verrez dans le cours de "Maths-Algo" des éléments de logique. Nous ne souhaitons pas ici donner de "cours" dans ce domaine, mais simplement quelques principes très généraux. La trame d"un cours suit sensiblement toujours le même schéma. 9

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

Etape 1 :définition des objets d"intérêt.

Etape 2 :exemples de tels objets.

Etape 3 :propriétés sur ces objets.Reprenons l"exemple de nos équations de la section précédente pour illustrer ces 3 étapes.

Nous avons vu que nos trois "lois de la nature" s"écrivent toutes sous la forme (1.1.4). Pour résoudre cette équation on procédera donc de la façon suivante : 1. On défin itce qu"est l"équation (1.1.4). A l"évidence, (1.1.4) est une relation en tred es données,i.e.les coefficientset, et l"inconnue (c"est-à-dire la quantité que l"on cherche), à savoir la fonctiont7!y(t)(et sa dérivée). Ensuite, une fois l"équation posée, on définit ce qu"est la solution (quelle est la nature de ce que l"on cherche? Un réel? Une fonction? Une matrice? Etc.). Dans le cas présent on cherche une fonctiont7!y(t)qui satisfera l"équation. Dans cette équation on voit que la dérivée deyintervient donc on va imposer que l"on chercheydérivable (sinon quel sens donner à l"équation?). 2. Dans le cas de l"équation (1.1.4), nous a vonsdonné les trois exe mples(1.1.1), (1.1.2) et (1.1.3) qui permettent de se figurer plus concrètement ce que l"on cherche à résoudre et le but de cette résolution. 3. Main tenantque l"on a défini la notion de solution et que l"on s"est donné quelques exemples, que peut-on dire d"intelligent sur la solution de cette équation? D"ailleurs on parle delasolution, peut-être y en a-t-il plusieurs? Peut-être, suivant le signe deou, on pourradémontrerque la solution (ou les solutions) est (sont) crois- sante(s) ou décroissante(s) ou ni l"un ni l"autre. Peut-être même qu"il n"y a pas de so- lution du tout... Pour répondre à toutes ces questions, on écrira des "Propositions", des "Théorèmes", des "Lemmes" ou des "Corollaires". Proposition et théorème dé- signent essentiellement la même chose (on réservera le terme de "Théorème" pour un résultat majeur de la théorie, par exemple si l"on arrive à trouver l"expression de toute solution de (1.1.4), on énoncera ce résultat comme un théorème). Un lemme est un résultat "intermédiaire" qui permet de montrer un théorème. Un corollaire est un résultat qui se déduit immédiatement d"un théorème. Par exemple si l"on sait que la fonctiont7!exp(t)est solution de (1.1.4) pour= 1,= 0ety(0) = 1, alors un corollaire sera que la solution est bien une fonction croissante. Il est très important de nommer les objets auxquels nous allons nous intéresser. Il paraît compliqué de raisonner sur une notion que l"on se refuse à définir et/ou à nommer. C"est pourquoi nous insisterons en cours sur le fait que vous preniez soin de bien comprendre

(et visualiser) les objets étudiés. Un exercice type en algèbre, par exemple, est de montrer

qu"un certain ensemble est un espace vectoriel. Si vous ne connaissez pas la définition d"un espace vectoriel, il vous sera impossible de le démontrer.Il parait difficile de répondre à la question : "Le rhinocéros est-il un pachyderme? " si l"on ne sait pas ce qu"est un pachyderme... 10

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

1.2.2 D"accord mais quels sont les composants d"un théorème?

Une proposition ou un théorème se compose des ingrédients suivants : 1. On considère un ob jetparticulier, et l"on se donne des h ypothèsessur cet ob jet. 2. On énonce e nsuitela propriété satisfaite par cet ob jetsous les hypothèses énon- cées. C"est la conclusion de la proposition ou du théorème. 3. Enfin on présen teune preuv e(ou démonstration) que la propriété est bien satisfaite. Mais qu"est-ce-qu"une preuve? Une preuve est une suite logique et ordonnée d"ar- guments qui permet d"arriver à la conclusion de la proposition. Vous verrez dans le cours de "Maths-Algo" les différents types d"arguments qui peuvent être mis en oeuvre à cet effet.

A quoi ça sert d"étudier une preuve?

Etudier une preuve présente au moins deux avantages : T outd"ab ordune preuv ep ermetde v oir(et de comprendre) qu"un résultat est vrai ! De plus, étudier une preuv ep ermetde s"en trainerà lire des raisonnemen tsp ourêtre capable ensuite d"en faire soi-même et de savoir les rédiger (il est important pour votre vie professionnelle future d"être capable d"exposer clairement des arguments

à vos collaborateurs(trices)).

Illustrons tout de suite le contenu de cette section sur l"exemple suivant. Pour cela, rappelons qu"un entier natureln(je parle d"un objet, je lui donne un nom4) est un multiple de4s"il existe un autre nombre naturel noték(là aussi je lui donne un autre nom) tel que n= 4k. Et un nombrepest pair s"il existe un entier naturel`tel quep= 2`. Théorème 1.2.1.Soitnun nombre entier naturel qui est un multiple de4. Alorsnest pair. Démonstration.On a supposé quenest un multiple de4. Par définition, cela signifie qu"il existekentier naturel tel quen= 4k(une bonne habitude consiste à traduire les hypothèses qui sont mises à votre disposition). On veut montrer quenest pair, c"est-à-dire(je traduis ce qu"est un nombre pair)que l"on peut trouver un entier naturel`tel quen= 2`.4étant égal à22, on peut par exemple choisir`= 2k, qui est encore un entier naturel et donc nsatisfait la définition d"un nombre pair, ce qui montre le résultat.Remarque 1.2.2. 1. Ici l"hyp othèsedu thé orème(p ointno1) est : "on considère un objet qui est un nombre multiple de4". 2.

L ac onclusiondu thé orèmeest : " nest pair".4. Notons que nous aurions pu également l"appeler "Arthur", ou "Amélie" mais il faut reconnaitre que

c"est un peu long à écrire... D"où l"utilisation plus répandue de lettres telles quen,x,,y, etc.

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

3. L apr euveest une suite or donnéed"ar guments.On vo itque p ourdémontr erun r é- sultat, il est fondamental de traduire en langage mathématique la ou les hypothèses et le résultat que l"on souhaite atteindre. 12

Chapitre 2

Comment travailler mon cours de

maths? Les cours de maths que vous rencontrerez à l"INSA sont essentiellement de deux types : les Cours Magistraux CM et les Travaux Dirigés TD. Une méthode très répandue chez les

étudiants (qui généralement n"est pas synonyme de succès) est de se focaliser sur les TD et

de délaisser le cours jugé trop théorique et abstrait. Il est clair que les exercices constituent

un moyen de vérifier que les notions du cours sont acquises, mais le travail des TD doit

s"effectuer après une lecture très méthodique (que nous allons précisément décrire ici) des

CM et du poly.

Avant de renter dans la méthode de travail à proprement dite, il est impératif de préciser

qu"il faut travailler régulièrement et ne pas attendre les premiers contrôles pour se mettre au travail.Si vous ne travaillez pas vos cours et TD régulièrement, vous ne comprendrez pas les notions vues dans ces enseignements et vous serez très vite débordés et dépassés.

2.1 Deux méthodes de travail

Nous proposons ici deux méthodes de travail. Bien entendu, il peut en exister d"autres mais celles que nous présentons ici sont simples à réaliser et ont montré une certaine efficacité.

2.1.1 Première méthode

La première méthode consiste à porter une attention toute particulière au cours (c"est-

à-dire au poly). Les étapes sont :

1. Dans un premier temps, on réalise une lecture approfondie du cours telle qu"elle sera décrite dans la section 2.2 ci-dessous. 13

2.2. Comment travailler les CM et le poly?

2. Ensuite, on c hercheles exercices de TD en commençan tp arles premiers exercices de la feuille qui sont des exercices d"application directe. Si dans l"étape 2 vous butez sur une question d"un exercice d"application directe, il faut revenir chercher dans le poly la définition de l"objet sur lequel porte la question, retravailler cette notion ainsi que les propriétés qui suivent cette notion, et revenir à la question de l"exercice. Il faut reproduire ces allers-retours entre le cours et le TD tant que la question n"est pas résolue. Ces allers-retours sont tout à fait normaux car l"appropriation d"une notion ou d"une méthode passe par l"erreur et par la manipulation des concepts mis en jeu. Si au bout de multiples allers-retours "Cours-TD" vous ne parvenez pas à résoudre

le problème, il faut être très attentif lors de votre TD à la correction de cette question

et ne pas hésiter à demander à l"enseignant de TD ou de Cours de vous expliquer cette correction, si cette dernière ne vous semble pas plus claire. Il est également possible que vous ayez un blocage à un certain niveau qui vous empêche d"avancer dans le cours, il faut alors ne pas hésiter à demander à vos enseignants de vous aider à lever ce blocage. La pratique montre que dans ce cas, une fois le blocage levé les notions suivantes seront beaucoup plus simples à assimiler.

2.1.2 Deuxième méthode

Il n"est pas impossible que la première méthode vous paraisse un peu rébarbative car

elle nécessite l"étude de plusieurs notions qui pourraient vous paraître trop abstraites. Dans

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Mélisande Albert

1, Loïc Lacouture2, Benjamin Laquerrière3,

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4, Anthony Réveillac5, Adeline Rouchon6, Sandrine Scott71. melisande.albert@insa-toulouse.fr, bureau GMM 115

2. lacoutur@insa-toulouse.fr, bureau GMM 118

3. laquerri@insa-toulouse.fr, bureau GMM 120

4. quinio@insa-toulouse.fr, bureau GMM 119

5. anthony.reveillac@insa-toulouse.fr, bureau GMM 111

6. rouchon@insa-toulouse.fr, bureau GMM 119

7. scott@insa-toulouse.fr, bureau GMM 118

Table des matières

1 Motivation : mais... ça sert à quoi les maths pour un futur ingénieur? 5

1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths . . . .

1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 D"accord mais quels sont les composants d"un théorème? . . . . . .

2 Comment travailler mon cours de maths? 13

2.1 Deux méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Première méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Deuxième méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Comment travailler les CM et le poly? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Comment travailler les TD? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Mise en pratique 19

Table des matières

Chapitre 1

Motivation : mais... ça sert à quoi les

1.1 Motivation

0(t) =gFm

V(t); t2[0;tMax]; V(0) =v0;(1.1.1)

Maxl"instant de fin d"observation),

1.1. Motivation

0(t) =TN(t); t2[0;tMax]; N(0) =n0;(1.1.2)

0(t) =C(t); t2[0;t0]; C(0) =c;(1.1.3)

0dénote la différence entre la date où le squelette a été sorti de terre (ou encore1. Un exemple pratique est donné par l"isotope "Carbone 14" du carbone. Un échantillon (originelle-

1.1. Motivation

2paléontologue.

0(t) =y(t) +; t2[tmin;tmax](1.1.4)

3. En effet,

3. On a de plus une "condition au bord" (ou condition initiale)y(tmin)qui est une valeur connue pour

1.1. Motivation

3;10e. Géraldine va à la même boulangerie et achète 1 baguette et 1 croissant et paie le

2x+y= 3;10

2x+y= 3;10

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

3,80e. Quel est le prix d"un pain au raisin et d"une chocolatine?", il faudra alors savoir

2x+y= 3;80

1.2 Vocabulaire des maths et comment est construit un

1.2.1 Généralités

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

Etape 2 :exemples de tels objets.

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

1.2.2 D"accord mais quels sont les composants d"un théorème?

A quoi ça sert d"étudier une preuve?

à vos collaborateurs(trices)).

1.2. Vocabulaire des maths et comment est construit un cours de maths

Chapitre 2

Comment travailler mon cours de

CM et du poly.

2.1 Deux méthodes de travail

2.1.1 Première méthode

à-dire au poly). Les étapes sont :

2.2. Comment travailler les CM et le poly?

2.1.2 Deuxième méthode