[PDF] DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS CORRECTION DES EXERCICES

Etudes de fonctions - LMRL

En déduire le sens de variation de et son tableau de variation f Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé Exercice 8 Soit la fonction 1: 1 x fx x Faire l’étude de : f a) Domaines de définition et de continuité b) Limites aux bornes du domaine et asymptotes c) Etude de la dérivabilité de f: en un réel 0 et

`ere S `a la TS Chapitre 4 : Etudes de fonctions´

5 Calculer la fonction d´eriv´ee de f et ´etudier son signe 6 Dresser le tableau de variation de f 7 Tracer (Cf) Corrig´e Exercice n˚3: On donne la fonction f d´efinie par f(x) = 3 x2 +2x− 3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e 1 D´eterminer le domaine de d´efinition Df de la fonction f 2

études de fonctions - fonctions référence - exercices

Classe de Première STI2D - exercices corrigés Marc Bizet - 1 - études de fonctions - fonctions référence - exercices Exercice 1 Voici le tableau de variations d’une fonction f 1 Donner un encadrement par ordre croissant de f x( ): a si − ≤ ≤−3 1x b si 1 4< ≤x c si − <

DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS CORRECTION DES EXERCICES

Exercice 7 : Déterminons la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous en précisant le domaine de définition et de dérivabilité 1 f(x)=5x2+2x−2 La fonction f est une fonction polynôme donc elle est continue et dériv-able sur l’ensemble Ret pour tout x ∈ Ron a: f′(x)=10x+2 2 g(x)=− 5 2x

Etude de fonctions - Exo7

Etude de fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur www maths-france * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1 Etude complète des fonctions suivantes 1 f 1(x)= 1+x 2 x3 (arctanx x 1+x2) 2

Etude de fonctions - Moutamadrisma

2) Calculer les limites de f aux bornes de I Exercice 3: Soit f la fonction définie sur IR\ 3^ ` par 3 2 1 69 x fx xx 1) Etudier le signe de 2 xx 69 2) Calculer les limites de f aux bornes du domaine de définition 3) Calculer : lim xo f fx x et lim ( ) x f x x Exercice 4: Soit f la fonction définie sur IR par : 2 1 x fx xx 1) Montrer que

Variations d’une fonction : exercices

Exercice 2 : Etudier les variations sur R de la fonction f définie par f(x)=3x 4x3 Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur R par f(x)= 4x 4 x2 +2x+5 1) Etudier les variations de f sur R 2) Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses

ETUDE DES FONCTIONS - AlloSchool

d’inflexion sans l’existen e même de la dérivée seonde Exercice : ( )={− ²,

1 Étuded’unefonction rationnelle - Ge

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Fonctions trigonométriques – Exercices

En déduire le signe de f sur I Exercice 22 Exercice 23 Exercice 24 Soit la fonction f définie sur ℝ par : f (x)=5sin(x 2 + π 3) 1 Démontrer que f(x) est 4 -périodique et que par conséquent l’étude de la fonction f peut être restreint à l’intervalle I=[0 ;4 ] 2 Etudier les variations de f sur I 3

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Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

DÉRIVATION ET ÉTUDE DE FONCTIONS

CORRECTION DES EXERCICES

DÉRIVATION GLOBALE:

Exercice1:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée.

1.f:x?→x4+ 2

La fonctionfest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Ainsi, pour toutx?R,f?(x) = 4x3.

2.g:x?→ -3x+⎷7

La fonctiongest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors, pour toutx?R,g?(x) =-3.

3.h:x?→3⎷5x+ 3

La fonctionhest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors, pour toutx?R,h?(x) = 3⎷ 5.

4.k:x?→3x2-⎷3x+ 2

La fonctionkest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surR. Alors pour toutx?R,k?(x) = 3×2x-⎷ 3

D"où,k?(x) = 6x-⎷

3

Exercice2:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction et calculons sa dérivée. c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

1.f:x?→3⎷x

La fonction racine carrée est définie sur[0,+∞[mais n"est dérivable que sur l"intervalle]0,+∞[. D"où la fonctionfest dérivable sur l"intervalle]0,+∞[. Alors, pour toutx?]0,+∞[,f?(x) = 3×(⎷ x)?= 3×12⎷x.

D"oùf?(x) =3

2⎷x

2.g:x?→x2+ 1xLe dénominateur de la fonctiongs"annule pourx= 0et le numérateur

est définie surR, ainsi la fonctiongest définie surR?. La fonctiongétant une fonction rationnelle alors elle est continue et dérivable sur son domaine de définition.

Alors, pour toutx?R?,g?(x) =(x2+ 1)?x-x?(x2+ 1)

x2

2x×x-1×(x2+ 1)

x2

2x2-x2-1

x2 x2-1 x2

D"où,g?(x) =x2-1

x2

3.h:t?→2t2-33-2t+ 2.

h(t) =2t2-3

3-2t+ 2 =23t2-1-2t+ 2donch(t) =23t2-2t+ 1.

La fonctionhest une fonction polynôme donc elle est continue et dériv- able sur l"ensembleR.

Alors, pour toutt?R,h?(t) =4

3t-2.

D"oùh?(t) =4

3t-2 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

4.k:s?→23s3-2s2-s

La fonctionkest une fonction polynôme, donc elle est continue et dérivable surR.

Alors, pour toutx?R,k?(s) =2

3×3s2-2×2s-1 =s2-4s-1

D"oùk?(s) =s2-4s-1

Exercice3:

Déterminons dans chacun des cas, l"ensemble de dérivabilité de la fonction, puis calculons sa dérivée.

1.f:x?→5x+ 3x-2Le dénominateur de la fonctionfs"annule pourx= 2et le numéra-

teur est définie surRdonc la fonctionfest définie sur l"intervalle ]-∞,2[?]2,+∞[. fétant le quotient de deux fonctions polynômes alors elle est dérivable sur son domaine de définition]-∞,2[?]2,+∞[.

Alors, pour toutx?R,

f ?(x) =(5x+ 3)?(x-2)-(x-2)?(5x+ 3) (x-2)2

5(x-2)-1(5x+ 3)

(x-2)2

5x-10-5x-3

(x-2)2 -13 (x-2)2

D"où,f?(x) =-13

(x-2)2

2.g:x?→-3x2+ 2x-72x-2Déterminons le domaine de définition de la fonctiong.

SoitDgle domaine de définition deg.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

Dg={x?R/2x-2?= 0}.

Posons2x-2 = 0.

2x-2 = 0?x-1 = 0

?x= 1 On en déduit donc queDg=]- ∞,1[?]1,+∞[. gest une fonction rationnelle, alors elle est dérivable sur son ensemble de définitionDg.

Et pour toutx?Dg=]- ∞,1[?]1,+∞[,

g ?(x) =(-3x2+ 2x-7)?(2x-2)-(2x-2)?(-3x2+ 2x-7) (2x-2)2 (-6x+ 2)(2x-2)-2(-3x2+ 2x-7) (2x-2)2 -12x2+ 12x+ 4x-4 + 6x2-4x+ 14 (2x-2)2 -6x2+ 12x+ 10 (2x-2)2

D"où,g?(x) =-6x2+ 12x+ 10

(2x-2)2

3.h:x?→3-2x+ 5⎷x+ 1

Posonsu(x) = 3-2xetv(x) = 5⎷

x+ 1 Étudions la dérivabilité de la fonctionv. La fonctionx?→x+ 1est continue et dérivable surRcomme étant une fonction polynôme.

Cherchons lesxpour lesquelsx+ 1>0.

Posonsx+ 1 = 0.

x+ 1 = 0?x=-1.

Faisons un tableau de signe.

c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions x x+ 1-∞-1+∞ 0+

Ainsi,pour toutx?]-1,+∞[,x+ 1>0

Par conséquent, la fonctionvest dérivable sur l"intervallex?]-1,+∞[. Par ailleurs, la fonctionuest dérivable surRen particulier sur]-1,+∞[ comme étant une fonction polynôme. On conclut donc que la fonctionhest dérivable sur l"intervalle]-1,+∞[ comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.

Alors, pour toutx?]-1,+∞[,

h ?(x) = (3-2x)?+ (5⎷ x+ 1)? =-2 + 5×(x+ 1)?

2⎷x+ 1

=-2 + 5×1

2⎷x+ 1

=-2 +5

2⎷x+ 1

D"oùh?(x) =-2 +5

2⎷x+ 1

4.k:x?→-7x2+ 14x-122

On a:-7x2+ 14x-12

2=-72x2+ 7x-6.

La fonctionkest une fonction polynôme alors elle est continue et dériv- able surRet pour toutx?R,k?(x) =-7x+ 7.

D"oùk?(x) =-7x+ 7

Exercice4:

Soientu, v, wetzdes fonctions définies pour tout réelxstrictement positif, par : u(x) =-3x+ 4v(x) = 1 +⎷ x, c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions w(x) =x3-x2etz(x) =-2x

1.Déterminons la dérivée de chacune des fonctionsu, v, wetz.

•u(x) =-3x+ 4doncu?(x) =-3

•v(x) = 1 +⎷

xdoncv?(x) =12⎷x

•w(x) =x3-x2doncw?(x) = 3x2-2x

•z(x) =-2

x

On a:z(x) =-2×1

xalorsz?(x) =-2×-1x2=2x2

D"oùz?(x) =2

x2

2.Donnons l"expression des fonctionsf,geth.

•f= 3w+u

f(x) = 3(x3-x2)-3x+ 4

D"oùf(x) = 3x3-3x2-3x+ 4.

•g=u-1

2z+ 2v

g(x) =-3x+ 4-1 2? -2x? + 2(1 +⎷x) =-3x+ 4 +1 x+ 2 + 2⎷x =-3x+ 2⎷ x+1x+ 6

D"oùg(x) =-3x+ 2⎷

x+1x+ 6 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

•h=-u2w

h(x) =-(-3x+ 4)

2(x3-x2)

3x-4

2x3-2x2

D"oùh(x) =3x-4

2x3-2x2

Déterminons leurs fonctions dérivées.

•f(x) = 3x3-3x2-3x+ 4.

f ?(x) = 3×3x2-3×2x-3

D"oùf?(x) = 9x2-6x-3

•g(x) =-3x+ 2⎷

x+1x+ 6 g ?(x) =-3 + 2×1

2⎷x-1x2

D"oùg?(x) =-3 +1

⎷x-1x2

•h(x) =3x-4

2x3-2x2

h ?(x) =(3x-4)?(2x3-2x2)-(2x3-2x2)?(3x-4) (2x3-2x2)2

3(2x3-2x2)-(6x2-4x)(3x-4)

(2x3-2x2)2

6x3-6x2-(18x3-24x2-12x2+ 16x)

(2x3-2x2)2

6x3-6x2-18x3+ 36x2-16x

(2x3-2x2)2 -12x3+ 30x2-16x (2x3-2x2)2 c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

D"oùh?(x) =-12x3+ 30x2-16x(2x3-2x2)2

3.Déterminons la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

•k:x?→⎷

3x-2 k ?(x) =(3x-2)?

2⎷3x-2

3

2⎷3x-2

D"oùk?(x) =3

2⎷3x-2

•l:x?→(3x-2)2

l ?(x) = 2×(3x-2)?(3x-2) = 2×3(3x-2) = 6(3x-2) = 18x-12

D"oùl?(x) = 18x-12

•m:x?→1

3x2-2 m ?(x) =-(3x2-2)? (3x2-2)2 -6x (3x2-2)2

D"oùm?(x) =-6x

(3x2-2)2

Exercice5:

On considère une fonctionfdéfinie surRpar :

f(x) = (5x-3)(-2x+ 7). c?Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8 Chapitre 5: Dérivation et études de fonctions

1.Donnons les fonctionsuetvtelles quef=uv.

fest le produit des fonctionsuetvdonc par identification on obtient: u(x) = 5x-3etv(x) =-2x+ 7

2.Calculer les fonctions dérivéesu?etv?.

u(x) = 5x-3doncu?(x) = 5 v(x) =-2x+ 7doncv?(x) =-2

3.Déduisons la fonction dérivée def.

f(x) =u(x)v(x)doncf?(x) =u?(x)v(x) +v?(x)u(x) Alorsf?(x) = 5(-2x+7)-2(5x-3) =-10x+35-10x+6 =-20x+41quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14