Trigonalisation et diagonalisation des matrices
laire inferieure, une matrice est trigonalisable dans´ M n(K)si, et seulement si, elle est semblable a une matrice triangulaire inf` erieure ´ 7 1 2 Exercice — Soit A une matrice de M n(K) et soit une valeur propre de A Montrer que la matrice A est semblable a une matrice de la forme` 2 6 6 6 4 0 B 0 3 7 7 7 5 ou` B est une matrice de M
Cours Diagonalisation - Free
Montrer que M est diagonalisable 4 Applications 4 1 Puissances de matrice Situations : Quels exercices usuels conduisent a une relation U n+1 = A · U n ou` U n est une matrice colonne Comment se r´esout cette relation ? 4 2 Changement d’inconnue Une matrice A ´etant diagonalis´ee A = P ·D ·P¨−1, les relations l’utilisant se
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple
Réduction de matrices et endomorphismes
Soit Aune matrice de M n(R) a) Montrer que rg (A) = 1 si et seulement si il existe deux matrices colonnes U et V non nulles telles que A= U tV b) Soit Aune matrice de rang 1 Montrer que Aest diagonalisable si et seulement si rT (A) 6= 0 c) Si Aest une matrice de rang 1, calculer Ak pour tout entier k∈ N∗ SOLUTION :
Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice, dire si elle est
F HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 Fiche Méthode 14 : Diagonaliser une matrice, dire si elle est diagonalisable
Amphi 5 : Diagonalisation des matrices symétriques réelles
Une matrice A 2M n(K) est dite sym etrique si tA = A Lemme Soit f un endomorphisme d’un espace Euclidien E Si la matrice de f est sym etrique dans une base orthonorm ee de E, alors la matrice de f est sym etrique dans toute base orthonorm ee de E D e nition Un endomorphisme f de E est sym etrique (autoadjoint) si la
Diagonalisation et trigonalisation
Exercice (i) Montrer que A= 2 1 1 1 est diagonalisable, la diagonaliser (ii) Montrer que A= 3 1 1 1 n’est pas diagonalisable (iii) Pour quels a2R la matrice 2 a 0 2 est-elle diagonalisable? Meme question pour 1 a 0 2 4 Trigonalisation De nition 4 1 1) On dit qu’une matrice A= (a ij) de M n(K) est triangulaire sup erieure si a ij= 0
Memento diagonalisation - Free
Pour montrer qu™une matrice n™est pas diagonalisable S™il n™y a qu™une valeur propre possible (relation polynomiale), raisonnement par l™absurde : M = P IP 1 = I DØterminer les sous espaces propres et la somme des dimensions n™est pas la taille de la matrice Pour montrer qu™une matrice est inversible
Le polynome minimal d’une matriceˆ
La matrice A ´etant diagonalisable, elle est alors semblable a la matrice` 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5: 8 1 3 Exercice — Soit A une matrice de M n(K), avec n 2, verifiant´ (A 21 n)(A 31 n) = 0: 1 Montrer que A est diagonalisable dans M n(K) 2 Montrer que la matrice A est inversible 3 Exprimer l’inverse A 1 en fonction de la matrice A
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[PDF] Montrer que
[PDF] montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux
Cours Diagonalisation
par Pierre Veuillez1 Objectif
Pour une matriceAdonn´ee, d´eterminer une matriceDdiagonale et une matricePinversible telle queA=P·D·P-1.Interpr`etation :Quelle relation reconnaˆıt-on ? Que doit-on d´eterminer pour arriver `a un tel
r´esultat ? Dans toute la suite,Esera un espace vectoriel de dimension finie.2 Diagonalisation d"endomorphisme
2.1 El´ements propres
D´efinition :Soientf? L(E) etu?Euest unvecteur propredefsiu?= 0 et s"il existeα?Rtel quef(u) =αu.M´ethode :u´etant donn´e, comment montrer queαexiste ?
Exercice 1 :Soitfd´efinie parf(P) = (X+ 1)P?.
Montrer quef? L(R2[X]) et que (X+ 1)2est un vecteur propre def. D´efinition :f? L(E) est diagonalisable s"il existe une base deEdans laquelle la matrice defest diagonalefest diagonalisable s"il il existe une base de vecteurs propres.D´efinition :Soientf? L(E) etu?Eetα?R.
uest unvecteur propredefassoci´e `a la valeur propreαsiu?= 0 etf(u) =αu.Exercice 2 :Soitf? L(R2) de matriceA=?1 2
3 2? dans la base canonique. Montrer que (1,-1) est vecteur propre defassoci´e `a la valeur propre-1.D´efinition :Soientf? L(E) etα?R.αest unevaleur propredefsi il existeu?= 0 tel quef(u) =αu.M´ethode :Comment trouverupourαdonn´e ? Quelle est son image parf-αId ?
Exercice 3 :SoitA=?0 1
1 0? etf:M→AM. Montrer quefest un endomorphisme deM2(R) . Montrer que 1 est valeur propre def.Th´eor`emeSoientf? L(E) etα?R.αest une valeur propre defsi et seulement matB(f)-αInon inversiblece qui ´equivaut auusi `a ker(f-αId)?={0}
Exercice :le d´emontrerCours Diagonalisation Page 1/5 D´efinition :f? L(E) etαune valeur propre def. Lesous espace propredefassoci´e `a la valeur propreαestEα={u?E / f(u) =αu}= ker(f-αId). Exercice 4 :Soitfd´efinie parf(x,y) = (x+ 2y ,2x+y) pour tout (x,y)?R2. Montrer quef? L(R2) et d´eterminer sa matrice dans la base canonique. Montrer queu=u(1,1) est vecteur propre defet d´eterminer la valeur propre associ´ee. Montrer queα=-1 est valeur propre defet d´eterminer le sous espace propreE-1 associ´e. Montrer quev= (1,-1)?E-1. Montrer que (u,v) est une base deR2et d´eterminer la matrice defdans cette base. En d´eduire une matriceDdiagonale et une matricePinversible telle que?1 2 2 1?P·D·P-1
Th´eor`eme :f? L(E) etEde dimension finie alorsfbijective??0 n"est pas valeur propre defExercice 5 :le d´emontrer !
2.2 Spectre d"un endomorphisme.
D´efinition :f? L(E).
Le spectre defest l"ensemble de ses valeurs propres. M´ethode matricielle :Mla matrice defdans une base deE. A quelle condition surM, αest-il valeur propre def?Exercice 1 :Soitf? L(R3) de matriceM=(
(0 1 1 1 1 01 0 1)
.. D´eterminer les valeurs propres def.Par r´esolution de syst`eme :On d´etermine, en discutant suivant la valeur deα,les solutions
de (f-αId)(u) = 0 Quand on trouve des solutions non nulles,αest valeur propre et les solutions sont le sous espace propre associ´e.Exercice 2Soitf? L(R3) de matriceM=(
(3-1-1 1 1-11-1 1)
dans la base canonique. D´eterminer les sous espaces propres defainsi qu"une base de chacun.2.3 Conditions de diagonalisabilit´e
Th´eor`eme :Des vecteurs propres associ´es `a des valeurs propres distinctes forment une famille
libre. Preuve :Par r´ecurrence, en prenant l"image parfet en combinant pour ´eliminerun+1.Cons´equence :Combien peut-il y avoir de valeurs propres distinctes au plus ?Cours Diagonalisation Page 2/5
Exercice 1 :Soitfd´efinie parf(P) = (X+ 1)P?endomorphisme deR2[X] (Exercice 1) Montrer queP= 1, Q=X+ 1 etR= (X+ 1)2sont des vecteurs propre def.En d´eduire (toutes) les valeurs propres def.
Th´eor`eme (Condition suffisante) :Soitf? L(E) etE.de dimensionn.Sifanvaleurs propres distinctesalors
la concat´enation d"un vecteur propre associ´e `a chaque valeur propre forme une base de vecteurs propres deEetfest donc diagonalisable.Exercice 2 :Soitfde matriceM=(
(0-1 1 -1 0 11-1 0)
dans la base canonique deR3.Montrer que 0,1 et-1 sont valeurs propres def.
(fest-elle bijective ? Montrer que (1,0,1)?Im(f) ) En d´eduire une matricePinversible telle queM=P·D·P-1avecDde diagonale 0,1 et-1.Lemme (rare) :La concat´enation de familles de vecteurs libres associ´es `a des valeurs propres
distinctes forme une famille libre. Preuve :Regrouper une combinaison nulle suivant chaque sous-espace propre et appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent. Cons´equence :Quelle peut ˆetre la somme des dimensions des sous espaces propres ? Th´eor`eme (CNS)Soitf? L(E) etE.de dimensionn.fest diagonalisablesi et seulement si la somme des dimensions des sous espaces propres estn. La concat´enation des bases des sous espaces propres forme alors une base de vecteurs propres de l"espace..La matrice defdans cette base est donc diagonale.
Exercice 3 :Soitf? L(R4) de matriceM=(
((4-1-1 00 3-1 0
0-1 3 0
2-1-1 2)
))dans la base canonique de R 4. Montrer que 2 et 4 sont valeurs propres defet d´eterminer les sous espaces propres associ´es. En d´eduire quefest diagonalisable ainsi qu"une base de vecteurs propres. D´eterminer enfin une matriceDdiagonale et une matricePinversible telles queM=P·D·P-1
3 Diagonalisation d"une matrice.
3.1 M´ethode g´en´erale
D´efinition :M? Mn(R) est diagonalisable s"il existe une matricePinversible et une matriceDdiagonale telle que
M=P·D·P-1Cours Diagonalisation Page 3/5
El´ements propres :SoitM? Mn(R) une matrice carr´ee. Les ´el´ements propres deMsont ceux de l"endomorphismefdeRnassoci´e `aMdans la base canonique.Traduction :u= (x,y) est vecteur propre deM=?1 2
2 4? signifie que ? (On dira aussi que ?x y? est colonne propre) Diagonalisation :Comment interpr´eter la relationM=P·D·P-1pourf?Que repr´esenteP?
Que trouve-t-on sur la diagonale deD?
A quelle condition surf,la matriceMest-elle diagonalisable ?Th´er`eme : Conditions de diagonalisabilit´eOn retrouve les th´eor`emes pr´ec´edents :
•SiMmatrice d"ordren,poss`edenvecteurs propres associ´es `anvaleurs propres distinctes,alorselle est diagonalisable. Des vecteurs propres associ´es `a cesnvaleurs propres distinctes forment une base de vecteurs propres. AvecPla matrice des coordonn´ees des vecteurs propres associ´es (=les vecteurs propres eux mˆemes) en colonne etDla matrice diagonale des valeurs propres dans le mˆeme ordre que les vecteurs propres on aM=P·D·P-1 •Une matriceMd"ordrenest diagonalisablesi et seulement siSi la somme des dimensions des sous espace propres est ´egale `an. En concat´enant les bases des sous espaces propres on forme une base de vecteurs propres. SoitPla matrice des coordonn´ees de ces vecteurs (=les vecteurs eux mˆemes). SoitDla matrice diagonale des valeurs propres dans le mˆeme ordre que les vecteurs propres.On a alorsM=P·D·P-1
Exercice 1 :Diagonalisez?1 2
2 4?Exercice 2 :Diagonaliser(
(-2 0 0 -3 1 3 -3 3 1)3.2 Cas particuliers
Matrices triangulaires :SoitTune matrice triangulaire. Pour quelles valeurs deαest-ce que la matriceT-αIsera-t-elle non inversible ? Quelles sont les valeurs propres deT?Exercice 1 :SoitT=(
(1 1 1 0 2 00 0 2)
. Quelles sont les valeurs propres deT.Est-elle diagonal- isable ?Cours Diagonalisation Page 4/5 Relation polynˆomiale :Pour un polynˆome de degr´e 2,aM2+bM+cI= 0. Qu"est-ce que signifie queαest valeur propre deM? Comment le mettre en rapport avec la relation pr´ec´edente ? Que peut on en d´eduire pourα,siαest valeur propre deM?Que peut on dire des solutions deax2=bx+c= 0 ?
Th´eor`eme :SoitPun polynˆome,M? Mn(R) etαune valeur propre deMSiP(M) = 0alorsP(α) = 0On dit quePest unpolynˆome annulateur deM.
(et de mˆeme siP(f) = 0 o`ufest un endomorphisme deE,avecfn=f◦ ··· ◦f)La r´eciproque est fausse.
Exercice 2 :SoitM=(
(2-1-1 1 0-11-1 0)
CalculerM3-3M2+ 2M.En d´eduire les valeurs propres deMet diagonaliserM. D´efinition (rare) :La transpos´ee deMesttMdont les colonnes sont les lignes deM.Th´eor`eme (rare) :
t(M·N) =tN·tM: l"ordre du produit est invers´e. Th´eor`eme (rare) :SiMest inversible alorstM´egalement et (tM)-1=t(M-1) Preuve :Comment d´emontrer qu"une matrice est l"inverse d"une autre ?D´efinition :Mest sym´etrique sitM=M.
C"est `a dire si ses lignes sont ´egales `a ses colonnes. Ses coefficients sont sym´etriques par rapport `a sa diagonale. Th´eor`eme (fr´equent) :SiMest une matrice sym´etrique alorsMest diagonalisable.Exercice 3 :SoitM=(
(1 1 0 1 0 10 1 1)
. Montrer queMest diagonalisable.4 Applications
4.1 Puissances de matrice
Situations :Quels exercices usuels conduisent `a une relationUn+1=A·Uno`uUnest une matrice colonne.Comment se r´esout cette relation ?
4.2 Changement d"inconnue
Une matriceA´etant diagonalis´eeA=P·D·P¨-1,les relations l"utilisant se transforment. Et la relation obtenue est plus facile `a r´esoudre du fait des coefficients nuls dansD. Exemples :TransformerA·M=M·Apar le changement de matriceN=P-1·M·PTransformer l"´equationA·M=Mpar le changement de matriceM=P·N..Cours Diagonalisation Page 5/5
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