1 Suites de Cauchy
1 Suites de Cauchy Exercice 1 1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1 Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 k=n (r k+1 r k) (b) Soient
Suites - Institut de Mathématiques de Bordeaux
nj 2 nest de Cauchy Exercice 9 Pour n2N, on note u n= Xn k=1 1 (2 + 1 k) k: Montrer que la suite (u n) est une suite de Cauchy En d eduire qu’elle converge Exercice 10 Soit (H n) n 1 la suite d e nie par H n= Xn k=1 1 k = 1 + 1 2 + + 1 n 1 En utilisant une int egrale, montrer, pour tout n 1, l’in egalit e double 1 n+ 1 ln(n+ 1) ln(n) 1
DS 6 Une construction de R
6 ) Montrer que (s n) est une suite de Cauchy A n de montrer que (s n) ne converge pas dans Q, on raisonne par l’absurde On suppose donc qu’il existe a2Z et b2N tel que s n n+1 a b dans Q 7 ) Montrer que, pour tout n2N, 0 s 2n+1 a b s 2n 8 ) En multipliant ces in egalit es par (2n)b, obtenir une contradiction et conclure
Suites - Institut de Mathématiques de Toulouse
Exercice 10 (suites de Cauchy) 1 Montrer que la suite u n= ( 1) n n+1 n’est pas une suite de Cauchy 2 Montrer que la suite u n= 2+( n1) n est de Cauchy 3 Montrer que la suite u n= E(10n p 2) 10n a valeurs rationnelles admet une limite irration-nelle En d eduire qu’en g en eral une suite de Cauchy a valeurs dans Q ne converge pas dans Q 2
Exercicesduchapitre3aveccorrigésuccinct
Montrer, en utilisant les suites de Cauchy, que la suite (un), définie par un ˘(¡1)n est divergente Solution: Puisqu’il y a équivalence entre suite de Cauchy et suite convergente, il suffit de démontrer que la suite (un) n’est pas une suite de Cauchy, c’est à dire 9"¨0, 8N 2N, 9m ‚N(et)9n ‚N(et)jum ¡unj¨"
DM I: ESPACES DE FRÉCHET, FONCTION DIFFÉRENTIABLES
Exercice 1 (5 points) Soit X un espace vectoriel, muni d’une famille séparante de semi-normes (pj)j Montrer qu’une suite (un)n d’éléments de X est une suite de Cauchy si, et seulement si, pour tous >0 et j 2 N⇤ il existe N 0 2 N tel que pj(um un) < , pour tousm,n N 0 Exercice 2 (10 points)
Chapitre 7 Fonctions holomorphes Th´eor`eme de Cauchy
Dans la suite de ce chapitre, on va s’int´eresser `a n =2,p = 1 ou 2 (fonctions r´eelles ou complexes d’une variable complexe) 7 1 2 Holomorphie Conditions de Cauchy–Riemann Dans la suite de ce chapitre,⌦d´esigne un ouvert du plan complexe C,etf :⌦ C une fonction (`a valeurs complexes) de z 2 ⌦ D´efinition 7 1 : La fonction
Espaces de Banach - CERMICS
Remarque: Il est plus facile de montrer qu’une suite est de Cauchy qu’elle est convergente (on n’a pas besoin de connaître la limite de la suite) 3 3 Séries normalement convergentes Définition 3 3 (Séries normalement convergentes) Soit (u n) n≥0 une suite de V On dit que la série de terme général u n est normalement
Quelques compléments de cours - wwwnormalesuporg
n) la suite de ses sommes partielles Montrer que si (S n) a une suite extraite qui a une limite nie, alors la série X1 n=0 a n converge Exercice 3 [Critère de condensation de Cauchy] Soit (a n) n2N une suite positive et décroissante Le but de cet exercice est de montrer que X1 n=1 a nconverge X1 n=0 2na 2n converge : (a) On note S nla
Suites et séries matricielles - MATHEMATIQUES
S est la sphèreunité de l’espacevectorielnormé de dimension finie (Mn,1(K),N) On sait que S est fermée et bornée D’après le théorème de Borel-Lebesgue, S est un compact de (Mn,1(K),N)(car encore une fois, Mn,1(K)est de dimension finie)
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