Premi`ere S Produit scalaire

DEUX DROITES SONT PERPENDICULAIRES ? COMMENT DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PERPENDICULA IRES? Il suffit de démontrer que l'angle formé par les deux droites est un angle droit I Il suffit d'utiliser la propri été suivante : " Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre

Premi`ere S Produit scalaire

1 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires 1 1 Rappel du chapitre 5 Rappels : Toute droite du plan admet une ´equation cart´esienne de la forme ax+by +c = 0 (a, b et c r´eels avec (a;b) 6= (0;0) ) et le vecteur →u(−b;a) est un vecteur directeur de cette droite 1 2 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires M´ethode :

Exercices corrigés - AlloSchool

Soit un rectangle tel que et √ désigne le milieu de Montrer que les droites et sont perpendiculaires Rappel : Orthogonalité et produit scalaire nul Deux vecteurs ⃗⃗ et ⃗ sont orthogonaux si et seulement si ⃗⃗ ⃗ Par définition du produit scalaire, on a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Démontrer que des droites sont ou ne sont pas parallèles

correspondants égaux alors les droites sont parallèles Si dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors ces droites sont parallèles 2 On fait un dessin et on recherche les sous-figures utiles 3

CHAPITRE VI ORTHOGONALITE DANS LE PLAN

1°) Vecteurs orthogonaux Définition Soit et v ρ ρ u deux vecteurs non nuls et A, B et C trois points tels que AB u et AC v ρ ρ = = On dit que et v ρ ρ u sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires

Produit scalaire et orthogonalité dans lespace

2 ) Montrer que ces deux droites sont orthogonales, mais pas perpendiculaires Ex 20 : Droites perpendiculaires Soit A(−1;1;3) , B(2;−1;−2) , C(0;1;−4) et D(2;−1;−2) 1 ) Donner une représentation paramétrique de (AB), puis de (CD) 2 ) Montrer que ces deux droites sont perpendiculaires et déterminer leur point d'intersection

Géométrie dans lespace

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Deux plans ayant même couple de vecteurs directeurs sont parallèles Une droite (d) et un plan sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de (d) est un vecteur du plan 4 Exercice : Démontrer le parallélisme d'une droite et d'un plan

Equations cartésiennes Fiche(1)

Montrer que (CM) et (BE) sont perpendiculaires Que représente (CM) pour le triangle BCE ? b Les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont-ils colinéaires ? c Montrer que les points A, D, M et N sont coplanaires d Déduire des deux questions précédentes que (AD) et (MN) se coupent en un point I e

DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L’ESPACE

Lorsque deux vecteurs non nuls sont colinéaires, on peut écrire l’un en fonction de l’autre ( ⃗ ) On dit que les deux vecteurs sont dépendants Lorsque deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on dit qu’ils sont indépendants ou libres Exercice : Soient A, B, C et D quatre points de l’espace 1

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalairevecteur normal `a une droite-droites perpendiculaires

Table des mati`eres1 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires 1

1.1 Rappel du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.2 D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2 Rappels de cours 2

3 D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal `a une droite 3

4 D´eterminer une ´equation cart´esienne d"une perpendiculaire 3

4.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

4.2 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par une ´equation . . . . . . . . . . . .4

4.3 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par deux points . . . . . . . . . . . . .6

Le plan est muni d"un rep`ereorthonorm´e(O;-→i;-→j).

1D´eterminer si deux droites sont perpendiculaires

1.1 Rappel du chapitre 5

Rappels :

Toute droite du plan admet une ´equation cart´esienne de la formeax+by+c= 0 (a,betcr´eels avec (a;b)?= (0;0) ) et le vecteur -→u(-b;a) est un vecteur directeur de cette droite.

1.2 D´eterminer si deux droites sont perpendiculairesM´ethode :

On donne les droites (d) et (d?) d"´equations respectivesax+by+c= 0 eta?x+b?y+c?= 0•D´eterminer un vecteur directeur de chacune des droites, par exemple

-→u(-b;a) est un vecteur directeur de (d) et-→v(-b?;a?) est un vecteur directeur de (d?)•V´erifier que -→u .-→v= 0•Conclusion : Les vecteurs

-→uet-→vsont orthogonaux donc (d)?(d?)?Exemple 1 : perpendicularit´e de deux droites d´efinies par leurs ´equations cart´esiennesDans un rep`ere orthonorm´e, on donne (d) d"´equation 2x-3y+1 = 0, (d1) d"´equation 6x+4y-3 =

0 et (d2) d"´equation 4x+ 3y-6 = 0.

Les droites (d) et (d1) sont-elles perpendiculaires?

Les droites (d) et (d2) sont-elles perpendiculaires?Chapitre :Produit scalaire Page 1/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire?Solution: (d) a pour ´equation 2x-3y+ 1 = 0 donc-→u(3;2) est un vecteur directeur de (d) (d1) a pour ´equation 6x+ 4y-3 = 0 donc-→v(-4;6) est un vecteur directeur de (d1) (d2) a pour ´equation 4x+ 5y-6 = 0 donc-→w(-3;4) est un vecteur directeur de (d2) u .-→v=x-→ux-→v+y-→uy-→v= 3×(-4) + 2×6 = 0 donc -→uet-→vsont orthogonauxdonc (d)?(d1)-→ u .-→w=x-→ux-→w+y-→uy-→w= 3×(-3) + 2×4 =-1 donc

-→uet-→wne sont pas orthogonauxdonc (d) et (d2) ne sont pas perpendiculaires2Rappels de cours

Si-→

u(x;y)(non nul) alors-→ v(-y;x)est orthogonal au vecteur -→u Si (d) a pour ´equationax+by+c= 0, le vecteur-→ n(a;b)est un vecteur normal `a la droite (d) Si -→uest un vecteur directeur de (d) alorsM(x;y) appartient `a la droite perpendiculaire `a (d) passant parAsi est seulement si--→ AM.-→u= 0Chapitre :Produit scalaire Page 2/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire3D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal `a une droite

Si (d) a pour ´equationax+by+c= 0, le vecteur-→ n(a;b)est un vecteur normal `a la droite (d)

Remarque :Tout vecteur-→vcolin´eaire `a-→nest aussi un vecteur normal `a la droite(d)?Exemple 2 : vecteur normalD´eterminer un vecteur directeur puis un vecteur normal `a la droite (d) d"´equation cart´esienne

2x-5y+ 2 = 0?Solution:

On a icia= 2 etb=-5 donc le vecteur-→u(5;2) est un vecteur directeur de (d). (vecteur de coordonn´ees (-b;a)) et le vecteur -→n(2;-5) est un vecteur normal `a la droite (d)Remarque

Le vecteur

-→v=-2-→nest aussi un vecteur normal `a (d) et on a alors-→v(-4;10).4D´eterminer une ´equation cart´esienne d"une perpendiculaire

4.1 M´ethode

On veut d´eterminer une ´equation de la droite (d?) perpendiculaire `a (d) et passant parA(xA;yA).M´ethode 1 : en utilisant un vecteur normal

•D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur normal -→n(x-→n;y-→n) `a la droite (d)•-→ nest un vecteur directeur de la droite (d?)

Deux possibilit´es pour utiliser le vecteur

-→n: Une ´equation de (d?) est de la formea?x+b?y+c?= 0 avecb?=-x-→neta?=y-→npuis on d´eterminec?en utilisant les coordonn´eesxAetyAdu pointA.

Soit on utilise le pointM(x;y)?(d?) avec les vecteurs--→AMet-→ncolin´eairesChapitre :Produit scalaire Page 3/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireRappel :

-→u(x;y) et-→v(x?;y?) (non nuls) colin´eaires si et seulement six?y-yx?= 0M´ethode 2 : en utilisant le produit scalaire

•D´eterminer les coordonn´ees d"un vecteur -→udirecteur de la droite (d)•SoitM(x;y) un point de (d?). --→AM(x-xA;y-yA) et--→AMet-→usont orthogonaux. --→AM.-→u= 0 (x-xA)x-→u+ (y-yA)y-→u= 0 D´evelopper et r´eduire pour obtenir une ´equation de (d?)

4.2 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par une ´equation?Exemple 3 : Droite d´efinie par une ´equationD´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d?) passant parA(2;-3) et perpendiculaire

`a (d) d"´equation 2x-5y+ 2 = 0Avec la m´ethode 1 : ?Solution: (d) a pour ´equation 2x-5y+ 2 = 0 donc-→n(2;-5) est vecteur normal `a la droite (d).(vecteur de coordonn´ees(a;b)aveca= 2etb=-5) et est un vecteur directeur de (d?) donc (d?) a une ´equation de la forme-5x-2y+c?= 0

A(2;-3)?(d?)?? -5xA-2yA+c?= 0

?? -5×2-2×(-3) +c?= 0 ?? -4 +c?= 0 ??c?= 4-5x-2y+ 4 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque On peut aussi ´ecrire que siM(x;y) appartient `a (d?),--→AMet-→nsont colin´eaires.? x --→AM=xM-xA=x-2 y --→AM=yM-yA=y-(-3) =y+ 3 donc--→AM(x-2;y+ 3) --→AMet-→ncolin´eaires ??x--→AMy-→n-y--→AMx-→n= 0 ??(x-2)×(-5)-(y+ 3)×2 = 0 ?? -5x+ 10-2y-6 = 0 ?? -5x-2y+ 4 = 0Chapitre :Produit scalaire Page 4/8Maths premi`ere S Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireM´ethode 2 : Utiliser le produit scalaire ?Solution: (d) a pour ´equation 2x-5y+ 2 = 0 donc-→u(5;2) est un vecteur directeur de (d) M(x;y) appartient `a (d)??--→AMet-→usont orthogonaux.? x --→AM=xM-xA=x-2 y --→AM=yM-yA=y-(-3) =y+ 3 donc--→AM(x-2;y+ 3) --→AMet-→uorthogonaux ??x--→AMx-→u+y--→AMy-→u= 0 ??(x-2)×5 + (y+ 3)×2 = 0 ??5x-10 + 2y+ 6 = 0 ??5x+ 2y-4 = 05x+ 2y-4 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque Les deux ´equations obtenues avec les m´ethodes 1 et 2 sont ´equivalentes. Il suffit de multiplier les deux membres de la premi`ere par-1 pour obtenir la seconde

5x+ 2y-4 = 0?? -5x-2y+ 4 = 0Contrˆole du r´esultat avec GEOGEBRA :

•Tracer (d) en saisissant son ´equation dans la barre de saisie (en bas de la fenˆetre)•Placer le point A

•En utilisant la commande "tracer une perpendiculaire", pointer sur A puis sur (d) et la

perpendiculaire `a (d) passant parAs"affiche avec une ´equation dans la fenˆetre alg`ebreChapitre :Produit scalaire Page 5/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaire4.3 Exemple : perpendiculaire `a une droite d´efinie par deux points

?Exemple 4 : Droite d´efinie par deux pointsOn donneA(2 : 3) etB(-3;1).

D´eterminer une ´equation cart´esienne de la droite (d?) passant parC(1;4) et perpendiculaire `a

(AB) .Cet exemple est identique au pr´ec´edent, le rˆole du vecteur -→u´etant jou´e ici par le vecteur-→ABqui est un vecteur directeur de la droite (AB).Avec la m´ethode 1 : ?Solution:? x -→AB=xB-xA=-3-2 =-5 y -→AB=yB-yA= 1-3 =-2 donc-→AB(-5;-2) donc -→n(2;-5) est vecteur normal `a la droite (d). donc (d?) a une ´equation de la forme-5x-2y+c?= 0

C(1;4)?(d?)?? -5xA-2yA+c?= 0

?? -5×1-2×4 +c?= 0 ?? -13 +c?= 0 ??c?= 13-5x-2y+ 13 = 0 est une ´equation de (d?)Remarque Chapitre :Produit scalaire Page 6/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireOn peut aussi ´ecrire que siM(x;y) appartient `a (d?),--→AMet-→nsont colin´eaires.

(voir remarque de l"exemple pr´ec´edent (m´ethode 1)Avec la m´ethode 2 : utilisation du produit scalaire

?Solution:? x -→AB=xB-xA=-3-2 =-5 y -→AB=yB-yA= 1-3 =-2 donc-→AB(-5;-2) est un vecteur directeur de (d) SiM(x;y) appartient `a (d?),--→CMet-→ABsont orthogonaux.? x --→CM=xM-xC=x-1 y --→CM=yM-yC=y-4 donc--→CM(x-1;y-4) --→CMet-→ABsont orthogonaux ??x--→CMx-→AB+y--→CMy-→AB= 0 ??(x-1)×(-5) + (y-4)×(-2) = 0 ?? -5x+ 5-2y+ 8 = 0

?? -5x-2y+ 13 = 0-5x-2y+ 13 = 0 est une ´equation de (d?)Contrˆole du r´esultat avec GEOGEBRA :

•Placer les pointsAetBpuis tracer la droite passant par A et B (commande "droite passant

par deux points")•Placer le pointC•En utilisant la commande "tracer une perpendiculaire", pointer surCpuis sur (AB) et la

perpendiculaire `a (AB) passant parCs"affiche avec une ´equation dans la fenˆetre alg`ebreChapitre :Produit scalaire Page 7/8Maths premi`ere S

Premi`ere S-m´ethode Chapitre :Produit scalaireChapitre :Produit scalaire Page 8/8Maths premi`ere S

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