[PDF] On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes

On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes

Exemple: On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes Cette propriété ne se démontre Cette propriété ne se démontre pas, on l’admet et autour de cette propriété, on obtient d’autres propriétés de la géométrie plane

Méthode pour démontrer en géométrie dans l’espace 1

• droites →Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes, il faut d’abord montrer qu’elles sont coplanaires Il s’agit de trouver un plan contenant ces deux droites → deux plans parallèles coupés par un même plan nous donne deux droites d’intersection parallèles entre elles

EQUATIONS DE DROITES & SYSTEMES LINEAIRES

Ø Comment montrer que trois points sont alignés ? Ø Comment reconnaître que deux droites sont sécantes ou parallèles ? Ø Comment déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes ? Algorithmique : Ø Instructions conditionnelles Ø Initiation à Python Histoire : Ø Carl Friedrich Gauss, XVIIIème

Matière: Professeur: Niveau:1ASCG THÉORÈME DE THALÈS 7 h

rapports : il faut aussi s’assurer que les points sont bien placés dans le même ordre 2 Montrer que deux droites sont parallèles: Exemple:-dessous, les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M d’une part MH MA = 3 d’autre part , =8 6 =4 3 On constate que ????= De plus les points A, M, H d’une part et les points L, M, T

Chapitre 13 Droites, plans et vecteurs de l’espace

On peut noter que deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun Quand deux droites sont coplanaires, d’après le cours de géométrie plane, on sait qu’il existe trois types de positions relatives de ces deux droites : sécantes, strictement parallèles ou confondues On adopte alors la définition suivante : Définition 2

Corrigés - AlloSchool

Pour montrer que deux droites de l’espace ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu’elles ne sont ni parallèles ni sécantes Comme et ne sont pas colinéaires ( leurs coordonnées ne sont pas

1 Droites et vecteurs directeurs

Montrer que le point M(11;4)appartient à la droite d 1 2 Droites parallèles et droites sécantes Soient dune droite de vecteur directeur →u et d′ une droite de vecteur directeur →v • Les droites d et d′ sont parallèles si et seulement si les vecteurs →u et →v sont colinéaires, c’est-à-dire det(→u;−→v)=0

Comment montrer que deux droites sont parallèles?

d et d′ sont deux droites sécantes en A Les points B et M sont des points de d, distincts de A et les points C et N sont des points de d′, distincts de A Si AM AB = AN AC alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles En examinant les trois figures ci-dessus, Jade dit que l’énoncé est faux Quelle figure permet à Jade de

Comment montrer que deux droites sont parallèles?

Démontrer que les droites (AB) et (RS) sont parallèles A c t i v i t é 4: L a s y n t h è s e Voici un tableau synthèse sur le théorème de THALES, la réciproque et la contraposée Compléter ce tableau : Pour On utilise calculer une longueur quand les droites sont parallèles démontrer que deux droites sont parallèles

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AAsssseerrttiioonn

Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui peut être " vraie » ou " fausse »,

mais jamais les deux à la fois. EExxeemmpplleess:: (3 > 0), (3 = 0) sont des assertions. L"énoncé " L"avenue des Champs Élysées est située à Paris » est vrai.

L"énoncé " 2 divise 13 » est faux.

AAxxiioommee

Un axiome est un principe que l"on admet, et à partir duquel on peut démontrer d"autres propriétés à l"aide de la logique.

EExxeemmppllee:: On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes. Cette propriété ne se démontre

pas, on l"admet et autour de cette propriété, on obtient d"autres propriétés de la géométrie plane.

PPrrooppoossiittiioonn

Une proposition P est un énoncé qui contient des variables, qui est vrai pour certaines valeurs

qu"on leur affecte et faux pour toutes les autres.

EExxeemmppllee:: La proposition "x >5" est vraie pour les nombres strictement supérieurs à 5 et est

fausse pour tous les autres nombres.

À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d"autres grâce aux ccoonnnneecctteeuurrss

llooggiiqquueess..

Voici les trois premiers connecteurs logiques : nnééggaattiioonn ((nnoonn)) , ccoonnjjoonnccttiioonn ((eett)) , ddiissjjoonnccttiioonn ((oouu))

NNééggaattiioonn dd""uunnee pprrooppoossiittiioonn EExxeemmpplleess:: La négation de la proposition ″x >5 ″ est ″5£x ″.

Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" alors la négation de P est : "le triangle ABC

n"est pas rectangle"

AAtttteennttiioonn :: La négation de la proposition " ce pull est noir » n"est pas " ce pull est blanc »

mais tout simplement " ce pull n"est pas noir ». LLeess ccoonnnneecctteeuurrss llooggiiqquueess "" eett »» ,, "" oouu »» LLaa ccoonnjjoonnccttiioonn ddee ddeeuuxx pprrooppoossiittiioonnss La négation d"une proposition "P", notée "nonP", est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vraie. On lui attribue une table de vérité :

P non P

V F F V Soient P et Q deux propositions. La conjonction de ces deux propositions est notée : "P eett Q", cette proposition est vraie lorsque les deux propositions sont vraies et elle est fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :

P Q P eett Q

V V F F V F V F V F F F hosseini@maths-stan.fr 2

EExxeemmpplleess:: 1) La conjonction des deux propositions ″5£x″ et ″ 5³x″ n"est autre que x = 5.

2) Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" et Q est la proposition : "le triangle ABC est

isocèle" alors "P et Q» est la proposition : "le triangle ABC est rectangle et isocèle"

DDiissjjoonnccttiioonn

EExxeemmppllee:: La négation de la proposition "x >5" est "x 5".

EExxeemmpplleess:: "4 est pair" oouu "5 est pair" est vrai (en effet, la première propriété est vraie ).

"4 est pair" oouu "4 est inférieur à 5" est vrai.(en effet, les deux propriétés sont vraies)

LLooiiss ddee DDee MMoorrggaann (Soient PP et QQ deux propriétés)

EExxeemmppllee:: Le contraire de

04 2 xx est () 0ou 42>¹xx Soient P et Q deux propositions. La disjonction de ces deux propositions est notée : ″P oouu Q ″, cette proposition est vraie lorsque au moins l"une des deux propositions est vraie, et elle est fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :

P Q P oouu Q

V V F F V F V

F V V V

F

Non (P eett Q) est ( Non(P) oouu Non (Q) ).

P Q P eett Q Non(P eett Q)

V V F F V F V F V F F F F V V V

Non (P oouu Q) est ( Non(P) eett Non (Q) ).

P Q Non(P) Non(Q) Non(P) eett Non(Q)

V V F F V F V F F F V V F V F

V F F F

V hosseini@maths-stan.fr 3

IImmpplliiccaattiioonn

EExxeemmppllee:: La négation de la proposition "x >5" est "x 5".

EExxeemmpplleess::

1)

6360£⇒££xx est vraie (il suffit de prendre la racine carrée des trois membres de

l"inégalité)

2) Le théorème

, ssii deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, aalloorrss elles sont parallèles entre elles, se traduit par une implication de la forme: ^D^D dd21 ⇒ ()()21//DD

3) ABC triangle équilatéral implique ABC triangle isocèle : ABC équilatéral

⇒ ABC isocèle. LL""ééqquuiivvaalleennccee eennttrree ddeeuuxx pprrooppoossiittiioonnss EExxeemmppllee:: Pour tous réels x et y, on a l"équivalence : ()0ou 00==Û=´yxyx RRéécciipprrooqquuee dd""uunnee iimmpplliiccaattiioonn

Soient P et Q deux propositions. L"implication "P ⇒⇒ Q" se lit ″P implique Q ″ ou

″P est une condition suffisante de Q ″ ou ″Q est une condition nécessaire de P ″.

Elle peut se traduire aussi par "

si P est vraie alors Q est vraie » ou " si P alors Q ».

Voici sa table de vérité :

P

Q P ⇒⇒ Q

V V F F V F V F V F V V TTrraannssiittiivviittéé ddee ll""iimmpplliiccaattiioonn

Soient P1, P2 et P3 trois propositions. (P1 ⇒⇒ P2 ) eett (P2 ⇒⇒ P3 ) ⇒⇒ (P1 ⇒⇒ P3 )

Soient P et Q deux propositions. La proposition "( Q ⇒⇒ P ) s"appelle la réciproque ou l"implication réciproque de l"implication (P ⇒⇒Q )".

Soient P et Q deux propositions. "P ⇔ Q", est la proposition "(P⇒⇒ Q) et (Q ⇒⇒ P)".:

Voici sa table de vérité :

P

Q P ⇔ Q

V V F F V F V F V F F V hosseini@maths-stan.fr 4

RReemmaarrqquuee :: Pour montrer qu"une implication p⇒⇒q est fausse, il suffit de se mettre dans une

situation dans laquelle p est vérifiée, alors que q ne l"est pas.

EExxeemmppllee:: "n est pair ⇒⇒n est un multiple de 6" est une implication fausse car 4 est pair et 4

n"est pas un multiple de 6.

RReemmaarrqquuee :: Si ( Q ⇒⇒ P ) est la réciproque de l"implication (P ⇒⇒Q ), alors elles sont vraies

toutes les deux, si et seulement si (P ⇔ Q ) est vraie.

EExxeemmppllee::

Quelle est la réciproque de l"assertion " Tout professeur a été élève » ?

SSoolluuttiioonn ::

Toute personne ayant été élève est professeur. Qui est évidemment une assertion fausse.

EExxeemmpplleess ddee rraaiissoonnnneemmeennttss mmaatthhéémmaattiiqquueess CCoonnttrraappoossééee dd""uunnee iimmpplliiccaattiioonn

LL""uuttiilliissaattiioonn ddee llaa ccoonnttrraappoossééee ppoouurr rrééssoouuddrree uunn pprroobbllèèmmee mmaatthhéémmaattiiqquuee

EExxeemmppllee:: Montrer que si a et b sont des réels distincts de 2, et si a≠b, alors 2 1 2 1 ba.

SSoolluuttiioonn :: La contraposée de l"énoncé est si a et b sont des réels distincts de 2, et si

2 1 2 1 ba, alors a=b. Et cela est vrai, car 2 1 2 1 ba ⇒ 22-=-ba ⇒ a=b. RRaaiissoonnnneemmeenntt ppaarr ll""aabbssuurrddee EExxeemmppllee:: Montrer que pour tout nombre réel x différent de -1 on a : 1 32
x x différent de 2.

SSoolluuttiioonn :: Raisonnement par l"absurde.

Supposons qu"il existe un nombre réel x différent de -1 pour lequel 1 32
x x soit égal à 2, alors 2232 +=+xxdans ce cas, on a 23=, ce qui est impossible.

Donc pour tout nombre réel x différent de

-1 on a : 21

32¹++

x x.

Soient P et Q deux propositions. La proposition "(P⇒⇒ Q) ééqquuiivvaauutt àà (nonQ ⇒⇒nonP)".

Pour montrer que P ⇒⇒Q, on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction . Ainsi, si P est vraie alors Q doit être vraie et donc "P ⇒⇒Q » est vraie. hosseini@maths-stan.fr 5 LL""uuttiilliissaattiioonn ddee ccoonnttrree--eexxeemmppllee Pour montrer qu"une assertion ()xP est fausse, il suffit de trouver un x∈E tel que ()xP soit fausse. EExxeemmppllee:: L"implication 932<⇒SSoolluuttiioonn :: Cette assertion est fausse. En effet, on peut le montrer, en choisissant le contre-

exemple suivant :

34<- mais ()3234>-,

RRaaiissoonnnneemmeenntt ppaarr ddiissjjoonnccttiioonn ddeess ccaass EExxeemmppllee:: Montrer que pour tout entier naturel n, le produit n(n + 1) est divisible par 2.

SSoolluuttiioonn ::

On sait qu"un entier naturel

n peut être pair ou impair. - Si n est pair, alors il existe un entier k tel que kn2= et dans ce cas, on a : ()()1221+=+kknn ()()[]1221+=+kknn, ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par 2. - Si

n est impair, alors il existe un entier k tel que 12+=kn et dans ce cas, on a : ()()()112121+++=+kknn

()()()[]11221++=+kknn, ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par 2.

QQuuaannttiiffiiccaatteeuurrss

Les quantificateurs sont les deux symboles : " ∃ qui signifie "Il existe " » et " ∀ qui signifie

Quelque soit" ou "Pour tout" »

Les quantificateurs

∃ et ∀ servent à la formulation des énoncés mathématiques à l"aide des

éléments d"un ensemble donné

E.

EExxeemmppllee:: " Pour tout nombre réel x il existe un nombre réel y tel que y2 = x " se traduit par :

∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, y2 = x

LL""oorrddrree ddeess qquuaannttiiffiiccaatteeuurrss ddaannss uunnee eexxpprreessssiioonn mmaatthhéémmaattiiqquuee

Si l"on utilise deux fois le même quantificateur, l"ordre n"a pas d"importance ; on peut donc

écrire dans l"ordre qu"on veut

∀x∈E ∀y∈F .... ou encore ∃x∈E ∃y∈F .... Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important : - Dans l"écriture : ∀x∈E ∃y∈F ... y dépend de x. - Dans l"écriture ∃y∈F ∀x∈E.... y est indépendant de x.

Pour montrer que x∈E vérifie la propriété P, on considère toutes les possibilités pour x.

hosseini@maths-stan.fr 6 QQuuaannttiiffiiccaatteeuurrss eett llaa nnééggaattiioonn

La négation de "∀x∈E, x vérifiant une certaine propriété p " est "∃x∈E tel que x ne vérifie

pas p". La négation de " ∃x∈E, x vérifiant une certaine propriété p " est "∀x∈E tel que x ne vérifie pas p".

EExxeemmppllee:: Ecrire une expression mathématique traduisant l"assertion " Tout réel possède un

opposé ». Donner sa négation. SSoolluuttiioonn :: ∀a∈ℝ ∃b∈ℝ 0=+ba,

Sa négation est

∃a∈ℝ ∀b∈ℝ 0¹+ba. hosseini@maths-stan.fr 7 EExxeerrcciicceess àà ffaaiirree àà llaa mmaaiissoonn EExxeerrcciiccee 11-- Donner la négation des propositions suivantes :

1. Cette chemise est blanche.

2. Toutes les voitures sont rouges.

3. Cette balle est rouge ou elle est bleue.

4. Cette fleur est grande et elle est rouge.

5. Le nombre

2 n"est pas rationnel et il est supérieur à 1.

EExxeerrcciiccee 22-- Donner la réciproque et la contraposée des implications suivantes :

1. Si un quadrilatère est un losange alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

2. Si a > b et b >c alors a > c.

3. Si (d) est parallèle à (d

′) et (d′) est parallèle à (d″) alors (d) est parallèle à (d″).

4. Si deux droites ne sont pas sécantes alors elles sont parallèles.

5. Si A

′ est le symétrique de A par rapport à (d) alors (d) est la médiatrice de [AA′].

EExxeerrcciiccee 33-- Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s"impose : ⇔, ⇒ ou ⇐ :

x ∈ℝ, 242==xx⋯⋯⋯ EExxeerrcciiccee 44-- Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :

1. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.

2. Pour chaque entier naturel, on peut trouver un entier strictement plus grand.

3. Soit f une fonction définie sur ℝ.

a) f est strictement monotone sur ℝ, b) f est constante, c) f ne prend pas de valeur négative.

EExxeerrcciiccee 55-- Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ? Donner leurs négations.

1. ∃x∈ℝ ∀y∈ℝ xy>2,

2. ∃x∈ℝ ∀y∈ℝ 0>+yx,

3. ∀x∈ℝ ∃y∈ℝ 0>+yx,

EExxeerrcciiccee 66-- Soient n un entier naturel non nul. Montrer qu"il n"existe pas d"entier naturel m tel

que

221mn=+.

EExxeerrcciiccee 77-- Comment Euclide a-t-il démontré que " Si deux angles d"un triangle sont égaux

entre eux, alors les côtés opposés à ces angles égaux sont aussi égaux entre eux » ?

EExxeerrcciiccee 88 -- Montrer que si a et b sont des entiers tels que a2 + b2 est impair, alors a et b sont

de parité différente. hosseini@maths-stan.fr 8

EExxeerrcciiccee 99--

1. L"implication ()ybxabayx<⇒<<< et 0 est-elle vraie ou fausse?

2. L"implication

( )xyxxy1quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18