LES SUITES (Partie 2)

Suites 1 Convergence

Montrer par un calcul que f n(a n−1) > 0, en d´eduire la d´ecroissance de (a n) En calculant f n(1 2) montrer que la suite (a n) est minor´ee par 2 3 Une fois ´etablie la convergence de (a n) vers une limite ‘ compos´ee l’in´egalit´e 1 2 n n

Sujet et corrigé mathématiques bac es, obligatoire, Inde

On conside`re la suite (u n) de´ﬁnie par u 0 = 65 et pour tout entier naturel n : u n+1 = 0,8u n +18 1 Calculer u 1 et u 2 2 Pour tout entier naturel n, on pose : v n = u n −90 a) De´montrer que la suite (v n) est ge´ome´trique de raison 0,8 On pre´cisera la valeur de v 0 b) De´montrer que, pour tout entier naturel n : u n = 90

Amérique du Sud novembre 2019 - Meilleur en Maths

En déduire le sens de variation de la suite (un) 5 Justifier que la suite converge Partie B : On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn= un−1 un+2 1 a Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0 1 b Exprimer vn en fonction de n

exercices suites - bagbouton

En introduisant la suite complexe de terme général z u ivn n n , montrer que les suites un et vn sont convergentes et déterminer leur limite Exercice 21 1) Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, l’équation x xn + - =1 0admet une unique solution dans]0,+¥[2) Montrer que *, 1" ˛

I GENERALITES SUR LES SUITES - AlloSchool

s’appelle la somme des n n 1 0 premiers termes de la suite 04 Application: On considère la suite numérique n n1 v définie par : 1 n 1 n v1 v 1 v 1 Calculer v ; v ; v 2 3 4 2 Montrer que n ; v n n II Suite majorée – suite minorée – suite bornée : 01 Activité : On considère la suite n n 1 1 (u ) n 1 Montrer que : *

TD : Exercices Sur LES SUITES NUMERIQUES

1 Monter que la suite est croissante 2 Montrer que la suite est non majorée (Par absurde) 3 En déduire la limite de la suite Exercice30: Soit une suites tel que : 2 2 21 n 34 nn v n Calculer lim n n v o f Exercice31: calculer les limites suivantes : 1) 1 lim tan n 34 n n S o f §· ¨¸ ©¹ 2) 2 2 16 3 1 lim n 21 nn o f n 3) 1 lim

LES SUITES (Partie 2)

- La suite (u n) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier n ϵ ℕ, "#≥K - La suite (u n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée Exemples : - Les suites de terme général cos4 ou (−1)# sont bornées - La suite de terme général n2 est minorée par 0 Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée

Université Paris 1 - L1 Miash

1 Montrer que les suites a et b sont monotones, en déduire qu'elles convergent 2 Montrer que la suite u converge ssi les suites a et b ont la même limite Exercice 5 Soit (u n) n∈ℕ une suite réelle 1 On suppose que (u 2n) n∈ℕ et (u 2n+1) n∈ℕ convergent , la suite (u n) n∈ℕ est-elle alors convergente ? 2 On suppose que (u

EXERCICE 4 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de

On admet que cette suite est bien définie 1 Calculer u1 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0;4] 3 Montrer que pour tout entier naturel n, 1⩽un+1⩽un⩽3 4 a Montrer que la suite (un) est convergente 4 b On appelle L la limite de la suite (un) ; montrer l’égalité : L= 2+3L 4+L

LES SUITES (Partie 2)

I. Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, ��

et lim =+∞ alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que la suite (u n ) pousse la suite (v n ) vers +∞ à partir d'un certain rang.

Démonstration au programme :

Soit un nombre réel a.

- lim =+∞, donc l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1

On a donc pour tout ��≥��

6 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 2 , on a �� - Ainsi pour tout ��≥max(�� 6 ), on a : ��<��

On en déduit que l'intervalle

contient tous les termes de la suite (v n ) à partir du rang max(�� 6

Et donc lim

Théorème 2 :

Soit (u

n ) et (v n ) deux suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, ��

et lim =-∞ alors lim 2 Méthode : Déterminer une limite par comparaison

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

-1 -1 ≥-1 donc �� -1 -1

Or lim

-1=+∞ donc par comparaison lim -1

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit (u

n ), (v n ) et (w n ) trois suites définies sur ℕ.

Si, à partir d'un certain rang, ��

et lim =lim =�� alors lim Par abus de langage, on pourrait dire que les suites (u n ) et (w n ) (les gendarmes) se resserrent autour de la suite (v n ) à partir d'un certain rang pour la faire converger vers la même limite. Ce théorème est également appelé le théorème du sandwich.

Démonstration :

Soit un intervalle ouvert I contenant L.

- lim =��, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 1 3 - lim =��, donc l'intervalle I contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n 2 - A partir d'un certain rang, que l'on note n 3 , on a �� - Ainsi pour tout ��≥max(�� 6 ), l'intervalle I contient tous les termes de la suite (v n

Et donc lim

Méthode : Déterminer une limite par encadrement

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

BCD��

1 sin�� 1

Or : lim

1 =lim 1 =0 donc d'après le théorème des gendarmes lim sin�� =0

Et donc lim

BCD��

=1.

II. Suites majorées, minorées, bornées

1) Définitions :

Définitions : - La suite (u

n ) est majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier n ϵℕ, �� - La suite (u n ) est minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier nϵℕ, �� - La suite (u n ) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Exemples :

- Les suites de terme général cos�� ou -1 sont bornées. - La suite de terme général n 2 est minorée par 0. Méthode : Démontrer qu'une suite est majorée ou minorée

Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par �� *6 6 +2 et O =2. Démontrer par récurrence que la suite (u n ) est majorée par 3. 4 • Initialisation : O =2<3

La propriété est donc vraie pour n = 0.

• Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : �� Q <3. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : �� Q*6 <3.

On a : ��

Q <3 donc 6 6

×3 et donc

6 +2< 6

×3+2.

Soit : ��

Q*6 <3 • Conclusion :

La propriété est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe

de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n, soit : �� <3.

2) Convergence des suites monotones

Propriété : Soit (u

n ) une suite croissante définie sur ℕ.

Si lim

=�� alors la suite (u n ) est majorée par L.

Démonstration par l'absurde :

Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un rang p, tel que �� T - L'intervalle ouvert V��-1;�� T

W contient L.

Or, par hypothèse, lim

=��. Donc l'intervalle V��-1;�� T

W contient tous les termes

de la suite (u n ) à partir d'un certain rang (1). - Comme (u n ) est croissante : �� T pour ��>��.

Donc si ��>��, alors ��

∉V��-1;�� T W (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵℕ, tel que �� T

Et donc la suite (u

n ) est majorée par L.

Théorème de convergence monotone :

- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente. - Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente. - Admis -

Remarque :

Ce théorème permet de s'assurer de la convergence mais ne donne pas la limite. Dans l'exemple ci-dessous, la suite décroissante est minorée par 2. Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à 2 mais n'est pas nécessairement égale à 2. 5 Méthode : Utiliser le théorème de convergence monotone

Vidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo

On considère la suite (u

n ) définie pour tout entier naturel n par �� *6 6 +2 et O =2.

Démontrer que la suite (u

n ) est convergente et calculer sa limite. - On a démontré dans le paragraphe I. que la suite (u n ) est croissante. On a démontré dans la méthode précédente que la suite (u n ) est majorée par 3. D'après le théorème de convergence monotone, on en déduit que la suite (u n ) est convergente. - On pose :lim ��*6 =lim

Or ��

��*6 6 +2, donc lim ��*6 =lim 1 3 +2= 1 3 ��+2 par produit et somme de limites. Une limite étant unique, on en déduit que ��= 1 3 ��+2, soit L = 3.

La suite (u

n ) converge donc vers 3.

Corollaire :

1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.

2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.

Démonstration au programme du 1) :

Soit un réel a.

Comme (u

n ) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que �� T

La suite (u

n ) est croissante donc pour tout ��>��, on a : �� T

Donc pour tout ��>��, on a : ��

6 Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle

On en déduit que lim

III. Comportement à l'infini d'une suite géométrique

1) Rappel

Définition : Une suite (u

n ) est une suite géométrique s'il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : �� *6

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Exemple : La suite (u

n ) définie par �� *6 =-3�� et �� O =5 est une suite géométrique de raison -3 et de premier terme 5.

Propriété : (u

n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0

Pour tout entier naturel n, on a : ��

O Exemple : Pour la suite précédente, on a pour tout n : �� =5× -3

2) Limites

q lim

Pas de limite

0 1 +∞

Démonstration au programme dans le cas q > 1 :

Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a :

1+��

≥1+�� (inégalité de Bernoulli), démontrée dans le chapitre " LES SUITES (Partie 1) Paragraphe I. ». On suppose que ��>1, alors on peut poser ��=��+1 avec ��>0.

1+��

≥1+��.

Or lim

1+��=+∞ car ��>0.

Donc d'après le théorème de comparaison : lim

Exemple :

La suite de terme général -5×4

a pour limite -∞ car lim 4

3) Somme des termes d'une suite géométrique

Propriété : n est un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 alors on a :

1+��+��

1-��

��*6

1-��

7 Méthode : Utiliser la limite d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/XTftGHfnYMw

Déterminer les limites suivantes :

��)lim -2 3 ��)lim 2 -3 ��)lim 1+ 1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 a a) -2 est une suite géométrique de raison -2 strictement inférieure à -1. Donc -2 ne possède pas de limite.

Et donc lim

b -2 c 3 n'existe pas. b) • lim 2 =+∞ et lim 3 Il s'agit d'une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination : 2 -3 =3 2 3 -1a=3 e�� 2 3 a -1f • Or lim g 2 3 h =0, car g h est une suite géométrique de raison avec -1< <1.

Donc : lim

g h -1=-1.

Or lim

3 =+∞ car 3 est une suite géométrique de raison 3 strictement supérieure à 1.

Donc par limite d'un produit lim

3 gg h -1h=-∞

Soit : lim

2 -3 c) On reconnaît les n premiers termes d'une suite géométrique de raison 6 et de premier terme 1. Donc : 1+ 1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 a 1-g 6 h ��*6 1- 6 =2×e1-�� 1 2 a ��*6 f 8quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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LES SUITES (Partie 2)

I. Limites et comparaison

1) Théorèmes de comparaison

Théorème 1 :

Soit (u

Si, à partir d'un certain rang, ���

Démonstration au programme :

Soit un nombre réel a.

On a donc pour tout ���≥���

On en déduit que l'intervalle

Et donc lim

Théorème 2 :

Soit (u

Si, à partir d'un certain rang, ���

Vidéo https://youtu.be/iQhh46LupN4

Déterminer la limite suivante : lim

Or lim

2) Théorème d'encadrement

Théorème des gendarmes :

Soit (u

Si, à partir d'un certain rang, ���

Démonstration :

Soit un intervalle ouvert I contenant L.

Et donc lim

Vidéo https://youtu.be/OdzYjz_vQbw

Déterminer la limite suivante : lim

BCD���

Or : lim

Et donc lim

BCD���

II. Suites majorées, minorées, bornées

1) Définitions :

Définitions : - La suite (u

Exemples :

Vidéo https://youtu.be/F1u_BVwiW8E

On considère la suite (u

La propriété est donc vraie pour n = 0.

On a : ���

×3 et donc

×3+2.

Soit : ���

2) Convergence des suites monotones

Propriété : Soit (u

Si lim

Démonstration par l'absurde :

W contient L.

Or, par hypothèse, lim

W contient tous les termes

Donc si ���>���, alors ���

Et donc la suite (u

Théorème de convergence monotone :

Remarque :

Vidéo https://youtu.be/gO-MQUlBAfo

On considère la suite (u

Démontrer que la suite (u

Or ���

La suite (u

Corollaire :

1) Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞.

2) Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞.

Démonstration au programme du 1) :

Soit un réel a.

Comme (u

La suite (u

Donc pour tout ���>���, on a : ���

On en déduit que lim

1) Rappel

Définition : Une suite (u

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Exemple : La suite (u

Propriété : (u

Pour tout entier naturel n, on a : ���

2) Limites

Pas de limite

0 1 +∞

Démonstration au programme dans le cas q > 1 :

Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a :

1+���

1+���

Si, à partir d'un certain rang, ��

On a donc pour tout ��≥��

Si, à partir d'un certain rang, ��

Si, à partir d'un certain rang, ��

BCD��

BCD��

On a : ��

Soit : ��

Donc si ��>��, alors ��

Or ��

Donc pour tout ��>��, on a : ��

Pour tout entier naturel n, on a : ��

1+��

1+��

1+��=+∞ car ��>0.

1+��+��

1-��

1-��