Comment d montrer une galit - académie de Caen
Montrez que, pour tout entier naturel n, le nombre n 3 – n est divisible par 6 Exercice 16 : Ecrire A sous la forme d’une fraction : a 1 1 a 1 1 - a 1 1 + − + LES MACHINES CALCULENT BIEN, MAIS PRUDENCE Considérons l’expression suivante, où x et y sont des nombres quelconques ( avec y différent de 0, un dénominateur ne pouvant être
HISTOIRE, GÉOGRAPHIE, EMC - lewebpedagogiquecom
l'égalité hommes-femmes (1 point) Il a été nécessaire d'adopter de nouvelles lois sur l'égalité hommes-femmes car ce principe d'égalité complète n'était pas respecté DOCUMENT 2 3 À partir du document, montrez que des inégalités persistent dans le domaine professionnel (2 points)
Fiche n°2 Démocratiser l’école, de quoi parle-t-on
d'égalité sociale au profit de l'affichage de deux autres objectifs : égalité des chances et équité Il s'agit là d'entériner les hiérarchies sociales La notion d’égalité des chances, outre qu’elle ne décrit pas une situation réelle, a pour principale
Chapitre 6 : Comment les pouvoirs publics peuvent-ils
parents prêts à me donner une éducation prolongée, par exemple, mais plutôt de mes seuls efforts à égalité avec les autres « compétiteurs », alors je les mérite Dans la plupart de nos sociétés, ce principe est appliqué au moins dans une certaine mesure, par
METTRE FIN À LA VIOLENCE CONTRE LES FEMMES : UN COMBAT POUR
des femmes subissent des actes ou des menaces de violence ; c’est une épreuve partagée, au-delà des frontières de la fortune, de la race ou de la culture À la maison et dans le milieu où elles vivent, en temps de guerre comme en tant de paix, des femmes sont battues, violées, mutilées ou tuées en toute impunité
Les idéaux démocratiques de la IIe République Montrez dans
une trahison de notre combat féministe et une attaque contre nos revendications d’égalité entre les hommes et les femmes Pourtant, il n’en est rien George Sand n’est pas hostile, à terme, à l’obtention par les femmes du droit de vote Cependant, il ne s’agit pasà ses yeux de la revendication prioritaire
Cours OPT201 - Inria
existe une suite (hk) vérifiant khkk = 1 et hT kHh +kkAh k2 60 (8 4) On montre alors que (8 4) conduit à une contradiction ] (b) Montrez que pour r assez grand le problème (8 3) a une solution unique, notée x¯r, et que celle-ci vérifie (H +rATA)¯xr = −g +rATb (8 5) (c) Montrez qu’il existe une constante C indépendante de r telle
Explication de texteHobbes - Université
temps ou la guerre) à travers une « disposition avérée » : c’est la présence dans le réel d’un trait saillant qui configure l’ensemble de ses déterminations et qui perdure aussi longtemps qu’une autre disposition s’impose, dans la durée Dans le cas de l’état de nature, aussi longtemps qu’une disposition à la paix ne vient
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[PDF] monuments aux morts 14-18 histoire des arts
Trois méthodes principales permettent de répondre à cette question. ? Méthode 1 : On transforme le premier membre pour obtenir le second membre.
Exemple :
Démontrer que
( a + b )² - ( a - b )² = 4ab Il suffit de considérer le premier membre et de le développer. ( a + b )² - ( a - b )² = ( a² + 2ab + b² ) - ( a² - 2ab + b² )Donc :
( a + b )² - ( a - b )² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² ( a + b )² - ( a - b )² = 2ab + 2ab = 4abNous venons de démontrer que :
( a + b )² - ( a - b )² = 4abRemarque :
Parfois, il est préférable de considérer le second membre et de le transformer afin d"obtenir le premier.
? Méthode 2 :On transforme simultanément les deux membres.
Exemple :
Démontrer que, quels que soient les nombres a, b , c et d : ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² )Développons chacun des deux membres.
1er membre :
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a²c² + 2acbd + b²d² ) + ( a²d² - 2adbc + b²c² )
THEME :
COMMENT DEMONTRER UNE
EgalitE ?
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + 2acbd + b²d² + a²d² - 2adbc + b²c²
( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² - 2abcd + b²c² ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = a²c² + b²d² + a²d² + b²c²2ème membre :
( a² + b² )( c² + d² ) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²Soit en changeant l"ordre des termes
( a² + b² )( c² + d² ) = a²c² + b²d² + a²d² + b²c² En comparant les deux résultats, nous pouvons affirmer que : ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² ) ? Méthode 3 : On démontre que la différence des deux membres est nulle. Un exemple sera étudié dans la suite des exercices.Exercice 1 :
a)Vérifier les égalités suivantes :5² - 4² = 5 + 4
12² -11² = 12 + 11
38² - 37² = 38 + 37
b)Quelle conjecture peut-on faire ? c)Démontrer ce résultat général.Remarque :
Conjecture : Propriété qui semble vraie, mais qui n"est pas encore démontrée .Exercice 2 : Au Moyen-Age
Dans le Livre des nombres carrés de Léonard de Pise en 1225, on trouve l"égalité ( ac + bd )² + ( ad - bc )² = ( a² + b² )( c² + d² ) a)Démontrer cette égalité b)Utiliser cette égalité pour écrire 13 x 41 sous la forme d"une somme de deux carrés. c)Même question avec 82 x 50 .Exercice 3 :
Montrer que tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs.Par exemple 9 est la différence des carrés des deux entiers consécutifs 4 et 5 : 9 = 5² - 4²
Exercice 4 : Carrés parfaits
a)Vérifier que les nombres suivants sont des carrés parfaits ( un carré parfait est le carré d"un nombre
entier )2 x 3 x 4 x 5 + 1
3 x 4 x 5 x 6 + 1
4 x 5 x 6 x 7 + 1
b) On se propose d"étudier le cas général :" Lorsque l"on augmente de 1 le produit de quatre nombres consécutifs, obtient-on un carré parfait ? »
Soit n un entier . On pose a = n( n + 3 )
Vérifier que ( n + 1 )( n + 2 ) = a + 2
Exprimer n( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 ) + 1 en fonction de a et conclure.Exercice 5 :
Choisir deux nombres non nuls.
Calculer le carré de leur somme, puis retrancher au nombre obtenu le carré de leur différence et enfin,
diviser ce dernier résultat par leur produit. Refaire le même calcul avec deux autres nombres. Peut-on prévoir le résultat obtenu ? Justifiez.Exercice 6 :
Développer :
( 1 - x )( 1 + x )( 1 + x² )( 1 + x4 )( 1 + x8 )
Exercice 7 :
Vérifier que :
3 x 4 x 5 + 4 = 4
38 x 9 x 10 + 9 = 9
3Montrez que le produit de trois entiers consécutifs augmenté du nombre du milieu est un cube parfait (
c"est à dire le cube d"un entier )Est-ce toujours vrai ?
Exercice 8 :
Calculez x² - ( x + 1 )( x - 1 ) pour x = 5 , puis pour x = 2,3.Que constatez-vous ? Justifiez.
Effectuez alors ce calcul pour x = 1234567890 .
Exercice 9 :
Montrez les égalités :
2² + 2 = 3² - 3
3² + 3 = 4² - 4
20² +20 = 21² -21
Enoncez un résultat général, puis démontrez le.Exercice 10 :
Démontrer que, quel que soit l"entier positif n, le triangle de côtés2n + 1 , 2n( n + 1 ) et 2n( n + 1 ) + 1
est rectangle.Exercice 11 : Des multiples de 3
a)Vérifier que les nombres suivants sont des multiples de 3 : 23 - 2 ; 53 - 5 ; 73 - 7
b)Factoriser n3 - n et en déduire un résultat général .
Exercice 12 :
Vérifier, généraliser et prouver :
1² + 2² =
213²+
2² + 3² =
215²+
3² + 4² = 2
17²+
Exercice 13 :
Simplifier les expressions suivantes :
1 a1 - 1 a
a² ++ (1 - a¹ ) ; ) 1 - a et 1 a ( 1 a²2 1 a1¹¹-++ ;
) 1 - a et 1 a ( 1 a² 2 1 a1 1 a1¹¹-+-++
Exercice 14 :
On diminue de 1 le carré d"un nombre impair. Montrer que ce nombre est toujours divisible par 8 .Exercice 15 :
Montrez que, pour tout entier naturel n, le nombre n3 - n est divisible par 6.Exercice 16 :
Ecrire A sous la forme d"une fraction :
a 1 1a 1 -1 1 a1LES MACHINES CALCULENT BIEN,
MAIS PRUDENCE
Considérons l"expression suivante, où x et y sont des nombres quelconques ( avec y différent de 0, un
dénominateur ne pouvant être nul ) y x - y x+ Calculons cette expression pour x = 109 et y = 10-9Deux types de réactions sont possibles !
? Tout d"abord, la réaction de l"élève qui n"est pas esclave de sa machine et qui conclura immédiatement :
1 yy y y x - x yx - y x==+=+
? Autre réaction, utiliser sa machine. Mais au lieu de 1, l"élève pourra obtenir la valeur fausse 0
( résultat dépendant de la qualité , de l"âge de la machine et principalement de son prix )
Pourquoi ? Parce que la machine a négligé un milliardième (10 -9 ) devant un milliard (109 ),ce qui apparemment ne semble pas très grave, mais alors : x + y = 10