Cours de maths S/STI/ES - Nombres complexes

Les nombres complexes Terminale S Le point M1 est l’image du nombre complexe z1 = 3+ 4i et l’aﬃxe de M2 est le nombre complexe z2 = i−2 Un point M d’aﬃxe un r´eel, se trouve sur l’axe des

Cours de terminale S Les nombres complexes

Représentation géométrique d’un nombre complexe Forme trigonométrique d’un nombre complexe Notation exponentielle et applications Cours de terminale S Les nombres complexes V B J D S B Lycée des EK 28 novembre 2019 V B J D S B Diaporama du cours

Nombres complexes, cours, terminale S

Nombres omplexes,c ours,c classe de terminale S Nombres complexes, cours, terminale S 1 Notion de nombre complexe Dé nition : Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres omplexesc tel que :

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tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z= a +bi où a et b sont deux réels Cette écriture est appelée la forme algébrique de z Déﬁnition A OLLIVIER Cours de terminale S Les nombres complexes

Cours de maths S/STI/ES - Nombres complexes

Terminale S/ES/STI Mathématiques Fiche n°7 - Nombres complexes Les nombres complexes, écritures et opérations J Paquereau 3/14 2 Notation trigonométrique et propriétés 2 1 Interprétation géométrique et notation trigonométrique Une manière commode de représenter un nombre complexe , ’est de la visualiser sur e qu’on

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Æ Les nombres complexes

Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) Æ Les nombres complexes PanaMaths [1-13] Février 2011 L’ensemble des nombres complexes Définitions On pose i tel que i2 =−1 L’ensemble des nombres complexes, noté ^, est l’ensemble : {zxiy xy=+ ∈/,()\2}

Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths

La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel 2 5 Définition Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ∈ ) s'appelle un imaginaire pur L'ensemble des imaginaires purs est noté i 2 6 Remarques : • Dans l'ensemble , il n'y a plus la notion d'ordre usuelle(1) On ne pourra pas, à ce niveau, comparer un

Nombres complexes, cours, Terminale, maths expertes

Le nombre réel a est appelé artiep elérle du nombre complexe z et noté Re(z) Le nombre réel b est appelé artiep imaginaire du nombre complexe z et noté Im(z) Si a = 0, le nombre z s'écrit z = ib avec b 2R On dit alors que z est un imaginaire pur Exemples : Le réel 3 est aussi un nombre complexe, il s'écrit 3 = 3+0 i Le nombre 3

Nombres complexes – Exercices - Physique et Maths - Cours

Soit x un nombre réel On considère le nombre complexe z défini par l’égalité : z=(x+2i)(1−xi) a Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe z b Pour quelle(s) valeur(s) de x, z est un nombre réel ? c Pour quelle(s) valeur(s) de x, z est un nombre imaginaire pur ? Exercice 2 Ecrire sous forme algébrique : z1= 7+i 3

Les nombres complexes - maths-francefr

Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z′, V z z′ V = SzS Sz′S « Le module ne marche pas bien avec l’addition » : Pour tous nombres complexes z et z ′, Sz +z S ⩽ SzS+Sz′S (inégalité triangulaire) L’équation du second degré dans Cà coeﬃcients réels Soient a, b et c trois nombres réels tels que a

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Fiche n°7 - Nombres complexes

Les nombres complexes, écritures et opérations

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Cours : fiche n°7 - Nombres complexes

Thème : les nombres complexes, écritures et opérations.

Notions abordées Page

1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,

opérations sur les nombres complexes, propriétés. 1

2. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation

trigonométrique ou polaire. 3

3. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5

4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à

coefficients réels puis à coefficients complexe. 9

5. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et

1. Notation algébrique et propriétés

Il existe divers ensembles de nombres : ԳؿԺؿԷؿ Cette notation est qualifiée de forme algébrique.

Soit ݖൌܽ൅݅אܾ

Si ܽ

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Partant de la précédente définition, nous pouvons munir ů'ensemble ԧ de plusieurs opérations :

Conjugaison : soitݖൌܽ൅ܾ݅

Le conjugué de ݖ est ݖҧൌܽെܾ݅ Addition : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

N.B. : cette addition est commutative, i.e. : ݖ൅ݖᇱൌݖᇱ൅ݖ. Son élément neutre est Ͳ, i.e. : Ͳ൅ݖൌݖ. Elle est associative,

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Multiplication : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅

N.B. : cette multiplication est commutative, i.e. : ݖݖᇱൌݖᇱݖ. Son élément neutre est ͳ, i.e. : ͳൈݖൌݖ et son élément

Multiplication par un scalaire : soitݖൌܽ൅ܾ݅ Egalité : soientݖൌܽ൅ܾ݅ et ݖԢൌܽԢ൅ܾ݅ On dit que ݖൌݖǯ si et seulement si ܽൌܽǯ et ܾൌܾ

Exemple : soient ݖൌହା௜

ଷ൅݅ deux nombres complexes.

On a : ݖൌହା௜

Les conjugués de ݖ et ݖǯ sont respectivement : ݖൌହ La somme de ݖ et ݖǯ est : ݖ൅ݖᇱൌହ Le produit de ݖ et ݖǯ est : ݖݖᇱൌቀହ Autre exemple : mettre ݖൌହା௜

1.3. Propriétés

(ii) Soitݖאԧ, alors : ݖ൅ݖҧൌʹܴ définition du nombre conjugué.

(ii) ݖ൅ݖҧൌܽ൅ܾ݅൅ܽെܾ݅ൌܽ൅ܽൌʹܽ

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2. Notation trigonométrique et propriétés

2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique

A gauche, on a représenté le nombre complexe ݖ dans le plan complexe. On ordonnées. de nouvelle caractéristique des nombres complexes :

Remarque !

A partir de cette interprétation géométrique précédente, on peut formuler quelques remarques. nombre ݖא trigonométrique. Plus généralement, un nombre complexe ݖא comme un point du cercle de centre le plan

Ceci nous donne à voir les nombres complexes

déduit les propriétés formulées ci-après.

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2.2. Propriétés

qualifiée de forme trigonométrique ou forme polaire. par définition du nombre conjugué. (iv) On rappelle que pour tous réels ߠ et ߠ

Il vient que :

Exemple : soient ݖൌିଵା௜ trigonométrique et leur somme sous forme algébrique.

Mettre ݖ sous forme trigonométrique :

Mettre ݖԢ sous forme trigonométrique :

Mettre leur somme sous forme algébrique :

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Remarque ! Pour passer de la forme algébrique à la forme " trigo », on essaie de faire

apparaître un cosinus et un sinus remarquables (à retenir).

3. Notation exponentielle et propriétés

3.1. Notation exponentielle

Nous admettrons le résultat qui suit, lequel peut être démontré grâce à une notion hors programme,

celle de développement en série de Taylor : En multipliant chacun des membres de cette égalité parǡݎא des nombres complexes : Exemple : soient ݖൌିଵା௜ exponentielle. Nous avons déjà montré que ݖൌܿ ସቁ et ݖᇱൌͷ൬ܿ ర௜ et ݖᇱൌͷ݁

Autre exemple : soit ݖൌͳʹ݁

ల un nombre complexe. Mettre ݖ sous forme algébrique.

On a : ݖൌͳʹ݁

3.2. Propriétés

A partir de la notation exponentielle, nous pouvons construire quelques propriétés :

ȁ௭ȁ et ܽ

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ȁ௭ᇲȁ et ܽ

Module et argument du conjugué inverse : soit ݖא

Preuves :

Soit ݖǡݖԢא

Il vient que ଵ

On peut procéder comme ci-dessus ou classiquement remarquer que ௭ ௭ᇲ . On applique alors les deux formules précédentes :

Intuitivement, on a :

Plus formellement, essayez-vous à prouver ces formules par récurrence.

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Module et argument du conjugué :

Graphiquement, cette propriété est assez évidente. Il suffit de tracer un (graphique représenté à droite, extrait de Wikipédia).

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Module et argument du conjugué :

Graphiquement, cette propriété est elle-aussi évidente. Il suffit de tracer un nombre complexe ݖ et son

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Formule de Moivre :

notation qui nous arrange quand cela nous arrange, la tentation de procéder à une démonstration

et cosinus sont respectivement des fonctions impaires et paires, etc. Toute astuce est toujours bonne

à prendre et surtout à retenir !

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plus exigée en terminale. Malgré tout, les futurs étudiants que vous êtes peut-être ont

Idée : représenter ͵൅͵݅ et െ͸െʹξ͵݅ dans le plan complexe.

Or : ଷ

N.B. : cette transformation est appelée une linéarisation. Elle est particulièrement utile afin de pouvoir facilement intégrer

coefficients ቀ݊

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Finalement on a : ܿ

savoir que ׊ݔא

que pour tout ݔ réel positif, voire pour tout ݔ complexe, le carré de racine de ݔ est égal à ݔ.

Pareillement, on peut définir la racine ݊-ième de ݔ, notée ξݔ೙, en tant que réciproque de ݔ௡.

Formellement, on a : ׊ݔא

4. Equations du second degré

4.1. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients réels

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mémoire flanche, je vous invite à consulter la fiche de cours n°1 afin de vous rafraîchir la mémoire. Nous

nous intéressons à présent aux solutions ݔ où ݔאԧ et non plus ݔא

On appelle équation du second degré complexe à coefficients réels une équation de la forme :

complexes de (E) (ݔאԧ) diffèrent des solutions réelles (ݔא où ߂ൌͲ, on a ߜ

Si ȟ൐Ͳ, ܵ

Si ȟൌͲ, ܵ

Preuve : soient ߙ

On constate que :

On peut ainsi retenir le résultat remarquable suivant :

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Avec : ߜ

4.2. Solutions complexes des équations du second degré à coefficients complexes

hors programme de terminale. Elle est présentée ici à titre informelle.

On appelle équation du second degré complexe à coefficients complexes une équation de la forme :

La résolution de telles équations est tout à fait similaire à celles présentées en 4.1. Toute la difficulté de

suivant la méthode expliquée en 4.1. On cherche alors à calculer le discriminant réduit אߜԧ tel que ߜ

Dès lors ߜ

Le discriminant vaut οൌ൫ξʹ݅െͳ൯

On cherche אߜԧ tel que ߜ

On note ߜ sous forme algébrique, alors : ߜൌ݉൅݅݊ avec ݉ǡ݊א

Alors : ߜ

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Par identification, il vient que :

degré réelle que nous savons fort bien résoudre. Les solutions de cette équation sont finalement ܯ On a donc : ߜൌͳ൅ξʹ݅݋ݑߜ

On choisit arbitrairement que ߜ

5. Nombres complexes et géométrie

5.1. Plan complexe

de formaliser cette notion : complexe ݖאԧ, ݖൌݔ൅݅ݕ, par un point ܯ du point ܯ

5.2. Symétries, rotations et translations

Nous avons déjà prouvé les propriétés suivantes quoique nous les avions énoncées de manière peu

géométrique. En voici une formulation plus géométrique : de ܣ

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rotation de ߠ de ܣ

5.3. Problèmes de géométrie

géométrie faisant ou pouvant faire intervenir les nombres complexes. Ces propriétés ne sont pas

spécialement à retenir. Il convient surtout de bien les comprendre, elles et leur démonstration, afin que

vous puissiez prouver vous-même des propriétés similaires. De plus, on sait que ׊ݖǡݖᇱאԧǡܽ

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1. Notation algébrique et propriétés : définition du corps des complexes et écriture algébrique,

2. Notation trigonométrique et propriétés : interprétation géométrique, propriétés et notation

3. Notation exponentielle et propriétés : notation exponentielle, propriétés. 5

4. Equations du second degré : solutions complexes des équations du second degré à

5. Nombres complexes et géométrie : plan complexe, symétries, translations et rotations et

1. Notation algébrique et propriétés

Soit ݖൌܽ൅݅אܾ

Si ܽ

1.2. Opérations sur les nombres complexes

Conjugaison : soitݖൌܽ൅ܾ݅

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Exemple : soient ݖൌହା௜

On a : ݖൌହା௜

1.3. Propriétés

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2. Notation trigonométrique et propriétés

2.1. Interprétation géométrique et notation trigonométrique

Remarque !

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2.2. Propriétés

Il vient que :

Mettre ݖ sous forme trigonométrique :

Mettre ݖԢ sous forme trigonométrique :

Mettre leur somme sous forme algébrique :

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3. Notation exponentielle et propriétés

3.1. Notation exponentielle

Autre exemple : soit ݖൌͳʹ݁

On a : ݖൌͳʹ݁

3.2. Propriétés

ȁ௭ȁ et ܽ

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ȁ௭ᇲȁ et ܽ

Preuves :

Soit ݖǡݖԢא

Il vient que ଵ

Intuitivement, on a :

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Module et argument du conjugué :

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Module et argument du conjugué :

Où : ݎ est le module de ݖ et ߠ

Formule de Moivre :

à prendre et surtout à retenir !

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Or : ଷ

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Finalement on a : ܿ