Nombres Complexes Bac S 2019, Centres Étrangers

Exercice 2 1) Soit θ réel de [0,2 π[, résoudre dans ℂ l’équation P(z) 4z 4cos 1 cos z² 1 cos ² 0= + θ + θ + + θ =4 ( ) ( ) 2 )Mettre P(z) sous la forme d’un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels Exercice 3 Soit le nombre complexe a = i2 e 5 π 1) Vérifier que a5 = 1

Nombres complexes Exercices corrigés (7C)

Exercice 2 (Bac 2018 sc) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé O;i, j Pour tout nombre complexe z on pose : P z z 7 3i z 12 15i z 4 18i 32 1 a) Calculer P(2) et déterminer les nombres a et btels que z : P z z 2 z az b 2 0 75 pt

Sujets de bac : Complexes

5) Montrer que pour tout complexe , ) A ˙ 6 3 En déduire que / DE/ /F est réel Sujet n°5 : extrait de France – juin 2007 On considère l’équation ˛ : H 4 ˘ 13 4 13 ˙ 0 où * 1) Démontrer que le nombre complexe est solution de l’équation Ou : Déterminer une solution de ˛ imaginaire pur

Nombres complexes – Exercices - Physique et Maths

Exercice 12 Exercice 13 Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit Z= z−2i z−1 On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X et Y réels 1 Exprimer X et Y en fonction de x et y 2 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que Z soit réel 3 Déterminer l’ensemble C des points M d’affixe z tels que Z soit

Nombres complexes Exercices corrigés - exercicesmon-bacnet

1 Le nombre complexe (1 ) i10 est imaginaire pur 2 Le nombre complexe 2 13 (1 ) i i est de module 1 et l’un de ses arguments est 7 3 S 3 A est le point d’affixe dans un repère orthonormal L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant ( 1 2 )( 1 2 ) 4z i z i est le cercle de centre A et de rayon 4 Correction 1

Exercice type bac nombres complexes corrigé

Ne le prends pas 2 Montrer qu'un triangle est un rectangle isocele L Exercice 9 Impédance complexe Le nombre complexe de modules 1 et π/2 est noté Numéros complexes Série d'exercices fixes numéro complexe pdf n'est pas nécessaire Bac Math,

exercice Nombres complexes

EXERCICE N°2 Soit a , b et c trois nombres complexes de modules sont égaux à 1 et tel que: a + b + c = 1 Calculer c 1 b 1 a 1 + + EXERCICE N°3 z désigne un nombre complexe différent de 2 i Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O,u,v) (unité graphique: 3 cm) On désigne par A le point d'affixe 2 i

NOMBRES COMPLEXES (II) - Mathovore

Exercice 2 : D’après l’exercice 1, le système 3 cos 2 1 sin 2 x x = = − admet une unique solution dans ]−π π;]: 6 π − Exercice 3 : Les solutions de l’équation 2 cos 2 x = dans R, sont : et 4 4 π π − à 2 π près Les solutions de l’équation 1 sin 2 x = − dans R, sont : 5 et 6 6 π π − − à 2 π près

Nombres Complexes Bac S 2019, Centres Étrangers

Mathématiques Bac S 2019, Nombres Complexes Keywords: nombres complexes, affixe, écriture algébrique, nombre complexe conjugué, écriture géométrique, écriture trigonométrique, argument, module, partie imaginaire pure, partie réelle, représentation géométrique, triangle équilatéral direct, annales bac mathématiques s 2019

Les nombres complexes - MATHEMATIQUES

Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Propriétés de calculs « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres complexes z et z′, z +z′ = z +z′ Pour tous nombres complexes z et z′, z ×z′ = z ×z′ Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = zn

Exercice 3Corrigé

LES MATHÉMATIQUES

AU BACCALAURÉAT S

NOMBRES COMPLEXES, BAC S

Affixe d'un nombre complexe

Écriture algébrique d'un nombre complexe

Nombre complexe conjugué

Écriture géométrique d'un nombre complexe Écriture trigonométrique d'un nombre complexe

Argument d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Partie imaginaire d'un nombre complexe

Partie réelle d'un nombre complexe

Représentation géométrique d'un nombre complexe

Triangle équilatéral direct

1 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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freemaths fr 1. a. Donnons la forme algébrique des nombres complexes z 2 et 1 z :Ici: z = i .

Dans ces conditions:

z 2 1, 1 z 1 i 1 i x i cad: 1 z = - i .

Ainsi: z

2 = - 1 et

1 z = - i . 1. b.

Plaçons les points N

1 1 ) et P1 - i ) sur le graphique:

Nous avons le graphique suivant avec:

A ( 1 ), N

1 ( - 1 ) et P

1 i

Nous remarquons que les points A, N

1 et P 1 ne sont pas alignés .Graphique à la fin du corrigé !

EXERCICE 3

Partie A: Étude d'exemples

[ Centres Étrangers 2019 ] 2 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Résolvons dans l'équation z

2 + z + 1 = 0:

Soit l'équation:

z 2 + z + 1 = 0 = 1 - 4 x 1 x 1 cad: = - 3 = ( 3 i ) 2 < 0

D'où deux solutions dans : z

1 - 3 i

2 z 2

1 + 3 i

Au total, l'équation z

2 + z + 1 admet 2 solutions dans : z 1

1 - 3 i

2 et z 2

1 + 3 i

2 3. a.

Déterminons la forme exponentielle de z, z

2 et 1 z Ici: z = - 1 2 + i 3 2

La forme exponentielle de z:

Le module de z est: -

1 2 + i 3 2 = 1 . z = 1 x - 1 2 i 3 2

Par identification:

1 2 2 3 + 2 k 3 2 3 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Ainsi:

z = 1 x e i 2 3

La forme algébrique de z

2 z 2 = 1 x e i 2 3 2

D'où:

z 2 = e i 4 3

Ainsi: z

2 = e i 4 3 = e i 2 3

La forme algébrique de

1 z 1 z 1 e i 2 3

D'où:

1 z = e i 2 3

Ainsi:

1 z = e i 2 3 3. b.

Plaçons les points N

2 z 2 ) et P 2 1 z sur le graphique:

Nous avons le graphique suivant avec:

N 2 e i 2 3 et P 2 e i 2 3

Nous remarquons que les points A, N

2 et P 2 sont alignés: normal car N 2 et P 2 sont confondus

Graphique à la fin du corrigé

4 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Partie B:

Etablissons que pour tout z *, z

2 1 z = ( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z

Développons:

( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z 2 - z + z - 1 + 1 - 1 z = z 2 1 z *, nous avons bien: ( z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z = z 2 1 z 2. Déduisons-en que pour tout z *, les points A, N et P sont alignés ssi z 2 + z + 1 est un réel: Pour tout z 0, les points A, N et P sont alignés ssi: les vecteurs PN et PA sont colinéaires . Ici:

PN a pour affixe: z

2 1 z

PA a pour affixe: 1 -

1 z Or les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi il existe un nombre réel k tel que:

PN = k

PA . Or: z 2 1 z z 2 + z + 1 ) 1 - 1 z <=> PN = ( z 2 + z + 1 ) PA <=> PN = k

PA, avec: k = ( z

2 + z + 1 5 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Donc les vecteurs PN et PA sont colinéaires ssi: k . Ainsi: les points A, N et P sont alignés ssi k = z 2 3.

Justifions que z

2 + z + 1 = 2 - y 2 + + 1 + i ( 2 y + y ): Ici: z = x + i y .

D'où:

z 2 + z + 1 = ( x + i y ) 2 x + i y ) + 1 = x 2 - y 2 + 2 i x y + x + i y + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) .

Au total, nous avons bien: z

2 + z + 1 = x 2 - y 2 + x + 1 + i ( 2 x y + y ) . 4. a. Déterminons l'ensemble des points M d'affixe z 0 tels que les points

A, N et P soient alignés:

Les points M d'affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés vérifient le système: x 2 - y 2 + x 2 x y + y = 0 car: z 2 + z + 1 est un réel x 2 - y 2 + x + 1 = X y ( 2 x + 1 ) = 0 x = - 1 2 ou y = 0 6 freemaths fr, 2019Corrigé - Bac - Mathématiques - 2019

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Au total, l'ensemble des points M demandé est: l"ensemble des points d"abscisse égale à - 1 2 ou d"ordonnée égale à 0, privé du point O ( 0 ; 0 ) .

4. b. Traçons cet ensemble de points sur le graphique:

L'ensemble des points M d'affixe z 0 tels que les points A, N et P soient alignés est représenté sur le graphique suivant:quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] Nombres Complexes Bac S 2019, Centres Étrangers

Exercice 3Corrigé

LES MATHÉMATIQUES

AU BACCALAURÉAT S

NOMBRES COMPLEXES, BAC S

Affixe d'un nombre complexe

Écriture algébrique d'un nombre complexe

Nombre complexe conjugué

Argument d'un nombre complexe

Module d'un nombre complexe

Partie imaginaire d'un nombre complexe

Partie réelle d'un nombre complexe

Triangle équilatéral direct

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Dans ces conditions:

Ainsi: z

2 = - 1 et

Plaçons les points N

Nous avons le graphique suivant avec:

A ( 1 ), N

1 ( - 1 ) et P

Nous remarquons que les points A, N

EXERCICE 3

Partie A: Étude d'exemples

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Résolvons dans l'équation z

Soit l'équation:

D'où deux solutions dans : z

1 - 3 i

1 + 3 i

Au total, l'équation z

1 - 3 i

1 + 3 i

Déterminons la forme exponentielle de z, z

La forme exponentielle de z:

Le module de z est: -

Par identification:

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Ainsi:

La forme algébrique de z

D'où:

Ainsi: z

La forme algébrique de

D'où:

Ainsi:

Plaçons les points N

Nous avons le graphique suivant avec:

Nous remarquons que les points A, N

Graphique à la fin du corrigé

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Partie B:

Etablissons que pour tout z *, z

Développons:

PN a pour affixe: z

PA a pour affixe: 1 -

PN = k

PA, avec: k = ( z

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Justifions que z

D'où:

Au total, nous avons bien: z

A, N et P soient alignés:

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4. b. Traçons cet ensemble de points sur le graphique: