Leçon n°8 : Forme trigonométrique dun nombre complexe

Les nombres complexes Terminale S Le point M1 est l’image du nombre complexe z1 = 3+ 4i et l’aﬃxe de M2 est le nombre complexe z2 = i−2 Un point M d’aﬃxe un r´eel, se trouve sur l’axe des

Les nombres complexes - maths-francefr

Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z Propriétés de calculs « Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tous nombres complexes z et z′, z +z′ = z +z′ Pour tous nombres complexes z et z′, z ×z′ = z ×z′ Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = zn

Nombres complexes – Exercices - Physique et Maths

Exercice 10 Exercice 11 Exercice 12 Exercice 13 Pour tout nombre complexe z différent de 1, on définit Z= z−2i z−1 On pose z=x+iy et Z=X+iY avec x, y, X et Y réels 1 Exprimer X et Y en fonction de x et y

Niveau Terminale S Chapitre 08 : Les Complexes (Partie II)

I Ecriture trigonométrique d’un nombre complexe 1 Découverte Soit A d’affixe A A A z x iy dans le repère ( , , )O u v, U OA puis TS u AB, [2 ] Niveau: Terminale S Titre Cours: Chapitre 08 : Les Complexes (Partie II) Année: 2014-2015 Henri CARTAN Né le 8 juillet 1904 et mort le 13 août 2008 A travaillé

Cours complet sur les nombres complexes - TS - Bacamaths

La partie imaginaire d'un nombre complexe est un nombre réel 2 5 Définition Tout nombre complexe de la forme z = bi (où b ∈ ) s'appelle un imaginaire pur L'ensemble des imaginaires purs est noté i 2 6 Remarques : • Dans l'ensemble , il n'y a plus la notion d'ordre usuelle(1) On ne pourra pas, à ce niveau, comparer un

Terminale S Nombr complex DE : 2 octobre DS : 6 octobre

Vidéo 3 : Conjugué d'un nombre complexe Learning Apps : Vidéo 3 Terminale S Compétences à acquérir : 1 Déterminer une forme algébrique 2 Connaître et utiliser le conjugué de z 3 Résoudre des équations d'inconnue z 4 Résoudre des équations avec le complexe de z 5 Résoudre des équations avec z et son conjugué 6

Nombres Complexes

racines dans La démonstration dépasse amplement le niveau de terminale, on se contentera du second degré • On perd l’ordre Pour rappel, deux nombres réels peuvent toujours être ordonnés (il y a le plus grand et le plus petit) Pour montrer que l’ordre dans n’existe pas, il suffit de trouver deux éléments non ordonnables

Leçon n°8 : Forme trigonométrique dun nombre complexe

Leçon n°8 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe Applications Niveau : Terminale S Pré-requis : équations du second degré dans R Trigonométrie dans R Vecteurs Plan : I Forme algébrique d'un nombre complexe 1 Théorème et définition 2 Conjugué d'un nombre complexe 3 Représentation dans le plan complexe 4

Nombres complexes Exercices corrigés

1 Le nombre complexe (1 ) i10 est imaginaire pur 2 Le nombre complexe 2 13 (1 ) i i est de module 1 et l’un de ses arguments est 7 3 S 3 A est le point d’affixe dans un repère orthonormal L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant ( 1 2 )( 1 2 ) 4z i z i est le cercle de centre A et de rayon 4 Correction 1

Niveau : Terminale S

Pré-requis : équations du second degré dans R. Trigonométrie dans R. Vecteurs.

Plan :

I.Forme algébrique d'un nombre complexe

1.Théorème et définition

2.Conjugué d'un nombre complexe

3.Représentation dans le plan complexe

4.Equations du second degré dans C

II.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1.Module et argument

2.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

3.notation exponentielle de la forme trigonométrique

III.Applications

1.Applications à la trigonométrie

2.Applications à la géométrie

I. Forme algébrique d'un nombre complexe

1°) Théorème et définition

Exemple : z = 3 - 2i est un nombre complexe.

Exemple : z = 3 - 2i → 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire.

Remarques :

•z est un réel si et seulement si Im(z)=0 •z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0. •Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, deux nombres complexes

sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En

particulier, x+ iy = 0 ssi x=0 et y=0.

Exercice:

Résoudre dans C les équations suivantes : 1. 2z+ i = 2-i2. 3z +1 -2i = 4 - 3i -2z

2°) Conjugué d'un nombre complexe

a) Définition Exemple : z = 3 - 2i d'où z = 3- 2i = 3 + 2i. b) Propriétés sur le conjugué - Démonstrations des propriétés -

Exercice:

Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique.

1. -2 +3i2. i(2-5i)3. (1- i)/2i

3°) Représentation dans le plan complexe

a) Affixe d'un point

Exemples :

Le point M d'affixe 3+i a pour coordonnées (3; 1). Le point N d'affixe -1 -i a pour coordonné (-1; -1). - Démonstration -

Exercice:

Dans le plan complexe, on considère les points A(1-3i), B(5+2i) et C(4-4i). Déterminer l'affixe du

point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) affixe d'un vecteur

Exemple :

Le vecteur OM d'affixe 3+i a pour coordonnés (3 1) Le vecteur PN d'affixe 1-2i a pour coordonnés (1 -2) - Démonstration - Exercice: Montrer que les points A(-2i), B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés.

4°) Equations du Second degré dans C

a) Equation du type az2+bz+c = 0 - Démonstration -

Exercice :

Résoudre dans C les équations suivantes :

1. z²+ 3z +4 = 02. z4 +2z2 -8 = 0

b) Factorisation d'un trinôme du second degré - Démonstration -

II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1°) Module et argument d'un nombre complexe

a) définition b) premières propriétés Exercice : On considère les points A, B et C d'affixes respectives a=2i , b=-3, c=-2 +2i.

1. Représenter ces points dans le plan complexes

2. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.

2 °) Forme trigonométrique d'un nombre complexe

a) Définition b) propriétés sur les modules et arguments - Démonstration -

3°) notation exponentielle de la forme trigonométrique

a) la notation eiO

Définition :

b) propriété et définition -Démonstration -

III.Applications

1°) Application à la trigonométrie

Calcul de valeurs exactes d'angles :

2°) Application géométrique

a) déterminer des lieux géométriques avec des complexes b) étudier une configuration géométrique avec des complexesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Leçon n°8 : Forme trigonométrique dun nombre complexe

Niveau : Terminale S

Plan :

I.Forme algébrique d'un nombre complexe

1.Théorème et définition

2.Conjugué d'un nombre complexe

3.Représentation dans le plan complexe

4.Equations du second degré dans C

II.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1.Module et argument

2.Forme trigonométrique d'un nombre complexe

3.notation exponentielle de la forme trigonométrique

III.Applications

1.Applications à la trigonométrie

2.Applications à la géométrie

I. Forme algébrique d'un nombre complexe

1°) Théorème et définition

Exemple : z = 3 - 2i est un nombre complexe.

Remarques :

Exercice:

2°) Conjugué d'un nombre complexe

Exercice:

1. -2 +3i2. i(2-5i)3. (1- i)/2i

3°) Représentation dans le plan complexe

Exemples :

Exercice:

Exemple :

4°) Equations du Second degré dans C

Exercice :

Résoudre dans C les équations suivantes :

1. z²+ 3z +4 = 02. z4 +2z2 -8 = 0

II. Forme trigonométrique d'un nombre complexe

1°) Module et argument d'un nombre complexe

1. Représenter ces points dans le plan complexes

2. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.

2 °) Forme trigonométrique d'un nombre complexe

3°) notation exponentielle de la forme trigonométrique

Définition :

III.Applications

1°) Application à la trigonométrie

Calcul de valeurs exactes d'angles :

2°) Application géométrique