[PDF] Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diff´erentielles

5 L’´equation est y′(x)− x x2 +1 y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene Ici a(x) = − x x2 +1 donc une primitive est A(x) = − 1 2 ln(x2 +1) La solution g´en´erale de l’´equation (homog`ene) est y(x) = C e−A(x) = C e12 ln(x 2+1) = C (x2 +1)12 = C √ x2 +1 Exercice 2 R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants : MAP101 2

Exercices corriges sur les équations différentielles (GuesmiB)

Equation différentielle du second ordre Equation differentielle du deuxieme ordre sans second membre Est de la forme ay ‘’+by’+cy=0 (E 0) son équation caracteristique ar2+br+c=0 (1) ∆=b2-4ac *si ∆=0 donc (1) admet une seule solution r

LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES - AlloSchool

Exercice : Considérons les équations différentielles (???? 0): ′− = 0 et (????) : 2 ²y y x xc 1- Résoudre l’équation différentielle (???? 0) 2- a) Soit ???? une fonction polynôme, quel sera le degré de ???? afin que ???? soit une solution de (????) b) Déterminer le polynôme ???? pour que ???? soit une solution de (????)

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 6 Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies sur R tout entier : 1 x2y0 y=0 (E 1) 2 xy0+y 1 =0 (E 2) Indication H Correction H Vidéo [006996] 2 Second ordre Exercice 7 Résoudre 1 y00 3y0+2y=0 2 y00+2y0+2y=0 3 y00 2y0+y=0 4 y00+y=2cos2 x Correction H Vidéo [006997] Exercice 8 On considère

Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé

Corrigé 1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Exercice 1 1 Rappel : solution d’une équation différentielle du premier ordre L’équation différentielle y′(x) +a(x)y(x) = 0 admet pour solution x →Kexp(− Z a) où K est une constante 1 1 1 On désire résoudre y′(x) +y(x) = 2+2x

13 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A

Equation différentielle du second ordre linéaire à coefficients constants soit y"+y'=0(E 0) l' équation sans second membre et r 2 +r =0 l' équation caractéristique qui admet pour racines les nombres réels r 1 =−1et r 2 =0 la solution générale de l' équation sans second membre (E 0) est y SG(E 0) =C 1 e −x +C 2 avec (C

Extraits de sujets dexamens - Free

EXERCICE 2012_Gr_C: (Extrait du sujet Groupement C – Session 2012) Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante Le thermomètre de Galilée est composé d'un cylindre en verre clos

Equations · differentielles· d’ordre 2

A` cette equation´ differentielle´ sont associees´ 2 autres equations´ : Une autre ´equation differentielle´ d’inconnue y, que l’on appelle ·equation sanssecondmembreassociee· a˚ l’equation· (E) (ou encore equation· homogene˚ associee· a˚l’equation· (E)) et que l’on note souvent (E0) : (E0) ay + by + cy = 0 Une

Exo7 - Exercices de mathématiques

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation y0(x) y(x) x y(x)2 = 9x2: (E) 1 Trouvons a 2]0;¥[ tel que y 0(x)=ax soit une solution particulière Puisque y0 0(x) y 0(x) x y 0(x)2 = a2x2; y 0 est solution si et seulement si a = 3 On choisit a =3 2 Si z est une fonction C1 ne s’annulant pas, on pose y(x) = 3x 1=z(x) Alors y est

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Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année1 Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année

Corrigé

1

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

Exercice 1.1

Rappel : solution d"une équation différentielle du premier ordre

L"équation différentielle

y ?(x) +a(x)y(x) = 0 admet pour solutionx?→Kexp(-? a) oùKest une constante.

1.1.1On désire résoudre

y ?(x) +y(x) = 2 + 2x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène associée y ?(x) +y(x) = 0

Cette équation a pour solution générale

x?→Kexp(-x) oùKest une constante.

Rappel : Méthode de variation de la constante

On cherche à résoudre l"équation différentielle y ?(x) +a(x)y(x) =b(x) SiyHest une solution de l"équation différentielle homogène y ?(x) +a(x)y(x) = 0 alors laméthode de variation de la constanteconsiste à rechercher une so- lution particulière de l"équation différentielle avec second membre sous la forme x?→K(x)yH(x)

1généré avec LATEX2ε. Tous les commentaires, compléments, insultes et remarques désobligeantes

sont les bienvenus àperrier@math.u-bordeaux1.fr

2Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

Afin de déterminer la solution de l"équation avec second membre, on cherche une solution de celle-ci sous la formex?→Kexp(-x), oùKest une fonction que l"on va déterminer. Il vient alors y ?(x) +y(x)=K?(x)e-x-K(x)e-x+ K(x)e-x =K ?(x)e-x y ?(x) +y(x)=2 + 2x c"est à dire queK?(x) = 2(1 +x)ex Il reste à intégrerK(on intègre par parties)

K(x)=?

2(1 +x)exdx

=[2(1 +x)ex]-? 2e xdx

K(x)=2xex+ C

oùCest une constante. Finalement, l"ensemble des solutions del"équation différen- tielle est {x?→(2x+ K)e-xK?R}.

1.1.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

y ?(x) + 4y(x) = sin(3x)e-4x On commence par résoudre l"équation différentielle homogène y ?(x) + 4y(x) = 0 Celle-ci admet pour solution les fonctions de la formex?→Ke-4x, oùKest une constante. On cherche maintenant une solution de l"équation différentielle avec second membre sous la formex?→K(x)e-4x, oùKest une fonction. On a alors y ?(x) + 4y(x) = K?(x)e-4x= sin(3x)e-4x d"oùK?(x) = sin(3x) soitK(x) =-cos(3x) 3+ C Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?

K-cos(3x)

3? e -4xK?R? Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année3

Exercice 1.2

1.2.1On cherche à résoudre l"équation différentielle

2x2y?(x) +y(x) = 1

On commence par résoudre l"équation différentielle homogène

2x2y?(x) +y(x) = 0

Les solutions de cette équation différentielle sont de la forme x?→exp? -?du 2u2? = Kexp?12x? OùKest une constante. Cherchons à présent une solution de l"équation différentielle avec second membre, sous la forme x?→K(x)exp?1 2x?

On a alors

?y(x)=K(x)exp?1 2x? y ?(x)=K?(x)exp?1 2x? -K(x)2x2exp?12x? d"oùK?(x) =1

2x2exp?12x?

On en déduit queK(x) = exp?1

2x? Finalement, l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est x?→?

K + exp?

-1 2x?? exp?12x? K?R?

1.2.2On cherche à résoudre l"équation différentielle

xy ?(x) =y(x)(1-xtanx) +x2cosx Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène xy ?(x)-y(x)(1-xtanx) = 0 Cette équation différentielle a pour solution x?→exp? ??1 u-tanu? du?

4Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année

En outre?

?1u-tanu? du=?1udu-?sinucosudu =log|x|+ log|cosx| Les solutions de l"équation différentielle homogène sont donc de la forme x?→K|xcosx| oùKest une constante. Afin de déterminer une solution de l"équation avec second membre, on cherche des solutions sous la forme x?→K(x)|xcosx| En injectant cette dernière expression dans l"équation, onobtient K ?(x)|xcosx|=xcosx d"oùK?(x) =xcosx |xcosx|=ε oùεvaut1ou-1, selon le signe dexet decosx:

ε= 1six??

-2kπ-3π

2;-2kπ-π2?

k?N ou six??

0;π

2? ou six??

2kπ+3π

2;2kπ+5π2?

k?N

ε=-1six??

2kπ+π

2;2kπ+3π2?

k?N ou six?? 2;0? ou six?? -2kπ-5π

2;-2kπ-3π2?

k?N La fonctionx?→εxest une primitive dex?→εx, et on en déduit que l"ensemble des solutions de l"équation différentielle est {x?→(εx+ K)|xcosx|K?R}.

Exercice 1.3

On cherche à résoudre l"équation différentielle (x2-1)y?+xy+ 1 = 0 Commençons par résoudre l"équation différentielle homogène associée (x2-1)y?+xy= 0

On a alors

y(x) = Kexp? ?-xdx x2-1? = Kexp? -12log??x2-1??? =K?|x2-1| Rappels de Mathématiques, Istil 1ère année5 oùKest une constante. Cela veut dire qu"on a y(x) =?????K ⎷x2-1si|x|>1 K ⎷1-x2si|x|<1 ou encorey(x) =K ?ε(x2-1) avec

ε= 1si|x|>1

ε=-1si|x|<1

Afin de résoudre l"équation différentielle avec second membre, on en cherche une solution sous la forme x?→K(x) ?ε(x2-1)

Il vient alors(x2-1)y?+xy= (x2-1)K?(x)

?ε(x2-1)=-1 soitK?(x) =-?

ε(x2-1)

x2-1=-ε?ε(x2-1)

On en déduit queK(x) = Arcsinxsi|x|<1

K(x) =-Argch(x)si|x|<1

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