Un problème ouvert et ses prolongements

Billes sphériques

On dépose une bille sphérique de rayon 5 cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16 cm, hauteur 20 cm et contenant V0 cm3 d'eau La surface de l'eau est tangente a la bille Partie 1: 1) Représenter le récipient et la bille en perspective cavalière 2) Calculer le volume V0 d'eau contenue dans le récipient

Devoir maison n°2 A remettre le

On dépose une bille sphérique de rayon 5 cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16 cm et contenant V 0 cm 3 d'eau La surface de l'eau est tangente à la bille Calculer le volume V o d'eau contenu dans le récipient 2 On enlève la première bille et on place dans le récipient une bille de rayon 7 cm a)L’eau recouvre-t-elle la

Un problème ouvert et ses prolongements - ac-noumeanc

Une bille sphérique est placée dans un verre conique ; elle touche les bords du verre et affleure le plan supérieur du verre conformément au schéma ci dessous Le diamètre du verre est de 10 cm et sa hauteur est de 12 cm Calculer le rayon de cette bille

, ni liquide, ni solide - SiteWcom

Viscosimetre à chute de bille h R 1 R 2 O y Le viscosimètre à chute de bille est basé sur le principe de mesure d’Höppler Une bille sphérique tombe lentement dans un tube bien calibré renfermant le liquide visqueux On mesure la durée t que met la bille pour parcourir une certaine distance On montre

PLAN DE L’EXPOSE

En mesurant la vitesse de chute d'une bille sphérique dans un tube vertical rempli du fluide à étudier, il est possible de déduire la viscosité cinématique En effet, pendant la phase du mouvement rectiligne uniforme, les différentes forces qui s’appliquent sur la bille, à savoir

Mémorial des sciences mathématiques

nure on place une bille et on lui imprime une vitesse initiale La bille roule sur le fond de la rainure et elle finit par s'arrêter sur une bande rouge ou noire Soit x la distance au centre d'une bande au point A et dx la largeur d'une bande, supposée très petite Nous admettons que la probabilité pour que la bille se trouve, dans sa

Projet MHK : Support universel 2 - My Human Kit

1 Ressort diam 5mm x 20 mm de long (comprimé à 12 mm une fois en place) 1 poussoir à ressort à bille M8 x 20mm (avec une bille sphérique de 5mm)

[Cabines] Cabine de sablage

sangle «dragonne sont prévus pour couper le circuit Une extrémité de la sangle est fixée au poignet de l'opérateur, tandis que l'autre extrémité est fixée à une bille de nylon Pendant le fonctionnement, le contact sphérique de nylon est inséré dans le corps de poignée, et est utilisé pour maintenir l'actionneur de valve en place

DOCTORAT DE LUNIVERSITÉ DE TOULOUSE

l’aide d’une veine de séchage a montré que la décomposition de la solution de nitrate de fer nonahydraté en hématite se déroule en trois phases : une première phase accompagnée d’une perte de l’eau libre et de sept molécules d’eau de constitution, une deuxième phase rapide accompagnée d’une

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[PDF] on souhaite construire un chateau de cartes ? n niveaux

Correction Rallye 2007 et prolongements1JM GIBERT (IREM Toulouse)Un problème ouvert et ses prolongements

Le but de cet article est de montrer qu'à partir d'un problème ouvert de 4

ème on

peut faire surgir des solutions ou prolongements touchant les divers niveaux d'enseignement. Avec cet exercice et ses prolongements on peut donc faire revoir Pythagore, Thalès, la trigo, les équations, les volumes, les agrandissements réductions, aborder les suites géométriques, les logarithmes, l'usage de la calculatrice, d'un logiciel de calcul formel comme Maple etc. Le départ de cette étude est un problème classique posé par mon ami B Vinter au Rallye Mathématiques sans frontière en 2007

Le texte initial était le suivant et s'adressait à des élèves de troisième et seconde

qui composait en classe entière :

La coupe est pleine :

Calculer le rayon de cette bille

Correction Rallye 2007 et prolongements2JM GIBERT (IREM Toulouse)Solution : La coupe est pleine

Il s'agit d'un problème de géométrie dans l'espace que l'on ramène au plan en coupant par un

plan médiateur ce qui a été fait dans le dessin joint à l'énoncé

Solution 1 ( niveau 4

ème)calcul d'aire et théorème de Pythagore ; donne une valeur exacte Calculons l'aire du triangle IBS de deux façons en posant OI = OJ = OK = R

Aire IBS =

IB´IS

2 =

5´12

2 et Aire IBS = Aire IBO + Aire BOS =

R´ 5

2 +

BS´ R

2Calcul de BS : Pythagore dans le triangle rectangle IBS : BS² = IB² + IS² = 5² + 12² = 169

donc BS = 13

On a donc

5´12

2 =

R´ 5

2 +

13´R

2 soit 60 = 5R + 13R d'où 18R = 60 et R =

60
18 = 10 3 cm Pour faire plus compliqué : Solution 2 ( niveau 3

ème)utilise le calcul trigonométrique

mais donne une valeur approchée sauf si l'on utilise judicieusement la calculatrice fx 92 ou fx 92collège 2D ( peut-être existe t- il d'autres modèles que je ne connais pas)

Correction Rallye 2007 et prolongements3JM GIBERT (IREM Toulouse)Dans le triangle rectangle ISB tanISB =

12 doncISB = tan

-1(5 12)

Dans le triangle rectangle OSJ, sinISB =

12-R donc

sin (tan -1(5 12) = R

12-RA partir de là, cela dépend de la calculatrice utilisée

a. Sur la 2D sin(tan -1(5

12)) =

13 donc l'équation devient

5 13 = R

12-R soit 5(12-R) = 13 R et l'on

retrouve R = 60
18 cm b. Sur la fx92 normale on tape ( tan -1(5 /12) = puis sin Ans puis d/c et on retrouve5

13Sinon on utilise le calcul approché mais on trouvera environ 3,3 cm

Pour vraiment faire savant et compliquer un peu : Solution 3 (niveau 1

ère) avec la trigo,

les équations du second degré , Pythagore et les identités remarquables

Dans le triangle rectangle ISB tanISB =

12Dans le triangle rectangle OSJ tanISJ =

SJ et d'après la propriété de Pythagore

SJ =(12-R)² - R² soit en factorisant SJ =12(12-2R)

On a donc :

5 12 =

R12(12-2R) soit, en élevant au carré, (

12)² =

R²

12(12-2R) ce qui donne :

25
12 = R²

12-2R ce qui se transforme en : 6R² + 25R -150 = 0 , équation de second degré dont le

discriminant est :25²+4´900 =4225 = 65

La racine positive est donc :

-25+65 12 = 40
12 = 10

3 et laborieusement on retrouve R =

10 3 cm Variante : On peut également montrer que l'on est expert sur la trigo : Le cercle de centre O est le cercle inscrit dans le triangle ABS et a donc pour centre le point de concours de bissectrices de ce triangle. On a doncIBO =IBS

2On a vu que tanISB =

5 et tanIBO =

IO IB = R

5On sait que tan 2a =

2 tan a

1 - tan² a donc on a

12 5 =

2´R

5 1 -(R

5)²ce qui redonne l'équation du

second degré. Correction Rallye 2007 et prolongements4JM GIBERT (IREM Toulouse)

Prolongements :

A )Et si lon recommençait ?

(pour utiliser Thales et les rapports de réduction) :

Trouver le rayon de la boule colorée ?

Solution:

Traçons la droite tangente aux deux cercles

On reconnaît alors une figure caractéristique de Thalès (ou une homothétie de centre S)

Le rapport est de

12-2R

12 soit

12-20 312 =
16 36 =
4

9Le rayon de la seconde bille est donc de

10 3´ 4 9 = 40
27 cm
Sur la lancée, pourquoi ne pas demander une construction du centre de cette petite boule ? Appelons L le point d'intersection de la tangente commune aux deux cercles autre que (SA) et (SB) avec le segment [AS]. SL

SA est le rapport de réduction et, toujours en utilisant Thalès, il suffit de tracer la parallèle à

la droite (AO) passant par L ; cette droite coupe (SI) au point cherché, centre du cercle coloré

Et si l'on continuait le processus ( pour les 1

ère ou terminales) ??

Les rayons des boules successives sont en progression géométrique de premier terme 10 3 de raison 4

9 et l'on pourrait alors en utilisant les logarithmes demander à partir de quel rang la

boule a un rayon inférieur à 10 -2cm mais ..... je vous laisse le soin de finir les calculs

Et si l'on renversait le cône ?

Puisque nous sommes avec une bille de rayon très petit cela peut nous faire penser à la bille du stylo et générer un autre problème en " renversant le problème » :

Une bille de stylo a un diamètre de

10 mm et elle

doit être a la pointe dun cône sans pouvoir " sévader » et le cône doit être tangent a la bille comme sur le dessin ci-contre Correction Rallye 2007 et prolongements5JM GIBERT (IREM Toulouse) a)donner une condition pour que la bille ne puisse pas tomber b) on considère quun bon compromis est réalisé lorsque la bille sort du tronc de cône du quart de son rayon ; faire un dessin puis calculer langle au sommet du cône et la distance du sommet ou lon doit tronquer ce cône c) calculer la hauteur du cône pour que celui-ci sadapte sur le cylindre réservoir de 1mm de diamètre

Solution : on fait le dessin en coupe

Si R est le rayon de la bille OA =OB =R et OI =

2Dans le triangle rectangle IOB la propriété de

Pythagore permet d'écrire cosIOB =

OI OB = 1

2 donc

puisque cos -1(1

2) =60 on aIOB = 60° et son complémentaire dans le triangle rectangle OSB

estOSB doncOSB = 30°

L'angleASB a donc pour mesure 60°

Dans le triangle rectangle OSB on peut calculer OS : sinOSB = OB

OS donc OS =

R sinOSB d'où OS = 10-1 sin 30° = 10-1

0,5 = 2´ 10-1mm d'où SI = SO - OI = 2´10-1-10-1

2 = 3 2 10 -1mm On doit donc couper le cone à une distance de 0,15 mm du sommet.

Pour calculer la hauteur du cone à prévoir pour l'emboîtement avec le réservoir d'encre il

nous suffit d'appliquer la propriété de Thalès dans le triangle SJK en calculant auparavant IB

On trouve IB² = OB²- OI² = (10

-1)² - (10-1

2)² = 10

-2-10-2 4 = 3

4´ 10-2d'où IB =3´10-2

4IB =3 10

-1 2 mm

On a donc

SI SJ = IB

JK soit

3 2 10 -2

SJ =3 10

-1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Un problème ouvert et ses prolongements - ac-noumeanc

ème on

La coupe est pleine :

Calculer le rayon de cette bille

Solution 1 ( niveau 4

Aire IBS =

IB´IS

5´12

2 et Aire IBS = Aire IBO + Aire BOS =

R´ 5

BS´ R

2Calcul de BS : Pythagore dans le triangle rectangle IBS : BS² = IB² + IS² = 5² + 12² = 169

On a donc

5´12

R´ 5

13´R

2 soit 60 = 5R + 13R d'où 18R = 60 et R =

ème)utilise le calcul trigonométrique

12 doncISB = tan

Dans le triangle rectangle OSJ, sinISB =

12-R donc

12-RA partir de là, cela dépend de la calculatrice utilisée

12)) =

13 donc l'équation devient

12-R soit 5(12-R) = 13 R et l'on

13Sinon on utilise le calcul approché mais on trouvera environ 3,3 cm

ère) avec la trigo,

Dans le triangle rectangle ISB tanISB =

12Dans le triangle rectangle OSJ tanISJ =

SJ et d'après la propriété de Pythagore

On a donc :

R12(12-2R) soit, en élevant au carré, (

12)² =

12(12-2R) ce qui donne :

12-2R ce qui se transforme en : 6R² + 25R -150 = 0 , équation de second degré dont le

La racine positive est donc :

3 et laborieusement on retrouve R =

2On a vu que tanISB =

5 et tanIBO =

5On sait que tan 2a =

2 tan a

1 - tan² a donc on a

2´R

5 1 -(R

5)²ce qui redonne l'équation du

Prolongements :

A )Et si lon recommençait ?

Trouver le rayon de la boule colorée ?

Solution:

Traçons la droite tangente aux deux cercles

Le rapport est de

12 soit

9Le rayon de la seconde bille est donc de

Et si l'on continuait le processus ( pour les 1

ère ou terminales) ??

9 et l'on pourrait alors en utilisant les logarithmes demander à partir de quel rang la

Et si l'on renversait le cône ?

Une bille de stylo a un diamètre de

10 mm et elle

Solution : on fait le dessin en coupe

Si R est le rayon de la bille OA =OB =R et OI =

2Dans le triangle rectangle IOB la propriété de

Pythagore permet d'écrire cosIOB =

2 donc

2) =60 on aIOB = 60° et son complémentaire dans le triangle rectangle OSB

L'angleASB a donc pour mesure 60°

OS donc OS =

0,5 = 2´ 10-1mm d'où SI = SO - OI = 2´10-1-10-1

On trouve IB² = OB²- OI² = (10

2)² = 10

4´ 10-2d'où IB =3´10-2

4IB =3 10

On a donc

JK soit

SJ =3 10