[PDF] Corrigé du baccalauréat S Métropole 21 juin 2011



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?Corrigé dubaccalauréat S Métropole 21 juin 2011?

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

PARTIEA

1. a.D"après l"énoncé, on a :P(V)0,02 ;PV(T)0,99 ;P

V(T)0,97.

Traduisons la situation par un arbre de probabilités : V 0,02? T 0,99 T0,01

V0,98?

T 0,03

T0,97b.P(VT)PV(T)P(V)0,990,020,0198

2.Par conséquent :P(V)P(VT)P

V T

PT(V)p(T)PV(T)PV

(formule des proba- bilités conditionnelles).

Alors :P(T)0,990,020,030,980,0492.

3. a.Il faut calculerPT(V). Or :PT(V)P(VT)

P(T)0,01980,04920,402, soit environ 40%.

Il n"y a bien qu"environ 40% de "chances» que la personne soitcontaminée », sachant que le test est positif. b.La probabilité qu"une personne ne soit pas contaminée par levirus sachant que son test est négatif estP(T) V P VT P(T)0,970,9810,04920,9997, c"est-à-dire environ 99,97%.

PARTIEB

1.On a répétition de 10 épreuves identiques indépendantes à deux issues, doncXsuit la loi bino-

mialeB(10 ; 0,02).

2.Pour toutk, (0?k?10), on aP(Xk)

10 k

0,02k(10,02)10k.

EXERCICE24 points

Commun à tous lescandidats

Erreurdans l"énoncé: la question2 a deux réponsesexactes Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct O,u,v On désigne par A, B, C, D les points d"affixes respectiveszA1,zBi,zC1,zDi.

1.L"écriture complexe de la rotation de centre A et d"angle

3estzei

3(z1)1, donc

z 1 2i 3 2 (z1)1.

On en déduitzE

1 2i 3 2 (i1)1 1 3 2 (1i) (réponse 2).

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

2.ziz1 zzDzzADMAMsiMest le point d"affixez. L"ensemble cherché est

donc la médiatrice du segment [AD].

Comme ABCD est de manière évidente un carré, c"est aussi la médiatrice du segment [BC]. (ré-

ponses 1 et 4)

3.On doit avoirz1.zi

z1iRargziz1

2[]MC;MD

2[]. On obtient le cercle de diamètre [CD],

privé de C. (réponse 2)

Méthode analytique :

zi z1iRziz1 zi z1 0ziz1 zi z10 (zi)( z1)(z1)(zi)0 (avecz1) 2z z(zz)i(zz)02(x2y2)2x2y0x2y2xy0 x1 2 2 14 y12 2 140
x12 2 y12 2

12(etz1).

Le centre du cercleΩa donc pour affixe1

2i2et le rayon vaut

2 2.

Son diamètre a donc une longueur égale à

2 et son centreΩest le milieu de [CD] car son affixe

est la demi-somme des affixes de C et de D. Mais CD zCD i1

2, on déduit que ce

cercle est celui de diamètre [CD].

L"ensemble cherché est donc ce cercle auquel on enlève le pointCdont l"affixe annule le dénomi-

nateur (z1).

4.arg(zi)

22karg

z BM

22ku;BM

22k.
arg(zi) n"existe que sizi, doncMB.

On obtient la demi-droite ]BD]. (réponse 3)

EXERCICE37 points

Commun à tous lescandidats

PARTIEA

1. a.f1(x)xexx

ex. lim x(x)donc limxexlimXeX, d"où, par produit : limxf1(x). D"après le cours (croissances comparées), lim xe x xdonc limxxex0 : lim xf1(x)0. b.f1est dérivable surRcomme produit et composée de fonctions dérivables.

Pour toutxR,f1(x)1exxex(1x)ex.

Pour toutxR, ex0, doncf1(x) est du signe de 1-x, donc positif pourx?1 et nulle pour x1. On en déduit le tableau de variations suivant : x1 f1(x)0 f1(x)?? ??1 e????0 c.On sait quek?1; limxf1(x) , ce qui n"est pas le cas pourfkd"après le graphique, donck1, c"est-à-direk?2.

MétropolePage 2/??21 juin 2011

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

2. a.Pour toutn?1, on afn(0)0e00 etfn(1)1ne1e11e.

Toutes les courbesCnpassent par l"origine et le point de coordonnées 1 ;1 e b.Pour toutn?1,fnest dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables.

Pour toutxR,fn(x)nxn1exxnexxn1(nx)ex

3.f3(x)x2(3x)ex, qui s"annule enx3 et est du signe de3x, donc positif pourx?3 et négatif

pourx?3.

La fonctionf3admet donc bien un maximum en 3.

4. a.L"équation de la tangenteTkest :yf

k(1)(x1)fk(1), doncyk1 e(x1)1esoit y(k1)xk2 e. y0 pourxk2 k1. b.On sait queTkcoupe l"axe des abscisses en4

5. On résout donc l"équationk2k145. On

obtient 5(k2)4(k1), d"oùk6.

PARTIEB

On désigne par

(In)la suite définie pour tout entiernsupérieur ou égal à 1 par I n 1 0 xnexdx. 1.I1 1 0 xexdx 1 0 u(x)v(x) dxavecu(x)x v (x)ex. Alors :u(x)1 v(x)ex. uetvsont dérivables,uetvsont continues. On peut effectuer une intégration par parties. I

1[u(x)v(x)]10

1 0 u(x)v(x) dxxex10 1 0 exdx1 eex101e1e112e.

2. a.Sur [0; 1],fnest continue et positive, doncInreprésente l"aire comprise entre les droites

d"équationsx0,x1, la courbeCnet l"axe des abscisses. On voit sur le graphique que ces aires semblent décroissantes, donc la suite (In)semble décroissante. b.Pour toutn?1,In1In 1 0 xn1exdx 1 0 xnexdx 1 0 [xn1exxnex] dx(par li- néarité) 1 0 xn(x1)exdx. Sur [0; 1],xn?0,ex?0etx1?0doncxn(x1)ex?0. Onintègresur [0; 1]une fonction

continue négative, donc le résultat est un nombre négatif (positivité de l"intégrale).

On en déduit queIn1In?0 donc la suite(In)est décroissante. c.Il est évident queIn?0 (intégrale d"une fonction positive). La suite(In)est donc décrois- sante et minorée, donc convergente vers un rééel. d.Montrons que0. Première méthode : sur [0; 1],xxest décroissante, donc par composition avec exp, xexest décroissante, donc ex?e01. Sur [0; 1],fn(x)xnex?xn, donc par propriété de l"intégration, 1 0 fn(x) dx? 1 0 xndxxn1 n1 1 01n1.

Parconséquent:0?In?1

n1;or limn1n10,donc,d"aprèslethéorèmedegendarmes, lim nIn0.

MétropolePage 3/??21 juin 2011

Baccalauréat SA. P.M. E. P.

Deuxièmeméthode:Ona:In1

1 0 xn1exdx 1 0 un1(x)v(x) dxavecun1(x)xn1 v (x)ex d"où un1(x)(n1)xn v(x)ex u n1etvsont continues, donc on peut effectuer une intégration par parties.

On obtient :In1xn1ex10

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