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Outils Math´ematiques de la Physique

Peter Schlagheck

Universit´e de Li`ege

Ces notes ont pour seule vocation d"ˆetre utilis´ees par les´etudiants dans le cadre de leur cursus au sein de l"Universit´e de Li`ege. Aucun autre usage ni diffusion n"est autoris´e, sous peine de constituer une violation de la Loi du 30 juin 1994 relative audroit d"auteur. 2

Chapitre 1L"analyse complexe1.1 Les nombres complexesLes nombres complexes sont tous les nombres de la formez=x+iyo`uxetysont

des nombres r´eels. L"objet alg´ebriquei, qui n"est pas un nombre r´eel, satisfait `a l"´equation i

2=i·i=-1 (1.1)

et on´ecrit parfoisi=⎷ -1.iest nomm´eunit´e imaginaireet on appellex= Re(z) lapartie r´eelleety= Im(z) lapartie imaginairedu nombre complexez=x+iy. Siy= 0,z=x?Rsera un nombre r´eel, alors que six= 0,z=iysera un nombreimaginaire pur.

L"ensemble des nombres complexes

C={z=x+iy:x,y?R}(1.2)

forme un corps. En effet, on peut d´efinir une addition de deux nombres complexes z

1=x1+iy1etz2=x2+iy2par

z

1+z2=z2+z1= (x1+x2) +i(y1+y2).(1.3)

L"´el´ement neutre de cette addition est ´evidemment le z´ero complexe 0≡0 +i0 et l"´el´ement inverse associ´e `az=x+iyest-z=-x+i(-y). Pour d´efinir la multiplication de deux nombres complexesz1=x1+iy1etz2=x2+iy2, on utilise la distributivit´e de la multiplication par rapport `a l"addition ainsi que le fait quei2=-1. Ceci donne z

1z2=z2z1= (x1x2-y1y2) +i(x1y2+y1x2).(1.4)

L"´el´ement neutre de cette multiplication est ´evidemment 1≡1 +i0. Pour d´eterminer l"´el´ement inversez-1≡1/z= 1/(x+iy) associ´e au nombre complexe 3

4CHAPITRE 1. L"ANALYSE COMPLEXE

0 -1 1 -2i-ii 2i y x z= 1 + 2i z -1 z |z| Figure 1.1: Visualisation du nombre complexez= 1 + 2i, de son conjugu´ez?=

1-2iainsi que de son inversez-1= 0.2-0.4i=z?/|z|2qui se d´etermine par

l"inversion dez?au cercle de rayon unit´e dans le planx-y. La repr´esentation polaire de ce nombre complexe s"exprime par la distance|z|dezpar rapport `a l"origine du syst`eme des coordonn´ees ainsi que par l"angle g´eom´etrique?dezpar rapport `a l"axe r´eel positif. z=x+iy, il faut multiplier le num´erateur et le d´enominateur de ce rapport par x-iyce qui donne 1 Il est utile de visualiser le nombre complexez=x+iydans leplan complexe o`u on repr´esente la partie r´eellexsur l"axe des abscisses et la partie imaginairey sur l"axe des ordonn´ees, comme montr´e dans la figure 1.1. Cette repr´esentation graphique donne naissance `a certaines propri´et´esg´eom´etriquesdu nombrez. No- tamment on peut introduire sanormeou sonmodule |z|=? x2+y2,(1.6) qui correspond `a la distance dezpar rapport `a l"origine du syst`eme des coor- donn´ees, ainsi que sonargument?qui correspond `a l"angle que la ligne droite entre l"origine etzforme avec l"axe r´eel positif. On introduit aussi leconjugu´e1 dezparz?=x-iyainsi que lemodule carr´e|z|2=x2+y2=|z?|2=z?z. La norme|z|et l"angle?constitutent larepr´esentation polairedu nombre complexez(en opposition `a larepr´esentation cart´esiennez=x+iy). Notamment on peut ´ecrire z=|z|cos(?) +i|z|sin(?) (1.7)

1Dans la litt´erature math´ematique on ´ecrit souvent ¯zau lieu dez?pour le conjugu´e dez.

1.2. LES FONCTIONS COMPLEXES5

et z ?=|z|cos(?)-i|z|sin(?) =|z|cos(-?) +i|z|sin(-?) (1.8) ce qui revient `a dire que la conjugaisonz?→z?est ´equivalente `a l"inversion ??→ -?de l"angle?. Alors que le calcul de la norme (1.6) est ´evident pour un nombre complexez=x+iy, la d´etermination de l"angle?associ´e demande un peu d"attention. On a ´evidemmentx=|z|cos?ety=|z|sin?ce qui donne x y= cot?=cos?sin?,(1.9) mais la simple solution?= arccot(x/y) de l"´equation (1.9) ne fournit que des angles positifs contenus entre 0 etπ. Une d´efinition de l"angle?en fonction de xetyn´ecessite donc une ´etude de cas et peut s"´ecrire ?=???????arccot(x/y) :y >0 arccot(x/y)-π:y <0

0 :y= 0 etx >0

π:y= 0 etx <0,(1.10)

1.2 Les fonctions complexes

On peut d´efinir sur le plan complexe, o`u sur un sous-ensembleUde celui-ci, des fonctions f:U?C→C,z?→f(z) (1.11) qui transforment un nombre complexez?Uen un autre nombre complexe f(z)?C. Voici une liste de fonctions complexes qui peuvent ˆetre d´efiniessur tout le plan complexe (U=C) : f(z) =z ,(1.12)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5