Devoir Surveill´e n˚4 Correction

Polynésie – 7 Juin 2013 - Corrigé Exercice 1 (6 points) On considère la fonction définie sur ℝ par la courbe représentative de On note la fonction dans un repère orthogonal 1) Étude de la fonction a) é ’ avec les axes du repère Intersection de ’ :

S U J E T - ac-aix-marseillefr

3`eme - 2012/2013 - DNB S´erie g´en ´erale Correction du sujet de polyn´esie (juin 2013) Exercice 1 1) R´ep onse B 2) R´ep onse A 3) R´eponse C 4) R´eponse C Explications (non demand´ees donc inutile de les ´ecrire sur la copie) : 1) On utilise la calculatrice en ´ecriv ant le num´erateur et le d´enominateur entre parenth`eses :

CCP PSI 2 un corrig e

Le polyn^ome caract eristique de Aest X2 4 3 X+ 1 12 (X 2 Tr(A)X+det(A)) Les valeurs propres de A, qui sont les racines de ce polyn^ome, sont donc 1 = 2 3 p 13 6 et 2 = 2 3 + p 13 6 La question pr ec edente donne donc N(A) = 2 3 + p 13 6 II Sur les valeurs propres de H n II 1 1 Il s’agit de la formule g en erale rappel ee en I 1 1 et que l

Sujet du bac S - Physique Chimie Obligatoire 2013 - Polyn sie

Session 2013 PHYSIQUE-CHIMIE Série S Enseignement Obligatoire Durée de l’épreuve : 3 heures 30 – Coefficient : 6 L’usage des calculatrices est autorisé Ce sujet ne nécessite pas de feuille de papier millimétré Ce sujet comporte 11 pages numérotées de 1/11 à 11/11 LA feuille d’annexe (page 11/11)

Devoir Surveill´e n˚4 Correction - barsamianam

Exercice 1 - Tir´e de BTS Polyn´esie, mai 2013 1 (a) Pour connaˆıtre les pr´ed´ecesseurs du sommet POST, il suﬃt de lire les taches ant´erieures : ce sont les sommets INST et ECR (b) Pour connaˆıtre les successeurs du sommet COM, il suﬃt de lire les taches qui ont COM dans

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ALGEBRE - HEIG-VD

-2 -1 1 2 x-2-1 1 2 y Figure 1: Fonctions valeur absolue y= jxj, ainsi que y= x Ainsi, j xest la partie positive de (Voir gure 1) Propri et es de la valeur absolue:

Feuille d’exercices 3 : Analyse { Equations di erentielles

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1ère S avril 2013 DS (3h) - Etude du trinôme – sujet A - Corrigé Exercice 1 : (5 points) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, justifier 1 Soit )une fonction définie sur par ( ( ) représentée par une parabole de sommet √

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Devoir Surveill´e n°4Correction

Exercice 1 - Tir´e de BTS Polyn´esie, mai 2013

1. (a) Pour connaˆıtre les pr´ed´ecesseurs du sommet POST, il suffit de lire les tˆaches ant´erieures : ce sont

les sommets

INST et ECR .

(b) Pour connaˆıtre les successeurs du sommet COM, il suffit delire les tˆaches qui ont COM dans

leurs tˆaches ant´erieures : ce sont les sommets

LOG, MAT et ECR .

2. Pour d´eterminer le niveau de chacun des sommets du graphe, on peut utiliser l"algorithme du cours :

Calcul de niveaux.

Entr´ee :

Un grapheG= (V;E).

Sortie et rˆole de l"algorithme :

´Etiqueter chaque sommet deVpar son niveau.

Variables utilis´ees :

A traiter, ensemble de sommets niveau, nombre entier

Corps de l"algorithme :

1A traiter← ∅

2niveau←0

3 Pour chaque sommetvdeV, faire

4 Sivest sans pr´ed´ecesseur, alors

5A traiter←Atraiter? {v}

6 Fin Si

7 Fin Pour

8 Tant queA

traiter?=∅, faire

9 Pour chaque sommetvdeA

traiter, faire 10

´Etiquetervparniveau

11 Pour chaque successeursdev, faire

12 Retirer l"arˆete (v;s) deG

13 Fin Pour

14 Fin Pour

15 Pour chaque sommetvdeV, faire

16 Sivest sans pr´ed´ecesseur, alors

17A traiter←Atraiter? {v}

18 Fin Si

19 Fin Pour

20niveau←niveau+ 1

21 Fin Tant que

´Etape 1 :•seulCOMest sans pr´ed´ecesseurs (c"est le seul sommet qui n"a personne dans la colonne des

ant´ec´edents) •on attribue donc `a ce sommet le niveau 0 •on retire les arcs ´emanant deCOM, c"est-`a-dire les trois arcs (COM;ECR), (COM;LOG) et (COM;MAT) (on raye doncCOM`a chaque fois qu"il apparaˆıt quelque part dans la colonne des

ant´ec´edents)´Etape 2 :•maintenantECR,LOGetMATse retrouvent sans pr´ed´ecesseurs

•on attribue donc `a ces sommets le niveau 1

•on retire les arcs ´emanant de ces sommets, c"est-`a-dire les quatre arcs (ECR;POST), (LOG;ASS),

(MAT;ASS) et (MAT;CABL) (on raye doncECR,LOGetMAT`a chaque fois qu"ils apparaissent quelque part dans la colonne des ant´ec´edents) ´Etape 3 :•maintenantASSetCABLse retrouvent sans pr´ed´ecesseurs •on attribue donc `a ces sommets le niveau 2

•on retire les arcs´emanant de ces sommets, c"est-`a-dire les deux arcs (ASS;INST) et (CABL;CONF)

(on raye doncCABLetCONF`a chaque fois qu"ils apparaissent quelque part dans la colonne des ant´ec´edents) ´Etape 4 :•maintenantINSTse retrouve sans pr´ed´ecesseurs •on attribue donc `a ce sommet le niveau 3

•on retire les arcs ´emanant de ce sommet, c"est-`a-dire l"arc (INST;POST) (on raye doncINST`a

chaque fois qu"il apparaˆıt quelque part dans la colonne desant´ec´edents) ´Etape 5 :•maintenantPOSTse retrouve sans pr´ed´ecesseurs •on attribue donc `a ce sommet le niveau 4

•on retire les arcs ´emanant de ce sommet, c"est-`a-dire l"arc (POST;CONF) (on raye doncPOST`a

chaque fois qu"il apparaˆıt quelque part dans la colonne desant´ec´edents) ´Etape 6 :•maintenantCONFse retrouve sans pr´ed´ecesseurs •on attribue donc `a ce sommet le niveau 5 •et c"est termin´e!

MAT(1)CABL(2)

COM(0)LOG(1)ASS(2)INST(3)POST(4)CONF(5)

ECR(1)

3. On utilise la m´ethode MPM :

´Etape 1 :•on rajoute une tˆache fictive D´ebut, ant´ec´edent direct des tˆaches qui n"ont pas de pr´ed´ecesseur (ici,

seulement COM) et de dur´ee 0.

•on rajoute une tˆache fictive Fin, successeur direct des tˆaches qui n"ont pas de successeur (ici, seule-

ment CONF) •on value les arcs par la dur´ee de la tˆache dont ils sont issus ´Etape 2 :•on met comme date de d´ebut au plus tˆot pour D´ebut 0.

•on calcule les plus longs chemins du sommet D´ebut `a chacun des sommets, pour en d´eduire leur

date de d´ebut au plus tˆot (algorithme de Bellman, puisque Dijkstra ne fonctionne pas : plus long

chemin et poids positifs)

´Etape 3 :•on met comme date de d´ebut au plus tard pour Fin la mˆeme choseque sa date de d´ebut au plus

tˆot.

•on?inverse?les arcs (on change le sens des fl`eches, on prend l"oppos´e des poids des arcs) et on

calcule les dates au plus tard en calculant les plus courts chemins sur le nouveau graphe (Bellman

encore une fois puisque Dijkstra ne fonctionne pas non plus :plus court chemin et poids n´egatifs)

Le graphe qu"on obtient `a la fin est le suivant, o`u chaque sommet est repr´esent´e de la mani`ere suivante :

Nom du sommet

Date au plus tˆotDate au plus tard

D´ebut

00 COM 00 ECR 11 LOG 12 MAT 12,5 ASS 23,5
CABL 24
INST 45
POST 77
CONF 88
Fin 99
0 111
6 3 11 1,5 42
1 1

4. Le chemin critique est celui qui est constitu´e des tˆaches critiques (celles dont la marge totale est

nulle, donc pour lesquelles d´ebut au plus tard = d´ebut au plus tˆot). Le chemin critique est donc

(D´ebut, COM, ECR, POST, CONF, Fin) . La dur´ee de r´ealisation du projet est la date du sommet Fin,c"est-`a-dire

9 jours .

5. (a) La marge totale de la tˆache ASS est de

1,5 jour (date au plus tard - date au plus tˆot). Elle

correspond `a la dur´ee de laquelle peut ˆetre retard´ee la tˆache ASS sans retarder la fin du projet.

(b) La marge libre de la tˆache ASS est de

0,5 jour (minimum sur les successeurssde ASS de date

au plus tˆot(s) - dur´ee de ASS - date au plus tˆot de ASS). Ellecorrespond `a la dur´ee de laquelle

peut ˆetre retard´ee la tˆache ASS sans retarder la date au plus tˆot de chacune des tˆaches suivant

ASS.

Exercice 2

Vrai : le chemin (a,c,b,d,e,f,i,j,h,g) est effectivement chemin hamiltonien. On v´erifie que c"est

bien un chemin du graphe en v´erifiant que chacun des arcs est bien pr´esent, puis on v´erifie qu"il passe

bien une et une seule fois par chacun des sommets. 2. Faux : il y a un circuit dans ce graphe (par ex. (b,d,e,c,b)) donc on ne peut pas l"ordonner par niveaux. 3. Vrai : dans un parcours en largeur d´ebutant end, le sommetan"est jamais atteint (il n"a aucun pr´ed´ecesseur) 4.

Vrai : les chemins (f,i,g) et (f,i,j,h,g). Si vraiment on a peur de se tromper en regardant le graphe :

appelonsMla matrice d"adjacence; on peut calculer (M2)6,8, (M3)6,8...(M20)6,8pour s"en assurer. Le

fait que tous les coefficients de la puissance 11 `a la puissance 20 soient nuls nous assure qu"il n"existe

aucun circuit entrefetg(s"il y en avait un, il y en aurait un de longueur inf´erieure ou ´egale `a 10, ce

qui impliquerait l"existence d"au moins un chemin de longueur entre 11 et 20 entrefetg). 5. Faux : dans la clˆoture transitive deG, on met un arc entresettsi et seulement s"il y a un chemin dansGdes`at: il n"y a clairement aucun chemin deg`ahpuisquegn"a aucun successeur!quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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