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Exercice 1
Corrigé
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2018
ÉPREUVE DU MARDI 19 JUIN 2018
MATHÉMATIQUES
- Série S -Enseignement Obligatoire
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.
une part imAntilles
Guyane 201
8Bac - Maths - 201
8 - Série Sfreemaths . frfreemaths . fr
Sujet Mathématiques Bac 2018
18MASOAG1 Page : 2/8
Exercice
1 (5 points)Commun à tous les candidats
L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants de la commune, soit à des entreprises. On admet que : parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d'essence secondaire (ce qui signifie qu'ils sont de moindre valeur) ;45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune ;
les trois quarts des arbres d'essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.Partie A
Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.On considère les événements suivants :
1 Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation. 2 Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune. 3 Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à0,5877.
4 Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?On donnera le résultat arrondi à
10Partie B
Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire
1 Déterminer la probabilité qu'il y ait entre 3 400 et 4 600 arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à 10 2 Calculer la probabilité qu'il y ait plus de 4 500 arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à 10Partie C
L'exploitant affirme que l
a densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.Sur une parcelle, on a compté
106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ? 1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 1. Construisons un arbre pondéré complet traduisant la situation:D'après l'énoncé, nous avons:
C = " l'arbre abattu est un chêne " .
S = " l'arbre abattu est un sapin " .
E = " l'arbre abattu est d'essence secondaire " .
H = " l'arbre abattu est vendu à un habitant de la commune " H = " l'arbre abattu est vendu à une entreprise " .P ( C ) = 30%
P ( S ) = 50%
P ( E ) = 20% .
P C ( H ) = 45, 9% P C ( H ) = 1 - 45, 9% = 54, 1% . P S ( H ) = 80% P S ( H ) = 1 - 80% = 20% . P E ( H ) = 1 - 75% = 25% P E ( H ) = 75% .EXERCICE 1
Partie A:
[ Antilles - Guyane 2018 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018Nous avons ainsi l'arbre pondéré suivant:
a c e b d f C H H H S EH , avec: . a = 45, 9% b = 54, 1% c = 80% d = 20% e = 25% f = 75%H H 50 %30 %
20 % 2. Calculons la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu
à un
habitant de la commune: H ) .H ) = P
C ( H ) x P ( C )Ainsi: H ) = 45, 9% x 30% cad:
Au total, la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne venduà un habitant
de la commune est de: 1 3, 77% . 3.Montrons que P ( H ) = 0, 5 877:
Nous devons calculer:
P ( H ) .
E ) . E ) = P C ( H ) x P ( C ) + P S ( H ) x P ( S ) + P E ( H ) x P ( E ) 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018 Ainsi: P ( H ) = 45, 9% x 30% + 80% x 50% + 25% x 20% => P ( H ) = 58, 77% .Au total, nous avons bien:
P ( H ) = 0, 5 877 .
4. Déterminons la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un hab itant de la commune soit un sapin:Cela revient à calculer:
P H ( S ) P H ( S ) =P ( H )
PS ( H ) x P ( S )
P ( H )
Ainsi:
P H ( S ) =80% x 50%
58, 77%
=> P H ( S )68, 1%, arrondi à 10
3 près Au total, la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est d'environ: 68, 1% .Partie B:
1.Déterminons P ( 3 400 X 4 600 ):
D'après l'énoncé, nous savons que:
X suit la loi normale d'espérance et d'écart typeT suit la loi normale centrée réduite .
4 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018Nous remarquons que: 3 400 =et 4 600 =
Or, d'après le cours:
P ( )
0, 954
D'où:
0, 954 .
Au total:
0, 954 .
2. Calculons la probabilité qu'il y ait plus de 4 500 arbres sur un hectare donné: 4500 - 4
000 300= P 5 3
A l'aide d'une machine à calculer, on trouve:
4, 8%, arrondi à 10
3 prèsAu total, la probabilité qu'il y ait plus de 4
500 arbres sur un hectare donné de
cette forêt est d'environ: 4, 8% .Partie C:
Le résultat observé remet-il en cause l'affirmation de l'exp loitantIci, nous avons:
n = 200 p = 50% f = 106200
=> f = 53% . 5 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 2018
Dans ces conditions:
n et nLes conditions sont donc réunies
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% s'écrit: = p - 1, 96 x p (1 - p )
n ; p + 1, 96 x p (1 - p )
n cad: = 50% - 1, 96 x50% x 50%
200; 50% + 1, 96 x