Métropole Antilles Guyane La Réunion - 12 septembre 2014
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Durée : 4 heures
Baccalauréat S Antilles-Guyane11 septembre2014
EXERCICE16 points
Commun à tous lescandidats
Une entreprise dejouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D"expérience,
le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.À l"issue des tests, il est noté que
96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests; 97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l"entreprise. On note Nl"évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur»; Al"évènement : "la peluche est acceptée à l"issue des tests».PartieA
1.Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.
2.Démontrer que la probabilité qu"une peluche soit acceptée àl"issue des tests est 0,8763.
3.Calculer la probabilité qu"une peluche qui a été acceptée à l"issue des tests soit véritablement aux
normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.PartieB
On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur (déchirure,
arrachage...).Onadmetqueladuréedevieenannéesd"unepeluche, notéeD,suituneloiexponentielle de paramètreλ.1.On sait queP(D?4)=0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.
Calculer la valeur exacte deλ.
2.On prendra iciλ=0,1733.
Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluchedepuis sa naissance décide, voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.PartieC
Un cabinet de sondages et d"expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet.
À la suite d"une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, notéJ, où la
peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresμetσ. Il apparaît queμ=358 jours.
1.SoitX=J-358
σ. Quelle est la loi suivie parX?
2.On sait queP(J?385)=0,975. Déterminer la valeur deσarrondie à l"entier le plus proche.
EXERCICE26 points
Commun à tous lescandidats
PartieA
On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle [0 ;+∞[ par f(x)=xe-x.Baccalauréat SA. P. M. E. P.
1.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞.
2.Déterminer la dérivéef?de la fonctionfsur [0 ;+∞[ et en déduire le tableau de variations def
sur [0 ;+∞[.On donne enannexela courbeCfreprésentative de la fonctionfdans un repère du plan. La droiteΔ
d"équationy=xa aussi été tracée.PartieB
Soit la suite
(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln,un+1=f(un).1.Placer sur le graphique donné enannexe, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les pointsA0,A1
etA2d"ordonnées nulles et d"abscisses respectivesu0,u1etu2. Laisser les tracés explicatifs appa-
rents.2.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un>0.
3.Montrer que la suite(un)est décroissante.
4. a.Montrer que la suite(un)est convergente.
b.On admet que la limite de la suite(un)est solution de l"équationxe-x=x. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.PartieC
On considère la suite
(Sn)définie pour tout entier naturelnpar S n=k=n? k=0u k=u0+u1+···+un. Compléter l"algorithme donné enannexeafin qu"il calculeS100.EXERCICE33 points
Commun à tous lescandidats
On considère l"équation
(E1): e x-xn=0 oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.1.Montrer que l"équation(E1)est équivalente à l"équation(E2):
ln(x)-x n=0.2.Pour quelles valeurs denl"équation(E1)admet-elle deux solutions?
EXERCICE45 points
Réservéaux candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialitéOn noteCl"ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?O,-→u,-→v?
. On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z)=z2+2z+9.1.Calculer l"image de-1+i?
3 par la fonctionf.
Antilles-Guyane211 septembre 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
2.Résoudre dansCl"équationf(z)=5.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l"affixe est solution
de l"équation (A étant le point dont l"affixe a une partie imaginaire positive).On laissera les traits de construction apparents.
3.Soitλun nombre réel. On considère l"équationf(z)=λd"inconnuez.
Déterminer l"ensemble des valeurs deλpour lesquelles l"équationf(z)=λadmet deux solutions
complexes conjuguées.