Amérique du Nord 30 mai 2013 - AlloSchool
CorrigédubaccalauréatS A P M E P • Hérédité Soit n ∈N,et 0
CORRECTION AMÉRIQUE DU NORD MAI 2013 - AlloSchool
CORRECTION AMÉRIQUE DU NORD MAI 2013 Corrigé de l’exercice 1 1 e− 1 a = 1 e 1 a 2 eu >0et on sait que ea =e2× a 2 = ³ e a 2 ´2 donc e a 2 = p ea 3 ln µ − 1 x ¶ =ln µ 1 −x donc ln µ − 1 x ¶
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ES Amérique du nord mai 2013 Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R b Calculer la valeur exacte de ∫ 0 2 f(x)dx et endonner une valeur approchée à 10−2 près 3 On considère G une autre primitive de f sur R Parmi les trois courbes C1, C2 et C3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique de G Figure 2
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S Amérique du Nord mai 2013 Exercice 4 5 points Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0;+∞[ par : f (x)= 1+ln(x) x2 et soit cla courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan La courbe c et donnée ci-dessous : 1 a
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Correction Bac S Spé Maths - Amérique du Nord - 30 Mai 2013 b Vérifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour représentation paramétrique 8
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[Baccalauréat S Amérique du Nord \ 30 mai 2013 – Corrigé Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats Onse place dansl’espace muni d’unrepèreorthonormé
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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord? 30 mai 2013
Exercice15 points
Commun à tous lescandidats
On se place dans l"espace muni d"un repère orthonormé. On considère les points A(0; 4; 1), B(1; 3; 0), C(2 ;-1 ;-2) et D (7 ;-1 ; 4).1.Démontrons que les points A, B et C ne sont pas alignés.On a--→AB(1 ;-1 ;-1) et--→AC(2 ;-5 ;-3). On a :1
2?=-1-5.
Les coordonnées des vecteurs
--→AB et--→AC ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs--→AB et--→AC ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés.2.SoitΔla droite passant par le point D et de vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3).
a.Démontrons que la droiteΔest orthogonale au plan (ABC).On a--→AB·-→u=1×2+(-1)×(-1)+(-1)×3=0 et--→AC .-→u=2×2+(-5)×(-1)+(-3)×3=0. Les
vecteurs--→AB et--→AC sont orthogonaux à-→u. La droiteΔest orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : elle est orthogo- nale au plan (ABC). b.De ce qui précède, on déduit que-→uest un vecteur normal à (ABC). Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme 2x-y+3z+d=0. Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient :2×0+(4)×(-1)+(1)×3+d=0??d=1.
On en déduit une équation cartésienne du plan (ABC) : 2x-y+3z+1=0. c.Déterminons une représentation paramétrique de la droiteΔ. Comme la droiteΔa pour vecteur directeur-→u(2 ;-1 ; 3) et contient le point D (7 ;-1 ; 4), une représentation paramétrique deΔest :???x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4,t?R. d.Déterminons les coordonnées du point H, intersection de la droiteΔet du plan (ABC). Les coordonnées de H sont les solutions du système : ?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+42x-y+3z+1=0,t?R.
?x=2t+7 y= -t-1 z=3t+42x-y+3z+1=0????x=2t+7
y= -t-1 z=3t+42(2t+7)-(-t-1)+3(3t+4)z+1=0
????x=2t+7 y= -t-1 z=3t+4 t= -2????x=3 y=1 z= -2 t= -2Le point H a pour coordonnéesH(3; 1;-2)
3.SoitP1le plan d"équationx+y+z=0 etP2le plan d"équationx+4y+2=0.
a.Démontrons que les plansP1etP2sont sécants. Le planP1d"équationx+y+z=0 a pour vecteur normal-→n1(1 ; 1 ; 1). Le planP?d"équationx+4y+2=0 a pour vecteur normal-→n2(1 ; 4 ; 0).Les coordonnées des vecteurs-→n1et-→n2ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs-→n1et-→n2
ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants.Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.
b.Vérifionsqueladroited,intersectiondesplansP1etP2,apour représentationparamétrique???x= -4t-2
y=t z=3t+2,t?R.Considérons le système :
x+y+z=0 x+4y+2=0 y=y,t?R. ?x+y+z=0 x+4y+2=0 y=tz= -x-t x= -4t-2 y=tz=3t+2 x= -4t-2 y=t On en déduit que la droited, intersection des plansP1etP2, a pour représentation paramé- trique???x= -4t-2 y=t z=3t+2,t?R. On peut également vérifier que la droite(d)est incluse dans le planP1et également dans le planP2.En effet, on a démontré que ces deux plans étaient sécants, ils sont donc sécants suivant
une droite qui appartientsimultanément auxdeux planset cette droite est unique. -4t-2+t+3t+2=0 donc (d) est contenue dans le planP1; -4t-2+4t+2=0 donc (d) est contenue dans la planP2c.Ondéduit dela représentation paramétrique précédente queladroiteda pour vecteur direc-
teur-→u?(-4 ; 1 ; 3). Le plan (ABC) a pour vecteur normal-→u(2 ;-1 ; 3).-→u.-→u?=0.-→uet-→u?sont orthogonaux : la droitedet le plan (ABC) sont parallèles.
Exercice25 points
CandidatsN"AYANT PASSUIVI l"enseignementde spécialitémathématiquesOn considère la suite
(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.1.On considère l"algorithme suivant :
Variables :nest un entier naturel
uest un réel positifInitialisation : Demander la valeur den
Affecter àula valeur 1
Traitement : Pourivariant de 1 àn:
| Affecter àula valeur?2uFin de Pour
Sortie : Afficheru
a.On a :u0=1,u1=?2u0=?2,u2=?2u1=?2?2 et u 3=?2u2=?2?2?2=1,8340 à 10-4près.
b.Cet algorithme permet le calcul du terme de rangn.c.D"après le tableau des valeurs approchées obtenues à l"aidede cet algorithme pour certaines
valeurs den, on peut conjecturer que la suite(un)est croissante et majorée par 2.