Intersection dune courbe et dune droite - ac-dijonfr
Intersection d’une courbe et d’une droite Présentation de l’algorithme : Il s’agit de réaliser un algorithme qui recherche les coordonnées d’un point d’intersection d’une courbe et d’une droite 1 l’Algorithme en langue naturelle : DONNEES A ENTRER: d nombre réel #abscisse de départ
Fonctions Courbes - Sésamath
) des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation ' ) (intersection de la courbe et de l'axe O des abscisses) On peut remarquer graphiquement que la courbe a trois points d'intersection avec l'axe O Ces points ont pour abscisses respectives +*, - ( +), et /0 1 L'équation 23456 7 a donc trois solutions qui sont 8+/0 9
Graphes dintersection de courbes
point Aucune intersection des éléments de S (y compris les intersections d'une courbe avec elle-même) n'est multiple Toutes les intersections sont des croisements On rappelle que cela implique que deux courbes ne peuvent s'intersecter au niveau de leurs extrémités Dé nition 1 5 (Graphe d'intersection de courbes)
Méthodes et astuces et remarques et conseils
Méthodes 2 : Chercher les Intersections d'une courbe avec les axes du repère 1) Intersection d'une courbe avec l'axe des ordonnées - Pour trouver les coordonnées du point d'intersection d'une courbe C f avec l'axe des ordonnées Il faut calculer f(0) Si f(0)=b alors (0,b) est le point d'intersection de avec l'axe des ordonnées
Correction - e-monsite
Donc les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sont : A 1 2;0 et B 0 b) Intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées Le point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées a une abscisse nulle Et on a f 0 0 2 0 1 12 u Donc le point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées est : C 0;1
DL N°5 PROF: ATMANI NAJIB TCS avec correction de préparation
Donc les points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses sont : C 0 et D 0 b) Intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées Le point d’intersection de la courbe avec l’axe des ordonnées a une abscisse nulle Et on a f 20 0 2 0 1 1 u
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (,D) avec le plan de repère (" ; ⃗,(⃗) - On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite (,D) :
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
La fonction h est la seule à posséder une racine double égale à 1 Cela signifie que la parabole correspondante ne possède qu’un seul point d’intersection avec l’axe des abscisses La parabole bleue intercepte l’axe des abscisses en 1 uniquement, c’est donc la représentation graphique de la fonction h
Analyse numérique avec Python - normale sup
d’étude), on part d’un point x0, et on construit une suite récurrente convergeant vers la solution de l’équation en prenant pour x n+1 l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente à la courbe de f en son point d’abscisse x n La tangente étant « proche » de la courbe,
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats