FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2) parabole correspondante ne possède qu’un seul point d’intersection avec l’axe des toutes les deux par les
Les fonctions polynômes de degré 2
Remarque : Les solutions de l’équation x2 = c sont représentées graphiquement par les abscisses des points d’intersection de la parabole P d’équation y =x2 et de la droite horizontale d’équation y =c 1STMG 133 Exercice : Résoudre sur Rles équations suivantes : a −2x2 =−4 ; b 3x2 +5=2x2 +5 ; c 5x2 +4=3x2 −2
1 Les fonctions polynômes du second degré
d’équation y xx= ++0,8 0,5,2 le point A de cette parabole d’abscisse 1 et le point B de coordonnées (5 ; 0 ) 1 Déterminer les coordonnées du point d’intersection de P avec l’axe des ordonnées Vérifier par calculs que P ne croise pas l’axe des abscisses 2 Vérifier qu’une équation de la droite (AB) est y x=- +0,575 2,875 3
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
2ndeISI Fonctions chapitre 4 2009-2010 • Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points A et B de cette courbe de même ordonnée, on en déduit que leur milieu I est situé sur l’axe de symétrie L’abscisse de I est donc l’abscisse de l’extremum Exemple 5
Fonctions polynomes du second degré - Meilleur en Maths
d'intersection de la courbe représentative de f et de la droite d'équation y=−1 Il y a 2 points d'intersection A et B d'abscisses respectives : - 2 et 2 S={−2;2} • f x =0 Les solutions de l'équation f x =0 sont les points d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses
FONCTIONS POLYNÔMES HOMOGRAPHIQUES 1 Définition FONCTIONS
, l’autre verticale d’équation x = Le point d’intersection de ces deux droites est le centre de symétrie de l’hyperbole Exemple Soit f la fonction définie par et sa courbe représentative 1 L’ensemble de définition de f est 2 Montrer que pour tout x de , 5 ( ) 2 1 fx x 5 1 5 5 2 2 5 2 321 22 1 1 1 1 1 1 1
1ère S Ex sur les fonctions polynômes du second degré
Pour le nombre de racines du polynôme, on regarde le nombre de points d’intersection de C avec l’axe des abscisses : - s’il y a deux points d’intersection, alors le polynôme admet deux racines distinctes dans ; - s’il y a un point d’intersection, alors le polynôme admet une racine dans ;
Polynômes d’interpolation de Lagrange
Polynômes d’interpolation de Lagrange Le comte Joseph Louis Lagrange, mathématicien français est né en 1736 et est mort en 1813 On cherche, dans ce paragraphe, une expression du polynôme de degré au plus n prenant les mêmes valeurs qu’une fonction
Fonctions arithmétiques - Département de Mathématiques d
Les multiplicités que l'on obtient ont un sens géométrique : le point d'intersection de et d'ordonnée est un point où les courbes sont tangentes et coincident jusqu'à l'ordre , tandis que les deux points d'intersection d'ordonnée sont des points de tangence des deux courbes
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats