Les vecteurs - Free
b) Points alignés Soient A, B et C trois points Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que AC=k AB pour démontrer que les points A, B et C sont alignés Exemple d'application On considère un triangle ABC, ainsi que les points E et F définis
Vecteurs - Translations - Cours
Les deux segments sont différents parce qu’ils ne sont pas « à la même place » , c’est à dire parce qu’ils ont des extrémités différentes Par contre, les deux vecteurs AB et CD définissent le même déplacement Ces deux vecteurs ont même direction ( les droites (AB) et (CD) sont parallèles), même sens et même longueur
DS n°10 : Vecteurs 2nde 4 - Les MathémaToqués
Les vecteurs ⃗IM et ⃗MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés CORRIGÉ du D S n°10 : Vecteurs Sujet D 2nde 4 Exercice 1 Graphiquement Placez sans justification les points demandés sur la figure ci-contre dans laquelle tous les petits triangles en pointillés sont identiques 1) Placer M tel que ⃗AB+⃗AC=⃗AMpar le règle du
Fiche 8-A Exercices sur les vecteurs - Free
(b)Montrer que les points P, Qet Rsont alignés Exercice7: On considère les points A( 3; 1), B(2;1) 1 Calculer les coordonnées de Imilieu de [AB] 2 Soit C 5; 9 5 Montrer que les points A, Bet Csont alignés 3 En déduire que les vecteurs ACet AIsont colinéaires et calculer le coe cient de colinéa-rité Exercice8: On considère un
Les vecteurs - davanefr
Les vecteurs ⃗u et k⃗u ont toujours la même direction Si k > 0 ils ont en plus le même sens, et des sens contraires si k < 0 Exercice : Montrer que dans un triangle ABC on a : ⃗AB+⃗AC=2⃗AI avec I= m [ AC ]
Décomposition d’un vecteur suivant une base
points sont alignés Quel bilan avec les élèves ? Faire une liste de toutes les méthodes possibles pour montrer que 3 points sont alignés, avec des droites et avec des vecteurs colinéaires Remarquer que toutes ces méthodes sauf une (si elle a été trouvée) nécessitent un
Chapitre 11 : Géométrie vectorielle dans l’espace
Les points , et ne sont pas alignés si et seulement si les vecteurs ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ et = ⃗⃗⃗⃗⃗ ne sont pas colinéaires Un plan peut donc être défini par un point et deux vecteurs non colinéaires appelés vecteurs directeurs du plan La propriété 1 s’énonce alors :
Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
deux vecteurs dans ????3 1)On suppose que et sont non colinéaires Soit un point dans l’espace ; ils existent deux points dans l’espace et tels que : u AB et ,les points , et étant non alignés, ils définissent un plan ( ) dans l’espace (ℰ) Le produit vectoriel des deux vecteurs et est le vecteur w AD tel
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Vecteurs et repérages 1/3 VECTEURS ET REPERAGES I) Vecteurs
1) Vecteurs égaux
Définition : Deux vecteurs ur et vr sont égaux signifie qu'ils ont : - même direction, - même sens, - même longueur.
Théorème : · Si les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux alors ABDC est un parallélogramme. · Si ABDC est un parallélogramme alors les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux.Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant " les vecteurs ABuuur et CDuuur sont égaux si et seulement si ABDC
est un parallélogramme ».2) Somme de vecteurs
· Règle du parallélogramme : les vecteurs ur et vr sont positionnés sur la même origine. ru rv vurr+ · Relation de Chasles : Soit trois points A, B et C, on a : ABBCAC+=uuuruuuruuur. La somme ur+vr s'obtient en enchaînant bout à bout ur et vr. A CB ru rvuv+rr
II) Produit d'un vecteur par un nombre réel
Définition : ur désigne un vecteur non nul et k un nombre réel non nul. Le produit du vecteur ur par le réel k est le vecteur kur tel que : · kur et ur ont même direction ; · Lorsque k > 0 kur et ur sont de même sens ; la longueur de kur est le
produit de k par la longueur de ur. · Lorsque k < 0 kur et ur sont de sens contraire ; la longueur de kur est le
produit de .k par la longueur de ur.III) Vecteurs colinéaires
1) Définition et théorème
Définition : Les vecteurs ur et vr sont colinéaires lorsqu'ils ont même direction.Théorème : Les vecteurs non nuls ur et vr sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k non nul tel que
v ku=rr. ru 3 2ur 12u-rur2-
ur-A B D CVecteurs et repérages 2/3 Remarque : Une telle relation vku=rr entre les vecteurs ur et vr est appelée relation de colinéarité liant ur et vr ; et k est
parfois appelé le coefficient de colinéarité.2) Alignement, parallélisme et vecteurs colinéaires
Théorème : · Si les trois points A, B et C distincts sont alignés alors les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires. · Si les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires alors les trois points A, B et C distincts sont alignés.
Remarque : On résume le théorème précédent en écrivant " les vecteurs ABuuur et ACuuur sont colinéaires si et seulement si les trois points A, B et C distincts sont alignés ». Méthode : Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. Théorème : Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ABuuur et CDuuur sont colinéaires. Méthode : Pour montrer que deux droites sont parallèles, il suffit de montrer que des vecteurs bien choisis sont colinéaires. IV) Coordonnées d'un point et d'un vecteur ; propriétés1) Coordonnées d'un point, d'un vecteur
Définition : Un repère du plan est déterminé : · par 3 points O, I et J non alignés ; · ou par un point O et deux vecteurs ir et jr non colinéaires.
O étant un point du plan, on considère le repère (,,)Oijrr d'origine O.Définition : Pour tout vecteur ur, il existe un unique couple (x ; y) de nombre réels tels que uxiyj=+rrr. On dit alors que
le vecteur ur a pour coordonnées (x ; y) dans la base ),(jirr. Exemples : Dans la base (ir,jr), les coordonnées de ur sont (3 ; 1) et vr a pour coordonnées (.4 ; 1). A B C A B C D jr ir4- jrjr ir3 ir jiurrr+=3jivrrr+-=4Vecteurs et repérages 3/3 Définition : Pour tout point M du plan, il existe un unique couple (x ; y) de nombres réels tels que OMxiyj=+uuuurrr. Le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (,,)Oijrr.
Exemples : On a : 34OMij=+uuuurrr ; M a pour coordonnées (3 ; 4) dans le repère (,,)Oijrr.2) Propriétés des coordonnées d'un vecteur
Soit ur de coordonnées (x ; y) et u¢r de coordonnées (x' ; y') ; soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans le repère (,,)Oijrr.
Propriétés : Exemples : Egalité de deux vecteurs : deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées ; si et seulement si 'xxuuyy¢=ì rr. Somme de deux vecteurs : le vecteur uu¢+rr a pour coordonnées (x + x' ; y + y' ). rua pour coordonnées ( . 2 ; 3) u¢ a pour coordonnées ( . 5 ; 1)
uu¢+rr a pour coordonnées ( ..... ;..... ) Vecteur colinéaire : le vecteur vr égal à k ur a pour
coordonnées (kx ; ky). rua pour coordonnées ( . 2 ; 3) . 5 ru a pour coordonnées ( ..... ;..... ) ur 32 a pour coordonnées ( ..... ;..... ) Coordonnées du vecteur ABuuur : le vecteur ABuuur a pour
coordonnées (x B . xA ; yB . yA). A a pour coordonnées ( . 1 ; 2) B a pour coordonnées ( 3 ; . 4) AB a pour coordonnées ( ..... ;..... )3) Condition de colinéarité de deux vecteurs
Théorème : Deux vecteurs ur de coordonnées (x ; y) et u¢r de coordonnées (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si x y' = x' y.
4) Milieu ; distance dans le plan
Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans le repère (,,)Oijrr. Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées ABABxxyy;
Exemples : A a pour coordonnées ( . 1 ; 2) ; B a pour coordonnées ( 7 ; . 4) ; le milieu I de [AB] a pour coordonnées ( ..... ;..... ).Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un repère orthonormal (,,)Oijrr. La distance AB ou la longueur du segment [AB] est : ()()22
B A BA A B x x yy=-+-. O ir3 irjr4 jrM (3 ;4)quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48