SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 La suite est donc définie par : 0 1 3 nn 5 u uu + ⎧ = ⎨ ⎩ =+ Définition : Une suite (u n) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : uur nn+1 =+ Le nombre r est appelé raison de la suite Méthode
Limite dune suite Suites convergentes
On dit alors que la suite(un)converge vers l et que la suite(un)est une suite convergente On nomme suite divergente toute suite non convergente b) Interprétation graphique sur un exemple 1 3 Proposition Si une suite admet une limite alors celle-ci est unique Ce résultat est admis 1 4 Remarques a) Il existe des suites n'admettant pas de
Exercices : les suites - SFR
Un terme est égal au triple de son rang, diminué de cinq Ecrire la formule donnant le terme général en fonction du rang n Exercice 4 : La suite (Un) est définie par Un = n(n + 2) Calculer U 0, U 4 et U 8 Exprimer U 2n, U 2n+1 et U 2n-1 Exercice 5 : (Un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme U 0 U0 = -1 et r = 1/4
1) Soit la suite (Un) définie sur N par Un A-
∗ La suite ( U n) est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout n de N, U n ≤ M ∗ La suite ( U n) est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout n de N, U n ≥ m ∗ La suite ( U n) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée Exemples : a) Suite définie sur N par U n = n2 – 5 , pour n entier naturel
Chapitre 1 Suites r´eelles et complexes
ainsi la suite (un) est born´ee Pour voir que la r´eciproque est fausse, il suffit de consid´erer la suite un = (−1)n, qui est born´ee mais divergente 1 3 Op´erations sur les limites Nous allons montrer que le passage `a la limite est compatible avec les lois du corps K Commenc¸ons par ´enoncer un lemme Lemme 1 3 1
Suites Numériques (III) : limites des suites monotones
La suite (un) est minorée s'il existe un réel m supérieur à tous les termes de la suite ∀ n a ℕ, un⩾m m est un minorant de la suite La suite (un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée ∀ n a ℕ, m⩽un⩽M Exemple 1 : Soit (un) définie par un=sin(n) ∀ n a ℕ, −1⩽un⩽1 donc (un) est une suite minorée
Suites - Bienvenue sur le site des Mathématiques de la
´evidence l’´eventuelle limite de la suite qui est l’abscisse d’un point d’intersection de cette droite avec C f Ci-dessous, repr´esentation des premiers termes de la suite (u n) n∈N d´efinie par u0 = 2 u n+1 = u n+4 u n−5 +2
Les suites - Partie II : Les limites
ouvert comme donc la suite est bornée à partir de ce rang Pour ses premiers termes, comme il n'y en a qu'un nombre fini, les valeurs sont également bornées entre la plus grande des valeurs et la plus petite Complément : Par contraposée On en déduit qu'une suite non bornée est divergente Exemple La suite est non bornée
Exo7 - Cours de mathématiques
>0 uk converge, la suite (Sn)n>0 converge vers la somme S de la série Il en est de même de la suite (Sn1)n>1 Par linéarité de la limite, la suite (un) tend vers S S = 0 La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 ne peut pas converger Par exemple les séries P k>1 (1+ 1 k
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Chapitre 1Suites r´eelles et complexes
Dans ce chapitre,Kd´esigne le corpsRdes nombres r´eels, ou le corpsCdes nombres complexes. PourK, nous noteronsle module de(´egal `a la valeur absolue de dans le cas r´eel). Nous appelleronsdistanceentre deux ´el´ementsetdeKle r´eel.1.1 G´en´eralit´es
D´efinition 1.1.1.(1) Une suite `a valeurs dansKest une famille d"´el´ements deKin- dex´ee par l"ensembleNdes entiers naturels. La donn´ee d"une suite ()N´equivaut `a la donn´ee de l"application NK (2) Une sous-suite (ou suite extraite) d"une suite ()Nest une suite de la forme (k)No`u lessont des entiers tels que 0 1 2 Si ()Nest donn´ee par l"application:NK, alors (k)Nest donn´ee par l"application, o`uest d´efinie par() =. Une suite peut ˆetre d´efinie de plusieurs fa¸cons : - Par une formule explicite := 22 - Par une r´ecurrence :0= 1 et, pour toutN,+1=2+ 1 - Abstraitement :est le-i`eme nombre premier. Il arrive que les premiers termes d"une suite ne soient pas d´efinis. Par exemple, dans la suite 2 2 les termes0et1ne sont pas d´efinis. On notera ()2cette suite. ´Etant donn´ee une suite ()N, on a deux suites extraites importantes : la suite (2)Ndes termes pairs, et la suite (2+1)Ndes termes impairs. Exemple.La suite de Syracuse d"un nombre entierest d´efinie par r´ecurrence, de la mani`ere suivante :0=et pour tout entier0 : +1=? n2siest pair
3+ 1 siest impair
Lothar Collatz a conjectur´e (en 1937) que, pour tout 0, il existe un indicetel que= 1. Une fois que le nombre 1 est atteint, la suite des valeurs 142142 ser´ep`ete ind´efiniment. La conjecture reste ouverte aujourd"hui (2011). Elle a ´et´e v´erifi´ee par
ordinateur pour 262.1.2 Convergence d"une suite r´eelle ou complexe
La d´efinition moderne de la limite, encore utilis´ee aujourd"hui, est donn´ee ind´epen- damment par Bolzano en 1816, et par Cauchy en 1821 dans sonCours d"analyse de l"´Ecole royale polytechnique. D´efinition 1.2.1.On dit qu"une suite ()Nd"´el´ements deKconvergeversKsi : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N On dit qu"une suitedivergesi elle ne converge pas. Ceci se traduit de la fa¸con suivante : pour tout 0 (arbitrairement petit), il existe un rang (l"entier) `a partir duquel tous les termes de la suite sont `a une distanceinf´erieure `ade. Insistons sur le fait qued´epend de!Exemples.a) Montrons que la suite (1
)1converge vers 0. Soit 0, on cherche un entiertel que, pour tout, on ait1 , c"est-`a-dire1. On constate que, si l"on pose=(1 ) + 1, alors1et donc, pour tout, on a bien1. Ainsi, pour montrer que () converge vers`a partir de la d´efinition, on fixe 0 et on cherche `a traduire la condition en une condition de la forme, l"entier´etant construit au cours du raisonnement. b) Probl`eme concret : comment calculer? Plus pr´ecis´ement, comment calculer des valeurs approch´ees deavec une pr´ecision arbitraire? Commeest irrationnel, son 3´ecriture d´ecimale n"est ni finie, ni p´eriodique. Une m´ethode naturelle est de construire
une suite () dont on sait calculer les termes et qui converge vers. Alors, par d´efinition de la convergence, pour tout 0, il existe un rang`a partir duquelest une valeur approch´ee de`apr`es. Siest explicite en fonction de, alors on sait calculer une valeur approch´ee deavec une pr´ecision arbitraire. Pour exprimer le fait que () converge vers, nous dirons queest lalimitede () quandtend vers +, et nous noterons lim +=ou lim=ou encore+ Pour que cette notation ait un sens, il faut montrer qu"une suiteconvergente admet une unique limite! Proposition 1.2.2.Si une suite converge, sa limite est unique. D´emonstration.Soit () une suite convergeant vers deux limiteset. Soit 0. Alors, comme () converge vers 1N1 et, comme () converge vers, 2N2Alors, pourMax(12), nous avons
=() + () + 2 Ceci ´etant vrai pour tout, on en d´eduit que= 0, donc que=. (Nous avons utilis´e le fait (trivial) suivant : si un r´eel positif est plus petit que toute quantit´e strictement positive, alors il est nul.)Nous avons clairement les ´equivalences :
lim=lim() = 0lim= 0 Si () converge, que peut-on dire des suites extraites de ()? Proposition 1.2.3.Toute suite extraite d"une suite convergente converge vers la mˆeme limite. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. Soit (k) une suite extraite de (). Comme la suiteest une suite strictement croissante d"entiers, nous avons pour tout. Soit 0, alors, comme () converge vers, il existetel que, pour tout, on ait . Mais alors, pour tout, nous avons et par cons´equentk , d"o`u le r´esultat. 4Ceci fournit des crit`eres de divergence :- si on peut extraire de () une suite divergente, alors () diverge
- si on peut extraire de () deux suites convergeant vers des limites diff´erentes, alors () diverge Par exemple, la suite= (1)diverge : la suite des termes pairs converge vers 1, la suite des termes impairs converge vers1. Remarquons aussi que la modification d"un nombre fini de termes n"aaucune incidence sur la convergence d"une suite. D´efinition 1.2.4.On dit qu"une suite () estborn´ees"il existe un r´eel 0 tel que l"on ait N La proposition suivante fournit un autre crit`ere de divergence. Proposition 1.2.5.Toute suite convergente est born´ee. La r´eciproque est fausse. D´emonstration.Soit () une suite convergente, de limite. D"apr`es la d´efinition de la limite, et en fixant= 1, on trouve qu"il existe un entier1tel que, pour tout1, on ait 1 d"o`u, pour tout1, =+ () + 1On en d´eduit que, pour toutN,
Max(+ 10111)
ainsi la suite () est born´ee. Pour voir que la r´eciproque est fausse, il suffit de consid´erer
la suite= (1), qui est born´ee mais divergente.1.3 Op´erations sur les limites
Nous allons montrer que le passage `a la limite est compatible avec les lois du corpsK.Commen¸cons par ´enoncer un lemme.
Lemme 1.3.1.Le produit d"une suite born´ee par une suite tendant vers0tend vers0. D´emonstration.Soit () une suite born´ee, alors il existe un r´eel 0 tel que : N 5 Soit () une suite tendant vers 0, montrons que () tend vers 0. Soit 0, alors en consid´erant le r´eel il existeNtel que, pour tout, . Nous avons donc, pour tout d"o`u le r´esultat. Th´eor`eme 1.3.2.Soient()et()deux suites convergentes de limites respectiveset . Alors (1)La suite(+)converge vers+ (2)La suite()converge vers (3)Supposons= 0. Alors la suite(1 n)est bien d´efinie `a partir d"un certain rang, et converge vers 1 D´emonstration.(1) Soit 0. Comme () converge vers, nous avons 1N1 2 et, comme () converge vers, 2N2 2Soit=(12). Alors, pour, nous avons
2et 2 d"o`u, par l"in´egalit´e triangulaire ce qui montre que (+) converge vers+. (2) On peut ´ecrire La suite´etant convergente, elle est born´ee (proposition 1.2.5). Comme () tend vers 0, le lemme 1.3.1 nous dit que le produit() converge vers 0. De mˆeme, le produit ()converge vers 0. Ceci montre, d"apr`es (1), queconverge vers0, ce qu"on voulait. (3) Non d´emontr´e.
Proposition 1.3.3.Soit()une suite complexe. Alors()converge versCsi et seulement si les suites r´eellesRe()etIm()convergent respectivement versRe()et Im(). 6 D´emonstration.La d´emonstration repose sur le fait suivant : soit=+un nombre complexe, alorsMax() +
l"in´egalit´e de droite d´ecoule de l"in´egalit´e triangulaire, celle de gauche d´ecoule de l"´ecriture
2+2.Posons= Re() et= Im(), alors Re() =Re() et Im() =
Im(). Soit 0. Siest inf´erieur `a, alors, par l"in´egalit´e de gauche, il en est de mˆeme pourRe()et pourIm(). R´eciproquement, siRe()et Im()sont inf´erieurs `a2, alors par l"in´egalit´e de droiteest inf´erieur `a.D"o`u le r´esultat.
Par exemple, la suite complexe
=1 + 1+?2+ 4+ 3? converge vers 2. Cependant, il n"est pas toujours commode de se ramener aux parties r´eelles et imaginaires : par exemple pour ´etudier la suite () o`uC.1.4 Suites r´eelles
1.4.1 Passage `a la limite et in´egalit´es
Th´eor`eme 1.4.1.Soient()et()deux suites r´eelles convergentes telles que N Alors limlim D´emonstration.Par l"absurde : supposons que limlim. Alors la limite de la suite () est strictement positive, notons-la. En prenant=2, on trouve que, pour
suffisamment grand,appartient `a [2+2] = [232], donc est positif. Ceci
contredit l"hypoth`ese. D"o`u le r´esultat. Attention : les in´egalit´es strictes ne passent pas `a la limite. Par exemple, nous avons pour toutN,10 et pourtant lim1= 0.
Th´eor`eme 1.4.2(Th´eor`eme des gendarmes).Soient(),()et()trois suites r´eelles telles que : ()N () ()et()convergent vers une mˆeme limite. 7Alors()converge vers.
D´emonstration.Nous avons, pour toutN,
0 Comme () et () convergent vers une mˆeme limite, la suite () tend vers 0. Soit0, alors il existetel que, pour tout,
0 ce qui montre que () tend vers 0. Commeconverge vers, on en d´eduit que =() converge vers. Ce qu"on voulait.Par exemple, l"encadrement
R1sin()1
permet de montrer que la suite ( sin() ) tend vers 0. Ce r´esultat s"applique aux suites complexes : soient () une suite complexe et () une suite r´eelle, satisfaisant 1)N2) lim= 0
Alors la suite () tend vers 0. Par exemple, la suite =3+4 tend vers 0, car son module est major´e par 2 Exemple.Voici un exemple de calcul de limite, r´esumant l"ensemble destechniques que nous avons vues jusqu"ici. PourN, posons =2+ cos() +?(+ 1)(+ 2) En divisant num´erateur et d´enominateur paron trouve =2 +cos() +?(1 +1)(1 +2) les suites ( cos() ), (1) et (2) convergent vers 0. De plus, nous avons 1? (1 +1)(1 +2)(1 +1)(1 +2) donc le terme central converge vers 1 par le th´eor`eme des gendarmes. Ainsi, la suite () converge vers 2 +1. 81.4.2 Suites tendant vers l"infiniD´efinition 1.4.3.Soit () une suite r´eelle.
(1) On dit que () tend vers +si : pour tout 0, il existeNtel que, pour tout, on ait ou, avec des quantificateurs, 0N (2) On dit que () tend verssi () tend vers +. Une suite qui tend vers l"infini est divergente. Dans certains livres, on trouve mˆeme l"expression"() diverge vers +».On introduit l"ensemble
R=R + que l"on appelle la droite r´eelle achev´ee. On note aussiR= [+]
ce qui sugg`ere queRse comporte comme un intervalle ferm´e.
D´efinition 1.4.4.On d´efinit les op´erations alg´ebriques suivantes dans l"ensemble R. a)R,+= +et =. b) (+) + (+) = +, () + () = c)R,() = signe()(1) d) (+)(+) = +, (+)() =, ()() = + e) 1 = 0 Th´eor`eme 1.4.5.Soient()et()deux suites r´eelles admettant des limites (´eventuellementinfinies). Alors, chaque fois que les quantit´es ci-dessous sont bien d´efinies, on peut ´ecrire
(1) lim(+) = lim+ lim (2) lim() = limlim (3) lim 1 =1limRappel : une suite r´eelle () est
- croissante siN+1 - d´ecroissante siN+1 - monotone si elle est croissante ou d´ecroissante 9 Proposition 1.4.6.Soit()une suite r´eelle croissante. - Si()est major´ee, elle converge (vers sa borne sup´erieure) - Sinon,()tend vers+ D´emonstration.Supposons () major´ee. Soitla borne sup´erieure (le plus petit des majorants) de l"ensemble des termes de la suite (). Soit 0, alorsest strictement inf´erieur `a, donc n"est pas un majorant de (). Il existe donc un entiertel que La suite () ´etant croissante, on en d´eduit que, pour tout,Il en r´esulte que, pour tout,
donc () converge vers. Un raisonnement analogue prouve que, si () n"est pas major´ee, elle tend vers +. On a une proposition analogue pour les suites d´ecroissantes. On en d´eduit : Th´eor`eme 1.4.7(Limite monotone).Toute suite r´eelle monotone a une limite, finie ou infinie. Th´eor`eme 1.4.8(Suites adjacentes).Soient()et()deux suites r´eelles telles que : -()est croissante -()est d´ecroissante -()converge vers0Alors()et()convergent vers une mˆeme limite.
D´emonstration.Tout d"abord, remarquons que la suite () est d´ecroissante et converge vers 0, donc est `a termes positifs. Nous avons donc, pour toutN, +1+1 Ainsi, () est croissante major´ee par0, donc converge vers une limite finie. De mˆeme, () est d´ecroissante minor´ee par0, donc converge. Ainsietconvergent, et ont mˆeme limite puisque () converge vers 0. 101.4.3 Exemples
Limite d"une suite g´eom´etrique.
Lemme 1.4.9.SoitC,= 1. Si la suite()converge, sa limite est0. D´emonstration.Supposons en effet que () converge versC. Comme (+1) est une suite extraite de (), nous avons lim+1= lim et d"autre part, lim+1=lim donc=, d"o`u(1) = 0, d"o`u= 0 puisque= 1.Suites g´eom´etriques r´eelles.
Proposition 1.4.10.Soitun nombre r´eel.
(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si 1, la suite()tend vers+ D´emonstration.(1) Quitte `a remplacerpar, on peut supposer que[01[. Alorsla suite () est strictement d´ecroissante, minor´ee par 0. Elle converge donc vers un r´eel,
n´ec´essairement ´egal `a 0 d"apr`es le lemme. (2) Pour 1, la suite () est strictement croissante, donc admet une limite. Si cette limite ´etait finie,elle serait nulle d"apr`es ce qui pr´ec`ede. Or c"est impossible, puisque tous les termes de cette suite sont strictement sup´erieurs `a 1. Donc () tend vers +.Suites g´eom´etriques complexes.
Proposition 1.4.11.Soitun nombre complexe.
(1)si1, la suite()converge vers0 (2)si1, la suite()diverge (3)si= 1et= 1, la suite()divergeD´emonstration.Les points (1) et (2) d´ecoulent de la proposition pr´ec´edente. Le point (3)
d´ecoule du lemme.