[PDF] Etude des extrema d’une fonction

Extremums d’une fonction - Parfenoff org

Extremums d’une fonction I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et y deux réels • y est le maximum de sur D si et seulement si : ; Q pour tout de D, et s’il existe un réel » dans D tel que : » ; L

Etude des extrema d’une fonction

Etude des extrema d’une fonction 1 Extrema : Rappels sur les fonctions d’une variable Dans cette section on veut g´en´eraliser a` plusieurs variable la discussion suivante concernant les fonctions d’une variable : Soit f une fonction d´efinit sur un intervalle I de R; on d´esire connaˆıtre les points

I Extremums d’une fonction

II Un exemple d’étude de fonction Après un énoncé quelconque, on nous annonce que tel ou tel phénomène peut être modélisé grâce à la fonction f définie sur [0 ; 40] par : f (x) = x3−36x2+285x−250 1) Montrer que f (x) = (x−1)(x−10)(x−25) 2) En déduire les racines de f 3) Déterminer une expression de f '(x)

Recherche des extremums d’une fonction

Il suffit d’appliquer la d´efinition d’un extremum local avec V =]x 0−α,x 0+α[ et la proposition poss`ede une version a gauche de x 0 Ce r´esultat, fort utile pour montrer l’existence d’un extremum au bornes de l’ensemble de d´efinition d’une fonction, n’est encore qu’une condition suffisante comme le montre la restriction

I Extremums d’une fonction

7) Quels sont les extremums (ou extrema) de la fonction f? 8) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 7 La correction qui résume les savoirs-faire sur les fonctions que vous devez maîtriser 1) Montrer que f (x) = (x−1)(x−10)(x−25)

Variations et extremum

Variations et extremum I Variations d'une fonction Définition - Fonction croissante et fonction décroissante Soit ???? une fonction définie sur un intervalle ???? • On dit que f est croissante sur ???? si lorsque ???? augmente sur ???? alors ????(????) augmente Autrement dit, pour tous réels ????1 et ????2 de ???? tels que ????1 Q????2

RECHERCHE D’EXTREMUM

est une fonction de classe sur D à valeurs dans f D I et si:Io est une fonction de classe sur I, alors f est de classe sur D Les fonctions polynomiales de n variables donc à fortiori les fonctions affines de variables sont de classe sur n 4) Théorème de Schwarz (admis) Si f est une fonction de classe C2 sur un ouvert D de n, alors pour tout xD

Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables

Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables réelles - Page 2 sur 2 M Duffaud 3 b : Théorème pour les fonctions de 2 variables On utilise les notations de MONGE, du nom du mathématicien français MONGE Gaspard (1746-1818)

Chap 3: Optimisation dune fonction à deux variables

A partir de la contrainte, on peut exprimer une variable en fonction de l’autre, par exemple y en fonction de x, et on se ramène à la recherche d’un extrêmum d’une fonction à une seule variable en remplaçant dans f(x;y) la variables y par son expression en fonction de x On utilisera par la suite les méthodes du chapitre 1 pour

Dérivation des fonctions

Proposition 1 12 (Dérivée d'une fonction à valeurs complexes) Soit f une fonction de I dans C telle que f(x) = f1 (x)+i f2 (x), où f1 et f2 sont deux fonctions de I dans R et x0 2I La fonction f est dérivable en x0 ssi f1 et f2 le sont, et l'on a alors f0(x 0) = f 0 1 (x0) + i f 0 2 (x0): Proposition 1 13 (Dérivation de l'exponentielle

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CHAPITRE3

Etudedesextr emad'unef onction

1.Extr ema:Rappelssurlesfonctio nsd'une variable

Danscettes ectiononveutg´en ´eraliser`aplusieursvariable ladiscuss ionsuivante concernantlesfonctionsd'unevariable: Soitfunefo nctiond´efinitsuruninterv alleIdeR;on d´esire connaˆıtrelespoints xdeIo`uf(x)pre ndunevaleurmaxima leou minimale(onventd´ eterminerles extremumsdef).Pourc ela -Oncommenc eparcalculerlesvaleur sdefauxextr ´emit´esdeI,f(a),f(b)au moinsquandc esvaleursso ntd´efinies. -on´etudie alorsf`al'int´e rieurdeI:dans l'interva lle"ouvert"]a,b[.

Onsuppos equefest2foisd´ eriv able.

Proposition3.1.Sifadmetunextr emumaup ointxdans]a,b[alors f (x)=0. Cettepropositionno usam`ene`atrouverlessolutionsdel' ´equatio n f (x)=0. Lessolutions sontappel´espoint critiquesoustationnaires.On regar dealorslad´eriv´ee secondeenuntelpoin t

Th´eor`eme3.1.Soitx?]a,b[telquef

(x)=0alors,si -sif (x)<0,ilexiste uninterval leouvert I x =]a x ,b x [contenantxtelquef restreinte`aI x prendsavaleurmaximale enx. -sif (x)>0,ilexiste uninterval leouvert I x =]a x ,b x [contenantxtelquef restreinte`aI x prendsavaleurminimaleenx. -Sif (x)=0plusieurschosessontpossible. Entout cas,on ditquefaunp oint d'inflexionenx. Danslesdeuxpre mierscas onditque fadmetunextr emum localenx.Ev idement lesextr emumslocauxsontdescandidats`a ˆetredesextr emumsglobaux(surI).A prioripourlespoin td'inflextionf (x)=0 onne peut riendiree tune´ etudeplus approfondieestn´ec´essa ire: Exemple1.0.1.lesfonct ionsfsuivantesadmettentunpointd'inflex ionenx=0 -f(x)=x 4 :minimum en0. -f(x)=-x 4 :max imumen0 -f(x)=x 3 niminimum nimaximum( pasm ˆemelocal),feststrict ementcrois- sante. 21

223.ET UDEDESEX TREMAD'UNEFON CTION

2.Casde sfonctionsde deuxvari ables

Onvag´ en´er aliserladiscussionpr´ec´edenteauxfonction`ade uxva riables.Onse donnefd´efiniesurundomaineDdeR 2 etond´ esired ´eterminerles?x=(x,y)o`u f(?x)pre nddesvaleurse xtrˆeme s.Onsupposequefestdeuxfois d´eriva ble.Pourcela, ondoitco mmencerpa rdonnerl'analoguedesextr´emit ´esdeI. D´efinition3.1.Ond´ efinitl'int´erieurdeD,D commel'ensembledes?xdansDtels qu'ilexiste unebouleB(?x, r)derayon >0enti`erementcontenuedansD.Ond ´efinit lebor ddeD,∂Dcomme´etantlec ompl´ementairedeD (lespoints deDquinesont pasdansl'int´er ieur). Pourd´eter minerlesextremumsdefsurD,on proc`ede ainsi -On´etudie lesextremumsdefsurlebor d∂D:leb ord esteng´en´er allar´eunion d'uneco urbeetdepointisol´ es.L'´ etude deflelong duborde stplus simple. -Onestr amen´e`a´e tudierlesextremumsdansl'int´ erieurD

Proposition3.2.Soit?x

0 =(x 0 ,y 0 )unpoint del'int´erieurde D.Si?x 0 estunextr e- mumdefsurD alors ?f(?x 0 f x (?x 0 f y (?x 0 ))=(0 ,0).

D´efinition3.2.Unpoint?x

0 telque ?f(?x 0 f x (?x 0 f y (?x 0 ))=(0 ,0) estappel ´epointcritiquepourf.

Preuve:Soit ?x

0 =(x 0 ,y 0 )unp oin tdel'int´erieuretB(?x 0 ,r),r>0uneb oule contenuedansD.Co nsid´eronslafonctiond'unevariable f 1 :x?→f(x,y 0 f 1 estd´efinies url'intervalle]x 0 -r,x 0 +r[et parhypo th`ese admetunextremumen xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5