Impact d’un jet sur une plaque

Problème : Le jet d’eau de la ville de Genève On fournit ci-dessous les informations techniques issues de la fiche touristique de la ville de Genève relative à son célèbre jet d’eau : Débit : 500 L s-1 -Vitesse d’éjection du jet : 200 km h 1 Puissance de l’éclairage : 9k W

Quelle hauteur pour ce jet deau

les renseignements pertinents pour la hauteur du jet d'eau Une solution parmi d'autres conservation de l'énergie ½ m v2 = mgh on convertit les km/h en m/s et on trouve h=180m Les frottements freinent le jet et le font monter légèrement moins haut que prévu

Probleme 1 : Jet sur un plan inclin` ´e

Probleme 1 : Jet sur un plan inclin` ´e On souhaite calculer dans ce probl`eme la force exerc ee par un jet d’eau impactant une plaque plane´ inclinee (ﬁgure 1) On consid´ ere un jet d’eau bidimensionnel, stationnaire, de densit` e´ ˆ, d’epaisseur´ h, de profondeur Larbitraire (selon l’axe z) et de vitesse uniforme U~selon ~e

1 Exercice 1 - cours, examens

D Fx = 1 2 egh 2 tan et Fz = 1 2 egh 2 E Fx = 1 2 egh 2 et F z = 1 2 egh 2 cot 2 Exercice 2 Le jet d’eau de Genève de diamètre initial 100 mm s’élève verticalement à une hauteur de h= 150 m En négligeant les pertes par frottement, déterminer la vitesse à la base du jet et le débit injecté On note z l’axe des altitudes orienté

Impact d’un jet sur une plaque

Denis C D ROUX M´ecanique des ﬂuides et des solides 2012 Impact d’un jet sur une plaque Une pompe de d´ebit q est connect´ee a un tuyau d’arrosage propulsant un jet d’eau sur une plaque P L’´ecoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O, → i , → j ) La vitesse → V du jet fait un angle α (> 0) avec la

Exercices de Mécanique des Fluides

Une turbine est alimentée par une retenue d'eau selon le schéma ci-dessous On donne : Diamètre d de la conduite d'alimentation et de déversoir : d = 700 mm Pression aux points A, B, C et D : p A = p D =1,01 bar p C = 1, 1 bar Cote des points A, B et C : z A = 363 m z B = 361 m z C = 353 m Viscosité dynamique de l'eau : 1,00×10–3 Pa·s

Alphas 8 jours - Le blog dune enseignante

Le jet d’eau est joyeux Il jaillit en faisant : j jjjjj llie Exercice 1 : entoure les syllabes que la maitresse te dit fo –ma –mu –fi –fé –mi –fe

TDs de m ecanique des uides - IMT Mines Albi

Mercure (d M = 13) Eau h h 3 h 1 h 2 A Figure 1 { Tubes Exercice 1 6 : Flottation d’une barre en bois (d’apr es DS IFI 2002) Une barre mince de longueur L, constitu ee par un mat eriau plus l eger que l’eau, est accroch ee a un mur en un point A, autour duquel elle peut tourner L’autre extr emit e de la barre plonge dans l’eau

Exercices Ecoulement parfait : Bernoulli

Une bonbonne remplie d’eau se vide par un trou pratiqué sur le côté au bas du récipient A l’instant t, la bonbonne est à moitié pleine, la hauteur d’eau étant H = 10 cm et le volume d’eau V = 2 L ; on ferme alors la partie supérieure avec un bouchon 1 Expliquer pourquoi toute l’eau ne va pas s’écouler 2

Exercice n°2 - AlloSchool

Exercice n°4 : La molécule d'eau est polaire, le pôle + de la molécule s'oriente du coté de la charge et se trouve ainsi plus proche que le pôle négatif de la molécule, donc plus attiré car la force d'attraction électrostatique diminue avec la distance entre les charges

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MEC24BDenis C D ROUXM´ecanique des fluides et des solides 2012

Impact d"un jet sur une plaque

Une pompe de d´ebitqest connect´ee `a un tuyau d"arrosage propulsant un jet d"eau sur une

plaqueP. L"´ecoulement du jet est permanent et contenu dans le plan (O,-→i,-→j). La vitesse-→V

du jet fait un angleα(>0) avec la direction-→iportant la plaque. L"eau sortant du tuyau est

suppos´ee de viscosit´e n´egligeable. Les ´epaisseurs deslames d"eau sont consid´er´ees comme faible

ce qui permet de n´egliger l"action de la pesanteur terrestre.

Figure1 - Impact d"un jet sur une plaque

Question1(1 point)´Ecrire le th´eor`eme de Bernoulli entre les sectionsSetS1et entreSetS2.

Solution:

P+1

2ρV2=P112ρV12=P2+12ρV22

Question2(1 point)

Si la pression dans les sectionsS,S1etS2est identique, que peut-on dire des vitessesV, V

1etV2?

Solution:

V=V1=V2

Question3(1 point)

Quelle est la direction de la force-→Fexerc´ee par le jet sur la plaque? Pour cette question on rappelle que la viscosit´e du fluide est suppos´ee n´egligeable.

Solution:

-→F=F-→j

Question4(1 point)

Appliquer le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement au volume de fluide d´efinit par les surfacesS,S1,S2et les surfaces libres des jets entre ces surfaces. Il est rappel´e que le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement s"´enonce comme suit :

La r´esultante des actions m´ecaniques ext´erieures exerc´ees sur un fluide isol´e est ´egale `a la

variation de la quantit´e de mouvement du fluide. SiS1etS2sont deux surfaces par lesquels le fluide respectivement rentre et sort avec des vitesses respectivesV1etV2, la variation de quantit´e de mouvement est ´egale `aQm(V1-V2)ouQmest le d´ebit massique. MEC24BDenis C D ROUXM´ecanique des fluides et des solides 2012

Solution:

--→F=-ρq-→V+ρq1-→

V1+ρq2-→

Question5(1 point)

D´eterminer les d´ebitsq1etq2en fonction des param`etresα,q,ρetV.

Solution:

En projetant l"´equation vectorielle du th´eor`eme de la quantit´e de mouvement sur l"axe-→i

on obtient :q1=q

2(1 +cos(α)) etq2=q2(1-cos(α))

Question6(1 point)

D´eterminer l"expression de la forceFen fonction deρ,q,Vet l"angleα.

Solution:

F=ρ q V sin(α)

Question7(2 points)

Le diam`etre interne du tuyau est de 20 millim`etres et le d´ebit de la pompe est de 2500 litres par heure. Sachant queα= 15◦, d´eterminer :q1,q2etF.

Solution:

q?0.7 10-3m3/s;q1?1.4 10-3m3/s;q2?0.24 10-6m3/s;V=q/s?2.2m/set

F= 0.4N

Analyse dimensionnelle

Un fluide de viscosit´eμ, que l"on souhaite d´eterminer, s"´ecoule dans une conduite cylindrique

de diam`etreDavec un d´ebit constantQ. Entre deux pointsEetSs´epar´es d"une distanceL, des capteurs de pression permettent de mesurer la diff´erence de pression ΔP=PE-PS.

Question1(1 point)

Donner le nombre de param`etres a-dimensionnels du probl`eme (C"est une question de cours).

Solution:

N+ 1 = 5 etr= 3 doncN+ 1-r= 2

Question2(1 point)

Montrer que l"on peut former deux nombres a-dimensionnelsπ1etπ2L"un donnant le d´ebit et l"autre une a-dimensionnalisation des longueurs. Pour cela, on utilisera la m´ethode de

Lord Rayleigh en posant : (ΔP)bLcDd(μ)e=Qa.

Solution:

Qa(ΔP)bLcDd(μ)e= 10, ce qui donne aveca= 0 : Π1=L/Det aveca= 1 :π2=

QLμ/(ΔP)D4

Question3(2 points)

La mesure de la diff´erence de pression entre les deux points distants de 20 centim`etres est

´egale `a 2 bars. Le diam`etre int´erieur de la conduite cylindrique est de 4 millim`etres et le

d´ebit mesur´e `a l"aide d"une balance est ´egal `a 38 grammes par minutes. Donner la valeur

de la viscosit´e du produit Newtonien s"´ecoulant dans la conduite sachant que le nombre a-dimensionnelπ1=π/128.

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Solution:

μ?10Pa.s

Plaque oscillante

Une plaque en aluminium de longueur L, de largeur l et d"´epaisseur e est suspendue par une pivot "O" non glissante d"axe parall`ele `a sa largeur. Figure2 - plaque suspendue par un pivot non glissant

Question1(1 point)

Exprimer la vitesse instantan´ee de rotation et la vitesse "de translation" au point "G" de la barre par rapport au rep`ere fixeRo(O,-→io,-→jo,-→ko). Regrouper, votre r´esultat dans un torseur cin´ematique que vous´ecrirez :V=? -→ΩR1/Ro---→

V(G)R1/Ro?

(G).

Solution:

V=?θ-→k0

0? (O)=?θ-→k0 L

2θ-→j1?

(G).

Question2(1 point)

Exprimer la quantit´e de mouvement ou impulsion de la barre-→P(G)R1/R0ainsi que le mo- ment cin´etique-→σ(O)R1/R0. Regrouper votre r´esultat sous la forme du torseur cin´etique :C=? -→P(G)R1/R0-→σ(O)R1/R0? (O).

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MEC24BDenis C D ROUXM´ecanique des fluides et des solides 2012
Remarque : quel argument permet d"exprimer la matrice d"inertie de la plaque en "O" sous la forme :

I(o)R1/R0=???A0 0

0B0

0 0C???

Solution:

C=?mL

2-→j1

Cθ-→k0?

(O)

Question3(1 point)

Exprimer l"invariant vectoriel dynamique´egal au produit:m-→γ(G)R1/R0ainsi que le moment dynamique-→δ(O)R1/R0au point "O".

Regrouper votre r´esultat dans le torseur dynamique que vous´ecrirez :D=?m-→γ(G)R1/R0-→δ(O)R1/R0?

(O).

Solution:

D=?m(L

2¨θ-→j1-L2θ2-→i1

C¨θ-→k0?

(O).

Question4(1 point)

Exprimer en "O" le torseur des efforts appliqu´es sur la plaquesous la forme :F=? -→FR1/R0-→MR1/R0? (O).

Solution:

F=?

R0+m-→g--→OG?(m-→g)?

(O).

Question5(1 point)

Appliquer le principe fondamental de la dynamique `a la plaque afin d"en d´eduire les ´equations

vectorielles du mouvement.

Solution:

R0+m-→g=m-→γ(G)T1/T0--→OG?(m-→g) =--→δ(0)T1/T0

Question6(1 point)

Calculer la composante de la matrice d"inertie n´ecessaire`a la r´esolution du probl`eme en fonction de la masse "m" de la plaque et des longueurs "L" et "e".

Solution:

C=?(x2+y2)ρ dxdydz

Question7(1 point)

Exprimer la r´eaction-→

Rode la liaison pivot dans le rep`ere (O,-→i0,-→j0,-→k0). Cette r´eaction est-elle constante en fonction du temps?

Solution:

R0= (-Lθ2cos(θ)-L

2¨θsin(θ)) +g,-Lθ2sin(θ) +L2¨θcos(θ),0)(-→i0,-→j0,-→k0)

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Question8(1 point)

Exprimer l"´equation diff´erentielle r´egissant le mouvement de rotation de la plaque. Dans le

cas de faibles oscillations, que devient cette ´equation?

Solution:

C¨θ+gL

2sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ)?θ

Question9(2 points)

La plaque est en aluminium de masse volumiqueρ= 2.7gr/cm3. Elle poss`ede les dimensions suivantes :Lm= 30cm,l= 20cmete= 3mm. D´eterminer la pulsation des oscillations engendr´ees par une mise en mouvement de la plaque lˆach´ee avec un angle initial de 15 degr´es. Avec notre mod´elisation la plaque s"arrˆetera-t-elle d"osciller? Pourquoi? (Remarque:C=mL2

[PDF] Impact d’un jet sur une plaque

Impact d"un jet sur une plaque

Figure1 - Impact d"un jet sur une plaque

Solution:

2ρV2=P112ρV12=P2+12ρV22

Question2(1 point)

1etV2?

Solution:

V=V1=V2

Question3(1 point)

Solution:

Question4(1 point)

Solution:

V1+ρq2-→

Question5(1 point)

Solution:

2(1 +cos(α)) etq2=q2(1-cos(α))

Question6(1 point)

Solution:

F=ρ q V sin(α)

Question7(2 points)

Solution:

F= 0.4N

Analyse dimensionnelle

Question1(1 point)

Solution:

N+ 1 = 5 etr= 3 doncN+ 1-r= 2

Question2(1 point)

Lord Rayleigh en posant : (ΔP)bLcDd(μ)e=Qa.

Solution:

QLμ/(ΔP)D4

Question3(2 points)

Page 2

Solution:

μ?10Pa.s

Plaque oscillante

Question1(1 point)

V(G)R1/Ro?

Solution:

V=?θ-→k0

2θ-→j1?

Question2(1 point)

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I(o)R1/R0=???A0 0

0 0C???

Solution:

2-→j1

Cθ-→k0?

Question3(1 point)

Solution:

D=?m(L

2¨θ-→j1-L2θ2-→i1

C¨θ-→k0?

Question4(1 point)

Solution:

R0+m-→g--→OG?(m-→g)?

Question5(1 point)

Solution:

Question6(1 point)

Solution:

C=?(x2+y2)ρ dxdydz

Question7(1 point)

Exprimer la r´eaction-→

Solution:

R0= (-Lθ2cos(θ)-L

2¨θsin(θ)) +g,-Lθ2sin(θ) +L2¨θcos(θ),0)(-→i0,-→j0,-→k0)

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Question8(1 point)

Solution:

C¨θ+gL

2sin(θ) = 0, dans le cas de petites oscillations : sin(θ)?θ

Question9(2 points)

3+me23)

Solution:

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