Electrostatique : révisions de Sup Conducteurs en équilibre

Coulomb’s law to nd the electric eld at the location from each of the objects Then add the two electric eld vectors (superposition principle) to nd the net electric eld The electric eld at the location (0,y) due to the positively charged object is E~ 1 = kq (y a)2 (+^j) (12)

CHAPITRE IV : La charge électrique et la loi de Coulomb

IV 6 : La loi de Coulomb C’est en 1785, que le physicien français Charles Augustin Coulomb établit expérimentalement la loi donnant la force existant entre deux charges électriques Pour mesurer les forces, Coulomb se servit d’une balance de torsion dans laquelle un

Troncs communs - univ-boumerdesdz

7 Loi de Coulomb 24 8 Principe de superposition 25 Enoncés des exercices 26 Solutions des exercices 3 1 Chapitre 2 : Champ électrostatique • 1 Définition duchampélectrostatique 45 2 Champ électrostatiquecréé par une charge ponctuelle 4 5 3 Champ électrostatiquecréé par un ensemble de charges ponctuelles 46 4

ELECTROSTATIQUE 1 - UPF

2 1 Loi de Coulomb • L'interaction est caractérisée par une intensité et une direction → représentation vectorielle • Coulomb, grâce à son pendule de torsion, va quantifier cette interaction On considère : - 2 charges q1 et q2-u12 un vecteur unitaire dirigé de 1 → 2 - r la distance qui sépare les 2 charges F12

Interaction électrostatique, loi de Coulomb

Augustin Coulomb (1736-1806), mette au point une expérience réalisée à l'aide d'une balance de torsion de son invention pour déterminer la force qui s'exerce entre deux corps électriquement chargés Il énoncera en 1785 une loi mathématique qui porte aujourd’hui le nom de loi de Coulomb En hommage

Corrigés des exercices 11 à 125 : 251 1

Corrigés des exercices 1 1 à 1 25 : 25 1 1 1 Exercice1 1 Les deux charges placées en A et Csont de signes contraires, donc, elles s’attirent Si on pose AC x=, alors la force d’attraction est égale à : 2 99 22 2 2 AC AC9 10 9 10 qq q FF xx = = Les deux charges placées en B et C sont de signes contraires, donc, elles s’attirent aussi

Electrostatique : révisions de Sup Conducteurs en équilibre

1 – Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel : Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Électrostatique et électrocinétique

Exercices 17 Corrigés 19 CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27 2 1 Charges électriques 27 2 2 Loi de Coulomb 28 2 3 Champ et potentiel 29 2 4 Force et énergie potentielle électrostatiques 31 2 5 Circulation du champ électrique 32 2 6 Loi locale et loi intégrale 32 2 7 Exemples d’application 33 2 7 Dipôle électrostatique 38

[PDF] force de laplace cours pdf

[PDF] loi de laplace magnétisme

[PDF] loi de laplace formule

[PDF] force de laplace exercices corrigés pdf

[PDF] force de lorentz exercice corrigé

[PDF] loi de laplace pdf

[PDF] force de laplace

[PDF] induction(correction exercice)

[PDF] propulsion fusée quantité de mouvement

[PDF] propulsion par réaction

[PDF] force de pression sur une paroi courbe

[PDF] force de pression sur une paroi plane tp

[PDF] force de pression sur une paroi inclinée

[PDF] force hydrostatique sur une surface courbe

[PDF] force de poussée hydrostatique

Electrostatique : révisions de Sup

Conducteurs en équilibre électrostatique

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Electrostatique : révisions de Sup

Conducteurs en équilibre électrostatique

I) Electrostatique ; révisions de sup :

1 - Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

3 * Gradient d"une somme et d"un produit : ])()()()(rggradrfgradrgrfgradr r r r r r r r r * En tout point, le gradient du champ scalaire )(rfr est perpendiculaire à la surface de niveau (la

surface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de

)(rfr, dans le sens des valeurs croissantes de )(rfr.

Exemple en électrostatique :

Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le champ est dirigé vers les

potentiels décroissants (car ))((rVgradEr r

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

4 Propriétés de symétrie du champ électrique :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

2 - Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces équipotentielles :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

3 - Le théorème de Gauss, équations locales de l"électrostatique :

Ce théorème a été démontré en 1 ère année ; on peut l"utiliser comme point de départ pour

démontrer la relation de Green-Ostrogradsky et présenter l"interprétation locale de l"opérateur

divergence.

On considère un volume élémentaire en coordonnées cartésiennes dτ = dxdydz. On montre que

le flux élémentaire sortant de ce volume vaut :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

τdzE

yE xEd zyx)) Soit : (interprétation locale de la divergence)

Edivddr

L"écriture locale du théorème de Gauss s"en déduit :

0ερ

=Edivr

Et on démontre ainsi le théorème de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout champ

vectoriel)

ττdEdivdSnEsoitdEdivd

VS r rr r

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

10 Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Equations locales :

Remarque sur les opérateurs :

Retour sur l"opérateur " gradient » :

zyxuzVuyVuxVVVgradrrr r

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

12 zyxuzuyuxrrr r (opérateur " nabla ») EEdivrr r

EErotr

r r

On retrouve alors facilement les expressions des ces opérateurs mais en coordonnées cartésiennes

uniquement ! (dans les autres systèmes de coordonnées, il faut soit utiliser un formulaire ou alors

retrouver l"expression de ces opérateurs quand par exemple les symétries sont fortes et seule la

distance r intervient). Les expressions suivantes ne sont pas à connaître :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

En coordonnées cylindriques :

zA A rrrA rzrA A rrA r

Et en coordonnées sphériques :

sin1 )(sin sin1 )(1)()sin()sin( sin1 2 22
2 A rA rrAr rrA Ar rAr rAdiv rr r * Divergence d"une somme et d"un produit : ])()()()(rWdivrVdivrWrVdivrr rr rr rr ])()()().()()(rVdivrfrVrfgradrVrfdivrr r rr r rr r

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

14 * Rotationnel d"une somme et d"un produit : ])()()()(rWrotrVrotrWrVrotr r rr r r rr ])()()()()()(rVrotrfrVrfgradrVrfrotrr r rr r rr r )().()().()()(rWrotrVrWrVrotrWrVdivr r rr r r rr r r rr (Voir le chapitre sur l"analyse vectorielle et un formulaire d"analyse vectorielle)

4 - Exemples de calculs de champs et de potentiels :

Voir feuilles d"exercices.

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

5 - Relations de passage pour le champ :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

6 - Equation de Poisson :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Rq1 : le Laplacien est encore noté :

2?=Δr

7 - Energie électrostatique :

a - Energie d"interaction de deux charges ponctuelles :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

18 b - Cas d"une distribution discrète de n charges ponctuelles :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

19 c - Energie électrostatique d"une sphère uniformément chargée :

On établit l"expression de l"énergie électrostatique d"une sphère de rayon a uniformément chargée

en volume, de charge totale Q et de densité volumique de charges ρ. On construit de manière réversible la sphère en amenant de l"infini la charge drrdqρπ2 4= , qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la " sphère » en construction , de rayon r : 02 3 00 334
4 1)(

41)(ερρπ

πεπεr

rr rrQrV=== Le travail élémentaire qu"il faut fournir est alors : drrrdrrrdqVVrVdqdEWW

Pélect4

02 02 2 34

34)()()(επρ

On en déduit :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

20 aqadrrE a él 1 203
154
34
02 5 02 4 02 0 On peut aussi généraliser la relation obtenue dans le cas de n charges ponctuelles :

τρdMVME

espaceél 21
Ici, l"intégration se limite au volume de la sphère de rayon a. Avec : )3(6)(;)(22

0raMVcsteM-===

Alors :

5 02 222
0 0

1544)3(621adrrraE

a él

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

21
On peut également utiliser la densité volumique d"énergie électrostatique : ∞a aespaceél drrradrrrdEE 022
2 03 22
0 02 0)( 41
34321

21περπερετε

et on obtient là encore le même résultat.

Par analogie, on en déduit l"énergie gravitationnelle d"une étoile (ou d"une planète) de masse M et

de rayon a : a GME grav 1 53
2

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

II) Dipôle électrostatique :

1 - Définition, exemples :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

2 - Calcul du potentiel dans le cadre de l"approximation dipolaire :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

3 - Champ électrique du dipôle, topographie :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

4 - Action d"un champ électrique extérieur, énergie potentielle d"interaction :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

5 - Quadripôle électrostatique : voir exercice

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

28
III) Equilibre électrostatique des conducteurs :

1 - Conducteur en équilibre électrostatique :

2 - Propriétés des conducteurs en équilibre :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

29
On peut également obtenir ce dernier résultat à partir de l"équation de MG,

0ερ

=Edivr Localement, les charges des ions positifs sont compensées par les charges des électrons.

Cette épaisseur est de l"ordre de 0,1 nm dans le cas du cuivre. La densité superficielle de charges

n"est en général pas uniforme : elle dépend de la forme du conducteur et des autres conducteurs

et charges en présence.

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

3 - Théorème de Coulomb :

du champ électrique et

Sens des lignes de champ :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

4 - Pression électrostatique :

On se place dans une modélisation surfacique.

Une surface élémentaire dS du conducteur est soumise à la force : extEdSfdr r où extEr

désigne le champ électrique créé par les autres charges du conducteur (et éventuellement

d"autres contributions). Soit propreEr le champ dû aux charges portées par la surface dS, alors on a : nEEE totpropreext r r r r

0εσ==+

Si on assimile la surface dS, localement, à un plan infini chargé σ, alors nE propre r r 0

2εσ

et, par conséquent, nE ext r r 0

2εσ

. La force qui s"exerce alors sur dS devient :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

32
ndSEdSfd ext rrr 02

2)(εσσ

D"où la pression électrostatique :

2εσ

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

5 - Exemples de topographie de champs en présence de conducteurs, résolution du

problème de Laplace :

En présence de conducteurs placés dans le vide (problème de Laplace), le potentiel

électrostatique V(M) vérifie :

• L"équation de Laplace en tout point : ΔV = 0

• La valeur du potentiel est imposée sur les surfaces des conducteurs (à l"infini, la valeur du

potentiel est choisie conventionnellement égale à 0) • Il y a continuité du potentiel

La résolution de ce problème conduit à une solution unique qui permet d"en déduire toutes les

autres données du problème, comme le champ électrique et les densités superficielles de charges

des conducteurs par exemple.

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

34
Exemple : interprétation du sens des lignes de champ

On considère le système de trois conducteurs représenté sur la figure suivante. Le potentiel à

l"infini est nul. Sans effectuer de calcul, préciser le signe des différents potentiels V 1, V

2 et V

3 et la

relation d"ordre qui existe entre eux. C 1 C 2 C 3

Réponses : V

3 < 0 ; V

2 > 0, V

1 > 0, V

1 > V

2 et V

1 > V 3 .

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

35
Exemple : influence d"une charge ponctuelle q positive sur une sphère isolée neutre

Une boule métallique de rayon R est reliée à la Terre (son potentiel est donc nul). On place à une

distance d du centre de la boule une charge ponctuelle q > 0. a) Où se trouvent les charges et commenter leur signe.

b) En calculant le potentiel au centre de la boule, calculer la charge Q portée par cette dernière.

c) Tracer les lignes de champ.

d) La boule est désormais isolée et porte une charge totale nulle (la charge q est toujours

présente). Quel est le potentiel de la boule ? Tracer les lignes de champ.

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

Réponses :

a) La boule acquiert une densité surfacique de charges ; des charges (venant de la Terre) négatives

vont être attirées sur la boule. Le potentiel de la boule reste nul puisqu"elle est reliée à la Terre.

b) Le potentiel au centre de la boule est nul : qdRQsoitdq

RQOV-==+=041

41)(
00

On remarque bien que Q < 0.

c) L"allure des lignes de champ est obtenue à partir du logiciel " Equipotential » :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

37
Comme l"infini et la boule sont au même potentiel nul, aucune ligne de champ ne peut partir de l"un pour aller à l"autre. Les lignes de champ partent donc de la charge q pour aller soit à l"infini soit sur la boule.

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

d) La boule étant isolée, sa charge reste nulle ; des charges positives se déplacent vers la droite et

des charges négatives vers la gauche.

L"allure des lignes de champ est :

Son potentiel vaut :

dq dq ROV 000 41
410

41)(πεπεπε

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

6 - Etude des condensateurs :

a - Définitions :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

43
b - Exemples de condensateurs, calculs de capacités :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

48
c - Aspect énergétique, exemple du condensateur plan :

Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier

49
Exercice d"application ; force exercée entre les deux armatures d"un condensateur plan :

Soit un condensateur composé de deux armatures planes, de surface S et séparées d"une distance

[PDF] Electrostatique : révisions de Sup Conducteurs en équilibre

Electrostatique : révisions de Sup

Conducteurs en équilibre électrostatique

Electrostatique : révisions de Sup

Conducteurs en équilibre électrostatique

I) Electrostatique ; révisions de sup :

1 - Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :

Exemple en électrostatique :

2 - Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces équipotentielles :

3 - Le théorème de Gauss, équations locales de l"électrostatique :

τdzE

Edivddr

0ερ

ττdEdivdSnEsoitdEdivd

Equations locales :

Remarque sur les opérateurs :

Retour sur l"opérateur " gradient » :

EErotr

En coordonnées cylindriques :

Et en coordonnées sphériques :

4 - Exemples de calculs de champs et de potentiels :

Voir feuilles d"exercices.

5 - Relations de passage pour le champ :

6 - Equation de Poisson :

Rq1 : le Laplacien est encore noté :

2?=Δr

7 - Energie électrostatique :

41)(ερρπ

πεπεr

Pélect4

34)()()(επρ

On en déduit :

τρdMVME

0raMVcsteM-===

Alors :

1544)3(621adrrraE

21περπερετε

II) Dipôle électrostatique :

1 - Définition, exemples :

2 - Calcul du potentiel dans le cadre de l"approximation dipolaire :

3 - Champ électrique du dipôle, topographie :

4 - Action d"un champ électrique extérieur, énergie potentielle d"interaction :

5 - Quadripôle électrostatique : voir exercice

1 - Conducteur en équilibre électrostatique :

2 - Propriétés des conducteurs en équilibre :

0ερ

3 - Théorème de Coulomb :

Sens des lignes de champ :

4 - Pression électrostatique :

On se place dans une modélisation surfacique.

0εσ==+

2εσ

2εσ

2)(εσσ

D"où la pression électrostatique :

2εσ

5 - Exemples de topographie de champs en présence de conducteurs, résolution du

électrostatique V(M) vérifie :

2 et V

3 et la

Réponses : V

3 < 0 ; V

2 > 0, V

1 > 0, V

2 et V

Réponses :

RQOV-==+=041

On remarque bien que Q < 0.

L"allure des lignes de champ est :

Son potentiel vaut :

41)(πεπεπε

6 - Etude des condensateurs :

On note

SQσ=

Calculer la force