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Title (Microsoft Word - 07 Mouvements \340 force centrale doc) Author: Ismael Created Date: 4/7/2006 23:5:57
EXERCICES PROBLEMES PHYSIQUE MPSI PCSI PTSI
Forces centrales conservatives –Interaction newtonienne 69 7 Mécanique en référentiel non galiléen 83 8 Référentiels non galiléens usuels 95 9 Système de deux points matériels
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2 – Dans le cadre relativiste, la force centrale est la résultante • Sde la force de gravitation newtonienne FN =− GM m r2 ˆ r =GMS mu 2r ˆ , terme principal, • et d’une force dite perturbatrice FR =−3 GMS c2 L2 m u4 r ˆ À quelle condition le terme perturbateur est-il, pour une particule de masse non nulle, très
Physique chimie MPSI - prepanouarfileswordpresscom
L’histoire des sciences est riche d’exemples tels que mécanique newtonienne et observation du mouvement des planètes, théorie de l’électromagnétisme et prévision de l’existence des ondes élec-tromagnétiques, modèle standard de la physique des particules et prévision de l’existence du boson de Higgs L’ouvrage
COURS DE MECANIQUE GENERALE - ITC BOOKs
classique du mouvement d'un point matériel dans un champ de force centrale, avec application à la mécanique céleste Le chapitre 8 est consacré à l'étude d'un type particulièrement important de forces non conservatives, les forces dissipatives Ensuite, dans les chapitres 9 et 11 on généralise,
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EXERCICESINCONTOURNABLESPhysiqueexercices incontournablesMPSI | PTSISÉVERINE BAGARDNICOLAS SIMON2e ÉDITIONpartagelivrescpge.blogspot.com
© Dunod, 201611 rue Paul Bert, 92247 Malakoff Cedexwww.dunod.comISBN 978-2-10-0714-7partagelivrescpge.blogspot.com
Table des matièresOutils mathématiques1Leséquationsdi!érentielleslinéaires62Lesnombrescomplexes143Systèmesdecoordonnéesetanalysevectorielle19Signauxphysiques4Oscillateurharmonique385Propagationd'unsignal516Optiquegéométrique787Introductionaumondequantique1368Circuitsélectriquesdansl'ARQS1529Circuitlinéairedupremierordre17410Oscillateursamortis20511Filtragelinéaire226Mécanique12Cinématique24813Basesdeladynamiquenewtonienne26514Mouvementdeparticuleschargées31615Mouvementd'unsolideenrotation342
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com16 Mouvements dans un champ de force centraleconservatif362Thermodynamique17 Description d'un système à l'équilibre et statiquedesfluides37818Bilansénergétiquesetentropiques39319Machinesthermiquesetchangementsd'états424Induction et forces de Laplace20Champmagnétique44221Applicationsdesloisdel'induction459partagelivrescpge.blogspot.com
Partie 1Outils mathématiquespartagelivrescpge.blogspot.comOutils mathématiques1Leséquationsdi!érentielleslinéaires61.1:Équationhomogènedupremierordre61.2:Équationdupremierordreavecsecondmembre71.3:Équationavecsecondmembrefonctiondutemps91.4:Équationdudeuxièmeordre122Lesnombrescomplexes142.1:Moduleetargumentd'unnombrecomplexe142.2:Utilisationdelanotationcomplexe173Systèmesdecoordonnéesetanalysevectorielle193.1:Basepolaire193.2:Basesphérique213.3:Surfaceetvolumeélémentaires223.4:Produitvectoriel273.5:Dérivéespartielles293.6:Opérateurgradient31partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 5Objectifs généraux développésL'utilisation d'outils mathématiques est indispensable en physique en classe de CPGE.Nous en avons rassemblé un certain nombre. Ce chapitre ne doit cependant pas êtreétudié de façon linéaire. Il convient de s'y reporter au fur et à mesure que le besoins'en fera sentir. Ces outils devront être maîtrisés progressivement au cours de l'annéeet acquis en fin d'année.On commence par s'intéresser auxéquations di!érentielles, auxquelles mènentsouvent les lois de la physique. Lorsque la fonction et ses dérivées n'interviennentqu'à la puissance unité, l'équation di!érentielle est ditelinéaire.En physique, on se limitera à des équations di!érentielles des premier et secondordres, avec ou sans second membre. Dans le cas d'équations di!érentielles avec se-cond membre, la méthode de résolution couramment utilisée en physique n'est pas laméthode générale qui peut être exposée en mathématiques, mais une simplificationde cette dernière, adaptée aux cas que nous rencontrons habituellement.Dans le cas d'équations di!érentiellesnon linéairesla méthode présentée n'est plusapplicable. Il faut alors résoudre directement dans son ensemble, parséparation desvariables, l'équation di!érentielle proposée. Cette technique sera utilisée lors de larésolution d'exercices de mécanique.On aborde ensuite lesnombres complexes, qui constituent un outil mathématiquelargement utilisé en physique, notamment enélectrocinétique,enmécanique,enméthode de résolutionde systèmes d'équations di!érentielles couplées...Enfin lessystèmes de coordonnéesseront nécessaires notamment en mécanique,pour repérer la position d'un point de l'espace. L'idée générale consiste à décomposerle vecteur position!!"OMassocié à M en trois vecteurs colinéaires aux trois vecteurs debase du système de coordonnées. Cette base sera, dans tous les cas,orthonorméeet directe,desortequelesopérateursdebasedel'analysevectorielle(produitscalaire,produit vectoriel...) soient facilement utilisables dans ces bases.On va rencontrer deux types de bases; la basefixedu systèmecartésienet les basesmobilesdes systèmescylindriqueetsphérique.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com1CHAPITRELes équations di!érentielles linéairesLors de la décharge d'un condensateur de capacitéCdans une résistanceR,lafonctionu(t) régissant les variations de la tension aux bornes du condensateurs'écrit :dudt+u!=0avec!=RC. Résoudre cette équation di!érentielle en prenant comme condi-tion initialeu(0) =E.Exercice 1.1 : Équation homogène du premier ordre•Analyse de l'énoncéL'équation à résoudre est bien linéaire, car seules la fonctionu(t) et sa dérivée premièredudtà la puissance un interviennent. Par ailleurs, elle est à coe"cients constants. Unetelle équation di!érentielle est appeléeéquation homogèneou encore équation sanssecond membre. Sa résolution est très importante à maîtriser, car elle devient uneétape de résolution lorsqu'on a a!aire à une équation di!érentielle linéaire avec secondmembre.L'équation étant du premier ordre (seule la dérivée première intervient), sa résolutionva faire apparaître une constante d'intégration. Cette constante d'intégration seradéterminée en fin de résolution grâce à une condition, le plus souvent initiale (t= 0).•Méthode de séparation des variablesPour résoudre ce type d'équation homogène, onsépare les variables, c'est-à-direque l'on fait passer d'un côté de l'équation tout ce qui est enuetduet de l'autretout ce qui est entetdt.Onn'aalorsplusqu'àintégrerparblocchacundesdeuxmembres.La séparation des variables dans l'équation di!érentielle proposée mène à :duu=!dt!qui s'intègre en :lnu=!t!+"partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 7où"est la constante d'intégration.Bien qu'on ait écrit une primitive de chacun des membres, il n'est pas nécessaire defaire apparaître une constante d'intégration de chaque côté. On considère en fait que"contient ces deux constantes. On isole enfin la fonctionu(t) afin de déterminer laconstante d'intégration par application de la condition initiale.On passe alors à l'exponentielle :u=e!t!+!=e!#e!t!=µe!t!µ=e!étant la nouvelle forme de la constante d'intégration.On change le nom de la constante d'intégration, car, en toute rigueur, le passageà l'exponentielle a fait apparaître un terme ene!que l'on a préféré noterµpourd'évidentes raisons de simplification des notations.•Détermination de la constante d'intégrationÀ ce stade, on n'a plus qu'à utiliser la valeur fournie pouru,conditioninitialeu(0) =Eprésentement.La condition initiale fournie permet d'écrireu(0) =E=µe!0!=µ.La solution recherchée s'écrit alors :u(t)=Ee!t!Lors de la décharge d'un condensateur de capacitéCàtraversunerésistanceRpar un générateur de force électromotriceE,lafonctionu(t)régissantlesvariations de la tension aux bornes du condensateur s'écrit :dudt+u!=E!avec!=RC. Résoudre cette équation di!érentielle en prenant comme condi-tion initialeu(0) = 0.Exercice 1.2 : Équation du premier ordre avec second membre•Analyse de l'énoncéOn a de nouveau une équation di!érentielle linéaire à coe"cients constants à résoudre.La di!érence par rapport à l'exercice précédent est la présence d'un second membre.La solution d'une telle équation di!érentielle,linéaire,s'écritcommelasommededeux termes :-lasolution générale de l'équation homogèneci-après notéeug(c'est-à-diresans second membre, notée ESSM) associée;-unesolution particulière de l'équation complèteci-après notéeup,cherchéede la même forme que le second membre de l'équation di!érentielle.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com8Chapitre 1Les équations di!érentielles linéairesPar solution générale de l'ESSM, on entend solution faisant apparaître la (ou les)constante(s) d'intégration. Autrement dit, il ne faut pas injecter, à ce niveau, lesconditions (initiales) fournies par l'énoncé. Ces conditions seront utilisées dans l'ex-pression totale, somme de la solution générale et d'une solution particulière.•Détermination d'une solution particulière de l'équation complètePour ce qui est de la solution particulière on rencontrera deux types d'équationsdi!érentielles : celles dont le second membre est une constante (comme c'est le casici) et celles dont le second membre est fonction du temps.Dans le cas d'un second membre constant, on recherche la solution particulièreupsousforme d'une constante satisfaisant à l'équation complète. Il s'agit donc finalement detrouver la valeur que va prendre la fonctionu(t)enrégimepermanent,c'est-à-direquand on aura attendu su"samment longtemps pour que les phénomènes transitoiressoient amortis. Pour cela, on réinjecteup=ctedans l'équation di!érentielle complète(toutes les dérivées s'annulent donc) et on en déduitup.Dans le cas d'un second membre fonction du temps, on vaaprioriutiliser une méthodeque l'on peut qualifier d'identification. On postule la solution particulière comme étantune fonction du temps du même type que le second membre. Ce dernier point, ainsique ses limites d'application, sont détaillées dans l'exercice suivant.La condition de linéarité de l'équation di!érentielle est essentielle; cetteméthode de résolution ne s'applique pas aux équations di!érentiellesnon linéaires.La solution générale de l'ESSMdugdt+ug"=0s'écrit (cfexercice précédent) :ug=µe!t!avecµune constante d'intégration.Pour ce qui est de la solution particulièreup, on obtient, en reportant dansl'équation di!érentielle complète :dupdt+up"=E"=up",soitup=E.Au total, on a donc :u(t)=ug+up=µe!t!+E•Détermination de la constante d'intégrationC'est bien à la somme de la solution générale de l'ESSM et de la solution particulièrede l'équation complète que l'on applique la condition initiale.On détermine enfinµà l'aide de la conditionu(0) = 0.Celamèneà0=E+µe!0!=E+µ,soitµ=!E. Finalement, on écrit :u(t)=E!1!e!t!"partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 9On parle de filiation radioactive lorsqu'un noyau père radioactif A se désintègrepour donner un noyau fils lui-même radioactif menant à C stable. On note res-pectivement"1et"2les constantes radioactives associées aux noyaux A et B.Les nombresN1(t)etN2(t) de noyaux de A et B présents à l'instanttsatisfontaux équations di!érentielles suivantes :dN1dt=!"1N1etdN2dt="1N1!"2N2Déterminer les fonctionsN1(t)etN2(t)ensupposantqu'àt=0N1(0) =N0etN2(0) = 0.Exercice 1.3 : Équation avec second membre fonction du temps•Analyse de l'énoncéOn a ici un système de deux équations di!érentielles linéaires à coe"cients constants àrésoudre. Sa particularité provient du fait que la deuxième fait intervenir la solution dela première. On va donc commencer par résoudre la première, que l'on reconnaît êtreune équation di!érentielle homogène, puis réécrire la deuxième équation di!érentielleen fonction de ce premier résultat.La première équation di!érentielle s'écrit (cfexercices précédents) :dN1dt+"1N1=0La solution de cette équation di!érentielle s'écrit :N1(t)=N0e!!1tLa deuxième équation di!érentielle se réécrit alors :dN2dt+"2N2="1N0e!!1tOn est à présent en présence d'une équation di!érentielle avec second membre fonctiondu temps. En appliquant la méthode exposée à l'exercice précédent, on commence parchercher la solution générale de l'ESSM associée.La solution générale de l'ESSM associée à la deuxième équation di!érentielles'écrit :N2(t)=µe!!2tavecµconstante d'intégration.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com10Chapitre 1Les équations di!érentielles linéaires•Utilisation de la méthode d'identificationLe second membre est du typeRe!!1t.Onvadoncchercherunesolutiondecemêmetype, en notantApar exemple la constante.On va donc injecter une solutionup(t)=Ae!!1tdans l'équation di!érentielle com-plète. On va alors en déduire la valeur de la constanteA. En e!et, l'intérêt de cetteméthode réside dans le fait que la dépendance temporellee!!1tdeup(t)sesimplifielors de cette opération.On cherche une solution particulière de l'équation complète sous la forme :up(t)=Ae!!1t.Onaalorsdupdt=!"1Ae!!1t. En reportant dans l'équationdi!érentielle étudiée,on obtient :!"1Ae!!1t+"2Ae!!1t="1N0e!!1tOn en déduit immédiatement, après simplification pare!!1t:A="1N0"2!"1l'exponentielle dépendant du temps s'étant simplifiée.On peut finalement écrire la solution complète :N2(t)=µe!!2t+"1N0"2!"1e!!1t•Détermination de la constante d'intégrationIl ne reste alors plus qu'à injecter la condition initiale portant sur la fonctionN2afinde déterminer la constante d'intégrationµ.AvecN2(0) = 0, on obtientµ=!!1N0!2!!1,d'oùlasolutionfinale:N2(t)="1N0"2!"1[e!!1t!e!!2t]•Méthode de variation de la constanteIl peut vous paraître un peu miraculeux de voir la dépendance tempo-relle de la solution particulière se simplifier ainsi avec cette méthodepar identification... Le fait est que cette méthode est loin d'être géné-rale; elle va juste le plus souvent donner un résultat avec les équationsdi!érentielles rencontrées en physique. S'il se trouve qu'elle ne permettepas de conclure (par non-simplification de la dépendance temporelle ouencore obtention d'une incohérence), il faut alors se ramener à la mé-thode générale de résolution des équations di!érentielles avec secondmembre (variable) : laméthode de variation de la constante.partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 11En pratique, la méthode d'identification marche toujours pour les seconds membresconstants. Un cas pouvant être rencontré en physique où elle peut être mise en défautest celui où le second membre est de la même forme que la solution générale del'ESSM.Considérons par exemple l'équation di!érentielle sur la fonctionf(t) suivante :dfdt+af=Ae!atavecaetA,constantesnonnulles.La solution générale de l'ESSM s'écritµe!at, le second membre est donc de la mêmeforme qu'elle. Si l'on applique la méthode d'identification, c'est-à-dire si l'on chercheune solution particulière de l'équation complète sous la formeBe!at(Bconstante),on aboutit, en reportant dans l'équation di!érentielle complète à :!aBe!at+aBe!at=Ae!atrelation impossible siA$= 0.La méthode de variation de la constante est alors nécessaire. Cette méthode consisteàrechercherlasolutionparticulièresouslaformeB(t).F(t), oùF(t)estdelamêmeforme que la solution générale de l'ESSM etB(t)unefonction(laconstante"quivarie"...) à déterminer.Dans notre cas, on recherche alors la solution particulière sous la formeB(t)e!at.Enreportant dans l'équation complète on arrive à :dBdte!at!aB(t)e!at+aB(t)e!at=Ae!atsoitdBdt=A, d'oùB(t)=At+cte.Ilestbiensûrinutiled'introduireunenouvelleconstante d'intégration puisqu'on recherchaitunesolution particulière.Gardez toutefois à l'esprit que les cas où, en physique, la méthode d'identificationest mise en défaut restent très rare et qu'il est donc pour la plupart des problèmesinutile de compliquer la résolution mathématique par l'utilisation de la méthode laplus générale.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com12Chapitre 1Les équations di!érentielles linéairesLors du mouvement horizontal d'un point matériel M de massemrelié à unressort de raideurket soumis à une force de frottement fluide de coe"cientf,les variations temporellesx(t) de l'abscisse du point matériel sont régies parl'équation di!érentielle suivante :md2xdt2+fdxdt+kx=0Déterminer l'expression dex(t)ensupposantx(0) =Let#dxdt$t=0=0.Onécrira les di!érentes solutions possibles suivant les valeurs possibles def,maison ne déterminera complètement la solution que pourf=2%mk.Exercice 1.4 : Équation du deuxième ordre•Analyse de l'énoncéIl s'agit ici de résoudre une équation di!érentielle linéaire, à coe"cients constants,homogène et dusecond ordre. Cette dernière caractéristique nous indique que deuxconstantes d'intégration vont apparaître lors de la résolution. Il faut donc toujoursdeux conditions (initiales) pour résoudre totalement ce type de problème. Générale-ment, l'énoncé donnera, ou on pourra en déduire facilement, des conditions initialessur la fonction recherchée d'une part, sa dérivée d'autre part. Mais ceci n'est pas néces-saire, deux conditions portant sur la fonction elle-même peuvent tout à fait permettrede conclure...•Écriture du polynôme caractéristiqueOn admet qu'une telle équation di!érentielle admet une solution de la formex1=Aerx,avecAun réel non nul etraprioricomplexe. Vous pouvez alors, en reportantdans l'équation di!érentielle initiale, en déduire que le nombre complexersatisfait àl'équation du deuxième degré suivante, appeléepolynôme caractéristiqueassociéàl'équationdi!érentielledusecondordre:mr2+fr+k=0La forme des solutions de l'équation di!érentielle dépend alors de la nature des solu-tions du polynôme caractéristique, autrement dit du signe de son discriminant#.•Forme des solutions possibles-si">0, le polynôme caractéristique admet deux racines réellesr1etr2. La solu-tion générale de l'équation di!érentielle s'écrit alors :x(t)=Aer1t+Ber2tavecAetBdeux constantes d'intégration.-si"=0, le polynôme caractéristique admet une racine réelle doubler. La solutiongénérale de l'équation di!érentielle s'écrit alors :x(t)=ert(A+Bt)avecAetBdeux constantes d'intégration.partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 13-si"<0, le polynôme caractéristique admet deux racines complexes conjuguéesr1etr2. La solution générale de l'équation di!érentielle s'écrit alors :x(t)=Aer1t+Ber2tavecAetBdeux constantes d'intégration. En physique, on ne laissera généra-lement pas cette solution sous cette forme. En e!et, les racines conjuguées s'écrivantrespectivementr1=a+jbetr2=a!jb,lasolutionsemetsouslaforme:x(t)=eat%Aejbt+Be!jbt&L'utilisation de la formule d'Euler (ejbt=cos(bt)+jsin(bt)ete!jbt=cos(bt)!jsin(bt)) mène finalement à une solution de la forme :x(t)=eat[(A+B)cos(bt)+j(A!B)sin(bt)]On écrira donc directement en physique la solution sous la forme :x(t)=eat[A"cos(bt)+B"cos(bt)]avecA"=A+BetB"=j(A!B) deux constantes d'intégration complexes.Le discriminant du polynôme caractéristique de l'équation di!érentielle proposées'écrit ici :#=f2!4mk.-sif>2%mk,#>0et les racines réelles du polynôme sontr1,2=!f2m±#!2m.Onaalors:x(t)=e!f2mt'Ae!!2mt+Be!!!2mt(-sif=2%mk,#=0et la racine double du polynôme estr=!f2m.Lasolution générale de l'équation di!érentielle est donc de la forme :x(t)=e!f2mt(A+Bt)On en déduit :dxdt=e!f2mt)!f2m(A+Bt)+B*Les deux conditions initiales données mènent alors àA=LetB=Lf2m.-sif<2%mk,#<0et les racines complexes du polynôme sontr1,2=!f2m±j#!!2m.Onaalors:x(t)=e!f2mt)Acos+%!#2mt,+Bsin+%!#2mt,*
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com2CHAPITRELes nombres complexesOn considère le nombre complexe suivant :H(jx)=a(1!x2)+jboùaetbsont deux réels constants etxune variable deR+.Déterminerlemo-duleHet l'argument#de ce nombre complexe.Exercice 2.1 : Module et argument d'un nombre complexe•Analyse de l'énoncéCet exercice s'intéresse aux di!érentes formes sous lesquelles on peut écrire un nombrecomplexe.•Forme trigonométrique d'un nombre complexeLe nombre complexe présenté est écrit sous la forme d'un rapport de deux nombrescomplexes (le réelapeut en e!et être considéré comme faisant partie de l'ensembledes nombres complexes). Son module est donc égal au rapport des modules des deuxnombres et son argument est égal à la di!érence des arguments du numérateur et dudénominateur.En physique on privilégiera souvent la présentation sousforme exponentielle(ondit encoretrigonométrique)Hej#par rapport à laforme algébriqueRe(H)+jIm(H). En e!et, passer un rapport de nombres complexes sous forme algébrique(par multiplication des numérateur et dénominateur par le complexe conjugué dudénominateur) alourdit inutilement les expressions.•Détermination du modulePour déterminer le module deHil faut distinguer les casapositif ou négatif. Ene!et, le module d'un nombre complexe est une grandeur réelle et positive. Le moduledu numérateur deHdépend donc du signe dea.Il ne dépend par contre pas de celui deb.partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 15-sia>0,H=a-(1!x2)2+b2-sia<0H=!a-(1!x2)2+b2•Détermination de l'argumentL'argument du numérateur, réel, dépend lui aussi du signe dea. En e!et, l'argumentd'un nombre réel positif est nul, tandis que celui d'un réel négatif est égal à$.Pour ce qui est du dénominateur, deux cas sont également à distinguer suivant cettefois le signe de sa partie réelle. En e!et, pour un nombre complexe écrit sous la former+jk, d'argument noté#, on a tan#=kr.Parcontre,pourpasseràlafonctionréciproque et donc écrire#= arctan+kr,il faut que l'angle recherché#appartienne à l'intervalle [!$2;$2], domaine sur lequel lafonction tangente est bijective. En pratique, on ne peut utiliser la fonction arctangenteque si la partie réelle du nombre complexe écrit sous forme algébrique est positive.Si ce n'est pas le cas (r<0), on va devoir se ramener au cas d'un nombre complexeà partie réelle positive par la manipulation suivante :r+jk=(!1)[!r!jk]L'argument der+jkpeut donc s'écrire :arg(r+jk)=arg(!1) + arg(!r!jk)Or le nombre complexe!r!jkest à partie réelle positive. Son argument s'exprimedonc simplement arctan!!k!r"= arctan#kr$, et l'argument de!1estégalà$.Fina-lement, l'argument du nombre complexer+jkavecr<0 est donc, sir<0:$+ arctan+kr,Une autre méthode consiste à ne pas passer par la fonction arctangente,mais à déterminer l'argumentviala valeur de sa tangente et du signede son cosinus ou de son sinus. En e!et, la tangente nous donne l'angle
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com16Chapitre 2Les nombres complexesmodulo$. La connaissance du signe du sinus et du cosinus nous donnealors un intervalle de largeur$2contenant l'angle.Pour le nombre complexe ici considéré, nous devons donc distinguer plusieurscas :-sia>0etx<1:#=!arctanb1!x2-sia>0etx>1:#=!$!arctanb1!x2-sia<0etx<1:#=$!arctanb1!x2-sia<0etx>1:#=!arctanb1!x2partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 17On considère l'équation di!érentielle sur la fonction complexex(t) suivante :d2xdt2+%0Qdxdt+%20x=F0mej%toùm,Q,%0etF0sont des constantes positives.Déterminer complètement une solution particulière de cette équation cherchéesous la formex(t)=X0ej#ej%t.Exercice 2.2 : Utilisation de la notation complexe•Analyse de l'énoncéOn demande ici de déterminer une solution particulière d'une équation di!érentielleportant sur une fonction complexex(t). La forme de la solution étant proposée parl'énoncé, il s'agit en fait de déterminer lemoduleX0et l'argument#du nombrecomplexe solution particulière de l'équation di!érentielle.•Dérivations en notation complexeL'intérêt de rechercher une solution complexe d'une équation di!érentielle sous laforme proposée est la simplification des opérations de dérivation (et d'intégration).Dériver revient à multiplier la fonction complexe parj%.Dériverdeuxfoisrevientensuite à multiplier de nouveau parj%, soit au final par!%2. Notons au passagequ'intégrer par rapport au temps reviendrait à une multiplication par1j%.Pour une solution écritex(t)=X0ej#ej%t,ona:dxdt=j%X0ej#ej%t=j%x(t)d2xdt2=!%2xSi l'énoncé demande la recherche d'une solution dont la dépendance autemps est ene!j%t, les opérateurs dérivation première et intégrationseront à présent des multiplications respectivement par!j%et!1j%;l'opérateur dérivée seconde est lui bien sûr inchangé.•Transformation de l'équation di!érentielle en équation algébriqueEn reportant la fonctionx(t) et ses dérivées dans l'équation di!érentielle proposée,on aboutit finalement à une équation algébrique dans laquelle le terme enej%tsefactorise dans tous les termes. On peut alors le simplifier. Par ailleurs, les opérationsde dérivation faisant également apparaître l'amplitude complexeX0ej#en facteur detous les termes du membre de gauche, on arrive ainsi à une équation algébrique encette amplitude complexe.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com18Chapitre 2Les nombres complexesLe remplacement dans l'équation di!érentielle mène à :!%2X0ej#ej%t+j%%0QX0ej#ej%t+%20X0ej#ej%t=F0mej%tSoit, après factorisation parX0ej#et division :X0ej#=F0m(%20!%2)+j%%0Q•Identification du module et de l'argument de l'amplitude complexe de lasolutionOn s'est alors ramené au problème de l'exercice précédent.Le module de l'amplitude complexe s'écrit :X0=F0m.(%20!%2)2+!%%0Q"2et son argument :#=/001002!arctan'%%0Q(%20!%2)(si%<%0!$!arctan'%%0Q(%20!%2)(si%>%0partagelivrescpge.blogspot.com
3CHAPITRESystèmes de coordonnées et analysevectorielleDéterminer les expressions des projections des vecteurs unitaires des coordon-nées polaires en fonction des vecteurs de la base cartésienne. En déduire lesdérivées temporelles des vecteurs de la base polaire.Exercice 3.1 : Base polaire•Analyse de l'énoncéLa base polaire est la restriction à deux dimensions de la base cylindrique (encore ap-pelée cylindro-polaire). L'intérêt de cette base est qu'elle accompagne le point matérielMdont on cherche à repérer la position, au cours de son mouvement. La contrepar-tie est que cette base de vecteurs unitaires (&ur;&u&) n'est pas fixe; autrement dit lesdérivées temporelles des vecteurs de la base polaire ne sont pas nulles, contrairementà celles de la base cartésienne fixe!&i;&j".Commençons par représenter les deux bases sur un même schéma :
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com20Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielleLes coordonnées cartésiennes correspondent aux deux longueurs (x;y)repérant les projections du vecteur position!!"OMsur les axes dirigésrespectivement par&iet&j. Les coordonnées polaires (r;')correspondentrespectivement à la norme du vecteur position!!"OMet à l'angle orientéque fait ce vecteur avec le vecteur fixe&ide la base cartésienne.•Projection des vecteurs de la base polaireOn projette les vecteurs mobiles de la base polaire sur les vecteurs fixes de la basecartésienne en e!ectuant les produits scalaires des premiers avec les seconds :/12&ur=(&ur·&i)&i+(&ur·&j)&j&u&=(&u&·&i)&i+(&u&·&j)&jLa projection des vecteurs de la base polaire sur la base cartésienne donne :/12&ur= (cos')&i+(sin')&j&u&=(!sin')&i+ (cos')&jDérivation des vecteurs de la base polaireLes vecteurs mobiles&uret&u&sont des fonctions de l'angle', lui-même fonction dutempst. On va obtenir leurs dérivées temporelles en leur appliquant la formule dedérivation des fonctions composées et en utilisant leurs projections respectives sur labase cartésienne fixe. Pour retrouver la formule de dérivation d'une fonction composée,on peut utiliser l'écriture suivante :/12d'urdt=d'urd&·d&dtd'u"dt=d'u"d&·d&dtFormellement, tout se passe comme si led'se simplifiait.On a tout d'abord :/12d'urd&=(!sin')&i+ (cos')&j=&u&d'u"d&=(!cos')&i+(!sin')&j=!&urpartagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 21Puis, en utilisant la notation˙f=dfdt:/12d'urdt=˙'&u&d'u"dt=!˙'&urDéterminer les expressions des projections des vecteurs unitaires des coordon-nées sphériques en fonction des vecteurs de la base cartésienne.Exercice 3.2 : Base sphérique•Analyse de l'énoncéOn commence par représenter sur un même schéma la base cartésienne tridimension-nelle fixe et la base mobile sphérique. On rappelle au passage que les coordonnéessphériques sont constituées par la donnée du triplet (r,',#), dans lequelrest un réelpositif,'peut prendre toutes les valeurs entre 0 et$et#toutes les valeurs entre 0et 2$.Les notationsret'n'ont donc pas ici la même signification qu'encoordonnées polaires.Commençons par représenter les deux bases sur un même schéma :
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com22Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielle•Projection du vecteur&urLa projection du vecteur&ur, unitaire, sur la base cartésienne s'écrit, d'après l'exerciceprécédent :&ur=(&ur·&i)&i+(&ur·&j)&j+(&ur·&k)&kLe vecteur&urse projette en :&ur=(sin'cos#)&i+(sin'sin#)&j+ cos'&k•Projection du vecteur&u&On pourrait projeter le vecteur&u&sur la base cartésienne de la même manière quele vecteur&ur. Une manière plus simple, et plus élégante, d'obtenir sa projection estde remarquer que l'on passe de&urà&u&en transformant l'angle'en'+$2,l'angle#étant inchangé.Le vecteur&u&s'obtient à partir de&urpar une rotation de$2de l'angle'à#inchangé. On obtient :&u&=%sin('+$2)cos#&&i+%sin('+$2)sin#&&j+cos('+$2)&k= (cos'cos#)&i+ (cos'sin#)&j+(!sin')&k•Projection du vecteur&u#Là encore, on peut soit projeter directement&u#sur la base des cartésiennes, soitremarquer que ce vecteur est totalement similaire au vecteur&u&des polaires (ennotant bien sûr ici l'angle#à la place de').Le vecteur&u#des coordonnées sphériques est l'analogue du vecteur orthoradialdes polaires (en remplaçant l'angle'par l'angle#):&u#=(!sin#)&i+ (cos#)&jRetrouver les expressions des surfaces et volumes élémentaires en coordonnéescylindro-polaires, puis sphériques. En déduire les expressions du volume d'uncylindre de rayonRet de hauteurh, de la surface d'une sphère de rayonRetdu volume d'une sphère de rayonR.Exercice 3.3 : Surface et volume élémentairespartagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 23•Analyse de l'énoncéL'expression, ainsi que la représentation graphique des surface et volume élémentairesdépend du système de coordonnées considéré. Pour représenter graphiquement unvo-lume élémentairedans un système de coordonnées, on augmente chaque coordonnéed'une fraction infinitésimale.Ainsi, en coordonnées cartésiennes, un point M étant repéré par ses coordonnées(x,y,z), le volume élémentaire est constitué par la zone des points de l'espace com-prise :-entrexetx+dx;-entreyety+dy;-entrezetz+dz.On obtient ainsi un volume élémentaire en forme de parallélipipède de côtésdx,dyetdz.Pour définir unesurface élémentaire,ilfautchoisirdefixerl'unedestroiscoor-données. L'énoncé (ou son analyse) indique généralement la coordonnée à fixer. Onassocie le plus souvent à la surface élémentaire ainsi définie unvecteur surface!"dSdont les caractéristiques sont les suivantes :-direction: celle du vecteur unitaire de la coordonnée que l'on a fixé;-sens:définiparuneorientationducontourdelasurfacesielleestouverte,sortantde la surface si elle est fermée;-norme: la valeur de la surface élémentairedS.Rappelez-vous que la coordonnée radialerdes cylindriques ne repré-sente pas la même longueur que la coordonnée radialerdes sphériques.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com24Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielleEn coordonnées cylindriques, le volume élémentaire correspond à l'ensemble despoints de l'espace de coordonnées comprises entreretr+dr,'et'+d'etzetz+dz.Graphiquement,levolumeélémentaireàl'allured'une"portiondecamembert".En fixant la coordonnéer, on obtient la surface élémentaire, représentée en grisésur le schéma précédent. Le vecteur surface associé est également représenté.Pour ce qui est des coordonnées sphériques le volume élémentaire est constituéde l'ensemble des points de l'espace de coordonnées comprises entreretr+dr,'et'+d'et#et#+d#. L'allure correspondante de ce volume, ainsi que lasurface élémentaire obtenue en fixantrsont représentées sur le schéma suivant.•Expression du déplacement élémentaireUne manière assez simple d'exprimer le volume élémentaire dans un système de co-ordonnées est d'exprimer levecteur déplacement élémentaired'un point M dansce système de coordonnées. De plus, le vecteur élémentaire est un vecteur qui serafort utile dans de nombreux exercices en physique, il faut donc connaître et savoirretrouver son expression dans tous les systèmes de coordonnées.On définit le vecteur déplacement élémentaire du point M dans un système donné decoordonnées comme étant le vecteur :d!!"OM(=!"dl)=!!!"MM"=!!!"OM"!!!"OMoù M' est un point infiniment voisin de M, ses coordonnées étant chacune accrue d'unequantité infinitésimale par rapport à celles de M.Par exemple, en coordonnées cartésiennes, si M admet pour coordonnées (x,y,z), M'admet alors pour coordonnées (x+dx,y+dy,z+dz). On a alors immédiatement :d!!"OM=(dx)&i+(dy)&j+(dz)&kpartagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 25L'exemple des coordonnées cartésiennes est très simple, car les troiscoordonnées, dans ce système, sont des longueurs tout comme les co-ordonnées du vecteur déplacement élémentaire. Pour les systèmes decoordonnées cylindrique et sphérique, dans lesquels certaines coordon-nées sont des angles, il va falloir évaluer les variations infinitésimalesde longueur associées aux variations infinitésimales d'angle. Rappelonsau passage que l'arc de cercle de rayonret d'angle'a pour longueurr'.Le dernier point à bien noter pour exprimer le vecteur déplacement élémentaire estl'indépendance des variations infinitésimales suivant chaque coordonnée. En e!et, onva successivement, et en repartant à chaque fois de M, évaluer la variation de distancesuivant l'une des trois directions de base résultant de la variation de la coordonnéecorrespondante. On ne cumule pas les e!ets. Par exemple, après avoir fait varierxdedxet déduit que la variation de longueur suivant&ivalaitdx, on repart de M, doncdeyque l'on fait varier dedy...Vecteur déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques :-unaccroissementdelacoordonnéerdedrmène à une contribution àd!!"OMsuivant&urdedr;-unaccroissementdelacoordonnée'ded'mène à une contribution àd!!"OMsuivant&u&derd';-unaccroissementdelacoordonnéezdedzmène à une contribution àd!!"OMsuivant&kdedz.On peut donc écrire, en coordonnées cylindriques :d!!"OM=(dr)&ur+(rd')&u&+(dz)&kVecteur déplacement élémentaire en coordonnées sphériques :-unaccroissementdelacoordonnéerdedrmène à une contribution àd!!"OMsuivant&urdedr;-unaccroissementdelacoordonnée'ded'mène à une contribution àd!!"OMsuivant&u&derd';-unaccroissementdelacoordonnée#ded#mène à une contribution àd!!"OMsuivant&u#dersin'd#.On peut donc écrire, en coordonnées sphériques :d!!"OM=(dr)&ur+(rd')&u&+(rsin'd#)&u#•Expression du volume élémentaireLe volume élémentaire s'obtient très facilement à partir de l'expression du vecteurdéplacement élémentaire : il su"t de multiplier entre elles les trois coordonnées de cevecteur. Chacune de ces coordonnées étant homogène à une longueur, le résultat estbien homogène à un volume.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com26Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielleDans le cas des coordonnées cartésiennes, on obtient ainsi :dV=dxdydzOn déduit des expressions des vecteurs déplacement élémentaires dans les dif-férents systèmes de coordonnées les volumes élémentaires correspondants :- en coordonnées cylindriques,dV=rdrd'dz- en coordonnées sphériques,dV=r2sin'drd'd#•Expression de la surface élémentairePour déterminer l'expression de la surface élémentaire, on fixe l'une des coordonnées,ce qui a pour e!et d'annuler la di!érentielle de cette coordonnée. En tenant comptede ceci dans l'expression du vecteur déplacement élémentaire, il ne reste alors plusque deux composantes à ce vecteur. On obtient l'expression de la surface élémentaireen multipliant l'une par l'autre.Supposons la coordonnée radiale (tant en cylindriques qu'en sphériques) fixée,l'expression de la surface élémentaire s'exprime alors par :-dS=rd'dzen coordonnées cylindriques;-dS=r2sin'd'd#en coordonnées sphériques.•Utilisation des surface et volume élémentairesEn intégrant les expressions des surface et volume élémentaires sur des domainesde variation des variables correspondant à un élément géométrique, on peut ainsidémontrer les formules générales donnant les surface et volume de ces éléments enfonction de leurs caractéristiques.Il faut choisir le système de coordonnées le mieux adapté à la formegéométrique. Pour la surface d'un carré, le volume d'un parallélipipède,on prendra les coordonnées cartésiennes, alors que pour le volume d'unesphère ce sont bien sûr les coordonnées sphériques qu'il faut utiliser...Ceci nécessite l'écriture, puis le calcul d'intégrales double et triple, respectivementpour une surface, un volume. De tels calculs ne sont pas compliqués, car on peutséparer les variables et donc ramener une intégrale double à un produit de deuxintégrales simples (et de même le calcul d'une intégrale triple à un triple produitd'intégrales simples).partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 27Par exemple, pour déterminer le volume d'un cube décrit par une variation de l'abs-cisse entre 0 eta,del'ordonnéeentre0etaet de la cote entre 0 etaégalement, ondoit calculer :3ax=03ay=03az=0dxdydz=3a0dx4567a3a0dy4567a3a0dz4567a=a3Volume d'un cylindre de rayonRet de hauteurh:On intègre le volume élémentaire en coordonnées cylindriques, pourrvariantde 0 àR,'sur l'ensemble de son domaine de définition (de 0 à2$)etzde 0àh:V=3Rr=032$&=03hz=0rdrd'dz=3R0rdr32$0d'3h0dz=R222$h=$R2hSurface d'une sphère de rayonR:On intègre la surface élémentaire en coordonnées sphériques, pourrfixée àR,'sur l'ensemble de son domaine de définition (de 0 à$)et#sur l'ensemble deson domaine de définition (de 0 à2$):S=3$&=032$#=0R2sin'd'd#=R23$0sin'd'32$0d#=4$R2Volume d'une sphère de rayonR:On intègre le volume élémentaire en coordonnées sphériques, pourrvariantde 0 àR,'sur l'ensemble de son domaine de définition (de 0 à$)et#surl'ensemble de son domaine de définition (de 0 à2$):V=3Rr=03$&=032$#=0r2drsin'd'd#=3R0r2dr3$0sin'd'32$0d#=4$R33On appelle moment cinétique d'un point matériel M (de massem)parrapportau point O (origine du référentiel d'étude) le vecteur&(défini comme le produitvectoriel du vecteur position!!"OMde M et de son vecteur quantité de mouve-ment&p=m&v,avec&vle vecteur vitesse de M. En supposant que le point M aun mouvement plan, repéré par la donnée de ses coordonnées polaires, détermi-ner le vecteur moment cinétique de M par rapport à O.Exercice 3.4 : Produit vectoriel•Analyse de l'énoncéL'opérateurproduit vectoriels'applique à deux vecteurs qu'il transforme en untroisième perpendiculaire aux deux premiers. L'usage de cet opérateur nécessite une
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com28Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectoriellebase orthonormée directe. La première chose à faire lorsqu'on a à calculer leproduit vectoriel de deux vecteurs est donc de choisir une telle base. Le plus souvent,comme c'est le cas ici, l'énoncé indiquera la base à utiliser.L'énoncé propose ici d'utiliser la base polaire. En fait, c'est la basecylindrique (dont dérive la base polaire) que nous allons utiliser. Ene!et, la méthode de calcul du produit vectoriel que nous allons voirnécessite d'utiliser des vecteurs deR3.•Détermination des coordonnées des vecteurs à multiplier vectoriellementUne fois la base choisie, il faut exprimer les vecteurs à multiplier vectoriellement danscette base. Pour cela, on utilise les projections, ainsi qu'éventuellement les dérivationsvectorielles des vecteurs de base (pour une base mobile).Parfois, sur les deux vecteurs à multiplier vectoriellement, l'un s'expri-mera facilement dans une base (cylindrique par exemple) tandis quel'autre sera plus aisément exprimable dans une autre (cartésienne parexemple). Il n'est pas possible de les exprimer dans deux bases dif-férentes pour les multiplier ensuite vectoriellement. Une fois le choixd'une base e!ectué, on doit donc s'y tenir.Travaillons dans la base cylindrique. Le vecteur position s'écrit :!!"OM=r&urLe vecteur quantité de mouvement,&p=m&vs'écrit :&p=m%˙r&ur+r˙'&u&&•Calcul du produit vectorielOn peut s'y prendre de deux manières pour calculer le produit vectoriel de deuxvecteurs.Une première méthode consiste à utiliser lespropriétés principalesdu produitvectoriel :- antisymétrie :&u&&v=!&v&&u;- associativité des scalaires : (a&u)&(b&v)=ab&u&&v;-distributivitéparrapportàl'addition:&u&(&v+&w)=(&u&&v)+(&u&&w);-(&u&&v)=&0sietseulementsi&uet&vsont colinéaires entre eux;- pour toute base orthonormée directe, notée (&i,&j,&k),&i&&j=&k,&j&&k=&iet&k&&i=&j.La seconde méthode consiste à utiliser laformule généraledu produit vectorielde deux vecteurs&Aet&Bde coordonnées respectives (x1,y1,z1)et(x2,y2,z2). Cetteformule se démontre d'ailleurs à l'aide des propriétés précédentes.partagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 2989x1y1z1:;&89x2y2z2:;=89y1z2!z1y2z1x2!x1z2x1y2!y1x2:;Un moyen mnémotechnique pour retenir cette formule est l'utilisation des calculs dedéterminants (2,2) (en prenant garde au signe "!"dudeuxièmeterme):y1y2z1z2&i!x1x2z1z2&j+x1x2y1y2&kOn a écrit les expressions dans le cadre de la base cartésienne. La seulecondition dont on avait besoin est le caractère orthonormé direct de labase. On peut donc sans problème appliquer cette méthode aux basesmobiles cylindriques et sphériques.Multiplions vectoriellement les vecteurs position et quantité de mouvement :89r00:;&89m˙rmr˙'0:;=8900mr2˙':;Vu la simplicité des vecteurs mis en jeu, on aurait pu écrire directement :!!"OM&&p=r&ur&%m#˙r&ur+r˙'&u&$&=mr2˙'&kUn gaz parfait voit ses paramètres d'étatP(pression),V(volume) etT(tem-pérature), régis par la relation suivante, appelée équation d'état du gaz par-fait :PV=nRTCalculer, à l'aide de cette relation, les dérivées partielles suivantes :+)V)P,T;+)P)T,V;+)T)V,PMontrer que le produit de ces trois dérivées partielles est égal à -1.Exercice 3.5 : Dérivées partielles
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com30Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielle•Analyse de l'énoncéSans donner réellement de fonctions à deux variables, l'énoncé demande de calculer desdérivées partielles. Il va donc falloir, dans un premier temps,mettre en évidence lesexpressionsdes fonctions à deux variables concernées, puis, dans un second temps,calculer e!ectivement les dérivées partielles demandées. Nous allons rappeler,par la suite, à cet e!et comment calculer unedérivée partielle.L'équation d'état fournie nous permet d'expliciter trois fonctions à deux va-riables :V(T,P)=nRTP;P(T,V)=nRTV;T(V,P)=PVnR•Calcul des dérivées partiellesRaisonnons par exemple sur unefonction à deux variables,f(x,y), les résultatsse généralisant aisément si la fonction comporte plus de variables. Pour calculer ladérivée partielle def(x,y) par rapport à la variablex, notée!(f(x"y, on va dériver,comme on en a l'habitudef(x,y)parrapportàxmais en faisant comme si la variableyétait une simple constante. La/les variable(s) à considérer comme constante(s) pourla dérivée partielle est est/sont celle(s) indiquée(s) en indice de la dérivée partielle.Soyez rigoureux sur les notations; vous allez, en CPGE, rencontrerplusieurs notations proches en écriture, mais ayant des significationsfort di!érentes :- le symbole)indique, comme on vient de le voir, que l'on calcule unedérivéepartielle.- la lettredindique que l'on est en présence de ladi!érentielle d'une fonction,fonction que l'on qualifiera de fonction d'état en thermodynamique, et dont laparticularité sera que sa variation, c'est-à-dire l'intégrale dedfentre deux états,ne dépendra que des deux états en question et non du chemin suivi pour passerde l'un à l'autre.- le symbole*indique une quantité élémentaire, et non la variation d'une fonc-tion d'état. Par exemple, on écrit en thermodynamique*Qcomme étant untransfert thermique élémentaire. En intégrant cette quantité élémentaire surun chemin donné faisant passer le système d'un état à un autre, on obtient letransfert thermique totalQqui, lui, dépend du chemin suivi.Calculons les dérivées partielles demandées :+)V)P,T=!nRTP2+)P)T,V=nRV+)T)V,P=PnRpartagelivrescpge.blogspot.com
Outils mathématiques 31On a alors :+)V)P,T#+)P)T,V#+)T)V,P=!nRTP2#nRV#PnR=!nRTPVOr, d'après l'équation d'état du gaz parfait, on sait quePV=nRT, d'où :+)V)P,T#+)P)T,V#+)T)V,P=!1On retrouve bien le résultat annoncé.L'opérateur gradient associe à une fonction scalaire de trois variables réellesfun vecteur, noté!!"grad(f), tel que :df=!!"grad(f)·d!!"OM.Déterminerlescompo-santes du vecteur gradient d'une fonctionf(r,',z) (coordonnées cylindriques)puisf(r,',#) (coordonnées sphériques).Exercice 3.6 : Opérateur gradient•Analyse de l'énoncéCet exercice introduit un outil que vous utiliserez beaucoup en CPGE, en deuxièmeannée notamment. Il fait partie d'une classe d'objets mathématiques appelésopéra-teurs vectoriels.•Expression de la di!érentielle d'une fonctionLadi!érentielled'une fonction correspond à la quantité dont s'accroît la fonctionflorsque sa ou (ses) variables s'accroî(ssen)t d'une fraction infinitésimale.- pour une fonction à une variable, on retrouve en fait simplement la notation desphysiciens pour la dérivée :df=f"(x)dx;- pour une fonction à plusieurs variables, on généralise l'expression précédente ensommant les contributions respectives de chacune des coordonnées : si on considèref(x,y), on adf=!(f(x"dx+!(f(y"dy.Ces définitions s'appliquent dans les autres systèmes de coordonnées à deux dimen-sions (polaire notamment), et s'extrapolent de la même manière dans les systèmes àtrois variables (cartésiennes, cylindriques et sphériques).La fonction en coordonnées cylindriques a pour di!érentielle :df=+)f)r,dr++)f)',d'++)f)z,dzLa fonction en coordonnées sphériques a pour di!érentielle :df=+)f)r,dr++)f)',d'++)f)#,d#
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com32Chapitre 3Systèmes de coordonnées et analyse vectorielle•Produit scalaireLeproduit scalairede deux vecteurs est une opération qui associe à ces deux vec-teurs!"A(x1,y1,z1)et!"B(x2,y2,z2)unscalaire,noté!"A·!"B, égal àx1x2+y1y2+z1z2.On appelle cette expression l'expression analytiquedu produit scalaire.On peut aussi donner uneinterprétation géométriqueau produit scalaire : c'estle produit de la norme des vecteurs avec le cosinus de l'angle qu'ils forment.On veut ici former le produit scalaire du vecteur!!"grad(f)par le vecteur dépla-cement élémentaire. Ce dernier vecteur a été exprimé dans l'exercice 3.3., onreprend directement ses coordonnées d'après cet exercice.Pour les coordonnées cylindriques, notons (a,b,c)lescoordonnéesinconnuesduvecteur!!"grad(f), on a alors :!!"grad(f)·d!!"OM=adr+brd'+cdzPour les coordonnées sphériques, notons (l,m,n)lescoordonnéesinconnuesduvecteur!!"grad(f), on a alors :!!"grad(f)·d!!"OM=ldr+mrd'+nsin'd#•Méthode d'identificationOn a deux expressions di!érentes d'une même quantité fonction de trois paramètresindépendants (dr,d',dz)pourlescylindriqueset(dr,d',d#) pour les sphériques.Ces deux expressions devant être égales quelles que soient les valeurs de ces troisparamètres, on n'a plus qu'à égaler deux à deux les valeurs des arguments devant cesparamètres.En comparant les deux expressions dedfainsi écrites, pour chacun des deux sys-tèmes de coordonnées considéré, on obtient ainsi les expressions des opérateursgradient dans chacun de ces systèmes :-en coordonnées cylindriques!!"grad(f)=8<<<<9(f(r1r(f(&(f(z:====;-en coordonnées sphériques!!"grad(f)=8<<<<9(f(r1r(f(&1rsin&(f(#:====;partagelivrescpge.blogspot.com
Partie 2Signaux physiquespartagelivrescpge.blogspot.comSignaux physiques4Oscillateurharmonique384.1:Systèmemasse-ressort384.2:Équipartitiondel'énergie434.3:Oscillateursverticaux454.4:Oscillateurtransplanétaire485Propagationd'unsignal515.1:AnalysedeFourier515.2:Représentationsspatialeettemporelled'uneonde555.3:Ondesmécaniquesprogressivessinusoïdales605.4:Interférencesàdeuxondes635.5:Ondesstationnaires685.6:Di!raction745.7:LoideMalus766Optiquegéométrique786.1:Sourcesdelumière786.2:Indicederéfractiond'unmilieu806.3:Réflexiondelalumière816.4:Mesuredel'indiced'unliquide836.5:Lameàfacesparallèles856.6:Mirageoptique896.7:Prismeenlumièremonochromatique926.8:Prismeenlumièreblanche1006.9:Imaged'unobjetdepositionconnueparunelentille1056.10:Constructionàgrandissementdonné1116.11:Doublets1146.12:Focométrie(I),méthodedeBesseletdeSilbermann1196.13:Focométrie(II),méthoded'autocollimation1226.14:L'oeiletsesdéfauts1266.15:Laloupe133partagelivrescpge.blogspot.com
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.comSignaux physiques 37Objectifs généraux développésCette partie, de taille conséquente, porte sur l'étude des signaux physiques et plusparticulièrement celle des signaux sinusoïdaux dont le rôle dans l'étude des systèmeslinéaires est majeur. Elle s'appuie sur huit blocs faisant intervenir des systèmes issusde domaines variés de la physique et vise à développer les compétences généralessuivantes :- comprendre le rôle joué par une équation di!érentielle dans l'étude de l'évolutiontemporelle d'un système physique;- comprendre la représentation des solutions dans un portrait de phase;- relier linéarité et superposition;- exploiter la décomposition sinusoïdale d'un signal pour prévoir son évolution àtravers un système linéaire;- interpréter physiquement et savoir reconnaître la forme analytique d'un signal quise propage;- relier conditions aux limites et quantification, conditions aux limites et décomposi-tion en ondes stationnaires;- dégager les similitudes de comportement entre systèmes analogues par une miseen équation pertinente utilisant variables réduites et paramètres caractéristiquesadimensionnés;- réaliser des constructions graphiques claires et précises pour appuyer un raisonne-ment ou un calcul.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com4CHAPITREOscillateur harmoniqueOn considère un oscillateur constitué d'une masselotte (assimilée à un pointmatériel M, de massem)reliéeàunressortderaideurket de longueur à videl0. Cette masselotte ne peut que se déplacer sans frottement sur un supporthorizontal. L'origine O de l'axe horizontalx"xsera prise au point d'équilibredu système. À l'instant initial, on donne au système la longueurl(0) =Lpuison l'abandonne.Établir l'équation di!érentielle régissant les variations dex(t), puis la résoudre.En déduire l'expression del(t). Contrôler la cohérence de la solution obtenueavec la conservation de l'énergie mécanique.Exercice 4.1 : Système masse-ressort•Analyse de l'énoncéCet exercice étudie un système se comportant comme unoscillateur harmonique.Cette étude se fera systématiquement en deux étapes :-lapremièreestconstituéeparl'étude de l'équilibredu système. En e!et, il estjudicieux de placer l'origine spatiale de l'axe selon lequel se fait le mouvement àla position d'équilibre afin d'obtenir directement l'équation di!érentielle du mou-vement sous une forme particulièrement simple.- la seconde est constituée par l'établissement de l'équation di!érentielle en questiongrâce, par exemple, à la deuxième loi de Newton.partagelivrescpge.blogspot.com
Signaux physiques 39Comme il s'agit d'un exercice de mécanique, on n'omettra pas non plus de commencerpar définir clairement le système et le référentiel (galiléen) d'étude.•Détermination de la position d'équilibre du systèmeLa condition d'équilibre d'un point matériel s'obtient en écrivant que la somme desforces appliquées au point matériel est nulle. Il faut donc commencer par faire uneliste exhaustive des forces qui s'appliquent sur ce point. Dans un exercice mettant enjeu un ressort, le point délicat est l'écriture de laforce de rappel du ressort.Laforce de rappel d'un ressorts'écrittoujoursvectoriellement :!"F=!k[l(t)!l0]&uavecl(t) la longueur du ressort à l'instant considéré,l0sa longueur à vide,ksaconstante de raideur et&uun vecteur unitairecolinéaire au ressort et dirigé dupoint d'attache du ressort vers son extrémité libre. Dans ces conditions, quele ressort soit utilisé en élongation ou bien en compression, l'expression de sa force derappel reste la même. Il y a donc bien toujours un signe "!" comme la dénominationde "force de rappel" le suggère.Notez au passage qu'un exercice mettant en jeu une masse accrochéeentre deux ressorts le long d'un axe ne permet pas d'utiliser directe-ment cette formulation, car le vecteur unitaire de l'axe en question neconviendra que pour l'un des deux ressorts...On étudie le système ponctuel constitué par la masselotte par rapport au réfé-rentiel galiléen du laboratoire.Ce système est soumis à trois forces :- le poids!"P,verticaletdirigéverslebas;-laréactionnormaledusupport!"RN, verticale et dirigée vers le haut;- la force de rappel du ressort!"F, dirigée selon l'axe du ressort c'est-à-direhorizontalement.La condition d'équilibre s'écrit vectoriellement :!"P+!"RN+!"F=!"0avec dans notre cas :!"F=!k[l(t)!l0]&uxpuisque&uxest un vecteur unitaire colinéaire au ressort et dirigé du point d'at-tache du ressort vers son extrémité libre.Les deux premières forces sont dirigées verticalement, l'une vers le haut et l'autrevers la bas, et se compensent donc entre elles.!"Fest seule selon l'horizontale,elle doit donc s'annuler à la position d'équilibre.
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com40Chapitre 4Oscillateur harmoniqueEn notantleqla longueur du ressort à la position d'équilibre, il vient alors :!k(leq!l0)=0soit :leq=l0On peut ainsi placer judicieusement l'origine de l'axe(x"x)àladistancel0dupoint d'attache.•Établissement de l'équation di!érentielle d'évolution du systèmeL'équation di!érentielle d'évolution du système est une relation entre la fonctionpositionx(t) du système et ses dérivées. Sa nature impose la forme mathématiquedex(t) que l'on obtient par résolution de l'équation di!érentielle. En mécanique, ellerésulte directement de l'application de la deuxième loi de Newton au système. Dansle cas d'unoscillateur harmoniqueelle se mettra systématiquement sous la forme :¨x(t)+%20x(t)=0à condition d'avoir placé l'origine de l'axe selon lequel se fait le mouvement à laposition d'équilibre du système. Dans le cas contraire, l'équation di!érentielle restede la même forme, mais avec un second membre non nul.Appliquons la deuxième loi de Newton au système, en la projetant vectorielle-ment sur l'axe horizontal :!k(l(t)!l0)=m¨x(t)D'après le schéma, on peut écrire :l(t)=l0+x(t)En reportant dans l'expression précédente, elle se simplifie en :!k[(l0+x(t))!l0]=m¨x(t)'¨x(t)+kmx(t)=0partagelivrescpge.blogspot.com
Signaux physiques 41Notons au passage que l'expression de la force de rappel est valable, quelque soit le signe de l'élongation algébrique. En e!et, le changement designe de cette élongation, selon que la longueur du ressort est inférieureou supérieure à sa longueur à vide s'accompagne d'un changement desens de la force. On peut donc tout aussi bien représenter la situationavec cette version alternative du schéma :•Résolution de cette équation di!érentielleL'équation di!érentielle suivante :¨x(t)+%20x(t)=0est celle d'un oscillateur harmonique de pulsation%0. Sa solution s'écrit :x(t)=Xmcos(%0t+#)Cette solution peut aussi être recherchée sous la forme équivalente (on le vérifie àl'aide de simples formules de trigonométrie) :x(t)=Acos(%0t)+Bsin(%0t)Chacune de ces formes comporte deux constantes d'intégration (Xmet#pour lapremière,AetBpour la seconde) que l'on détermine à l'aide des conditions initiales.Souvent l'une des conditions initiales est une valeur de la dérivée dela fonction solution de l'équation di!érentielle. Il faut alors commencerpar dériver l'expression de la fonction solution avant d'y appliquer cettecondition...L'équation di!érentielle obtenue a pour solution, en posant%0=>km:x(t)=Acos(%0t)+Bsin(%0t)
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com42Chapitre 4Oscillateur harmoniqueOn a alors :l(t)=l0+Acos(%0t)+Bsin(%0t)On détermine alorsAetBen appliquant les conditions initiales :l(0) =Let˙l(0) = 0. Pour appliquer la seconde, on doit d'abord dériverl(t).˙l(t)=!A%0sin(%0t)+B%0cos(%0t)On a alors :L=l0+Aet0=B%0.Onendéduitlesexpressionsfinalesdex(t)etl(t):x(t)=(L!l0)cos(%0t)l(t)=l0+(L!l0)cos(%0t)•Étude énergétiqueL'oscillateur harmonique n'est siège d'aucun frottement. Son énergie mécaniqueEmest donc constante, ce que l'on peut retrouver en la déterminant à partir de sa défi-nition :Em=Ec+EpDans le cas d'un oscillateur harmonique horizontal, le poids ne contribue pas à l'éner-gie potentielle, car le système reste à altitude constante. L'énergie potentielle dusystème est donc celle liée à la force de rappel du ressort et a pour expression :Ep=12k[l(t)!l0]2L'énergie cinétique a pour expression :Ec=12m˙x2(t)=12m(L!l0)2%20sin2(%0t)=12k(L!l0)2sin2(%0t)L'énergie potentielle a pour expression :Ep=12k[l(t)!l0]2=12k(L!l0)2cos2(%0t)En utilisant la relation de trigonométriecos2(u)+sin2(u)=1, on obtient :Em=12k(L!l0)2=cteLa solution obtenue est donc bien cohérente, elle permet de retrouver la conser-vation de l'énergie mécanique.partagelivrescpge.blogspot.com
Signaux physiques 43Un oscillateur harmonique est constitué par un système masse-ressort (raideurk,longueuràvidel0,massem)dontlalongueurl(t) a pour expression :l(t)=l0+Xmsin(%0t)Montrer qu'il y a équipartition de l'énergie (on calculera pour cela les valeursmoyennes des énergies cinétique et potentielle du système).Exercice 4.2 : Équipartition de l'énergie•Analyse de l'énoncéOn a vu dans l'exercice précédent que le mouvement d'un oscillateur harmonique sefaisait àénergie mécanique constanteen raison de l'absence de frottements.Cette énergie mécanique constanteEse partage, à chaque instant, entre deux formesd'énergie :-l'énergie cinétique, d'expressionEc=12m˙x2=12m˙l2-l'énergie potentielle, d'expressionEp=12k[l(t)!l0]2Nous avons vu à l'exercice précédent, comme vous pourrez le recalculer ici, que cesénergies varient respectivement en sin2(%0t) et cos2(%0t). D'où l'allure suivante descourbes énergétiques :
Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.partagelivrescpge.blogspot.com44Chapitre 4Oscillateur harmoniqueEn menant les calculs comme e!ectués à l'exercice précédent, on a :Ec=12m˙x2=12m˙l2=12m%20X2mcos2(%0t)Ep=12k[l(t)!l0]2=12kX2msin2(%0t)•Valeur moyenne temporelle d'une fonction périodiqueOn appellevaleur moyenne temporellede la fonction T-périodiquef(t), sur unepériode :=1T3T0f(t)dtCette notion est générale, vous l'utiliserez également cette année dans la partie élec-trocinétique.Il est bon de connaître, et savoir retrouver, les valeurs moyennes de quelques fonctionspériodiques de base.Les valeurs moyennes temporelles sur une période des fonctions sinus etcosinus sont nulles. Celles de leurs carrés valent12.En e!et :1T3T0cos(%t)dt=1%T[sin(%t)]T0=0puisque%T=2$.La démonstration de la nullité de la valeur moyenne de la fonction sinus est tout àfait analogue, et laissée aux soins du lecteur.Pour ce qui est des valeurs moyennes des fonctions trigonométriques au carré, ladémonstration est basée sur les relations de linéarisation trigonométrique suivantes :2cos(x)2= 1 + cos(2x)2sin(x)2=1!cos(2x)On a alors :1T3T0cos2(%t)dt=12T3T0(1 + cos(2%t))dt=12d'après ce qui précède. la démonstration avec la forme en sinus est, là aussi, tout àfait similaire.partagelivrescpge.blogspot.com
Signaux physiques 45Calculons les valeurs moyennes temporelles des énergies cinétique et potentielleen utilisant les résultats connus sur les moyennes temporelles des fonctions tri-gonométriques au carré :
46Chapitre 4Oscillateur harmonique•Analyse de l'énoncéL'étude de base de l'oscillateur harmoniques'est faite à l'aide d'un modèle de baseconstitué par un ressort horizontal, au bout duquel on accrochait une masselotte. Nousallons voir dans cet exercice qu'il existe d'autres configurations dans lesquelles on seramène également à un oscillateur harmonique, c'est-à-dire un système régi par uneéquation di!érentielle du type :¨x(t)+%20x(t)=0•Étude mécanique du systèmeNous reprenons ici, point par point la méthode d'étude présentée dans le premierexercice de ce chapitre :- déterminer la position d'équilibre du système;- appliquer la deuxième loi de Newton au système en vue d'obtenir l'équation di!é-rentielle d'évolution;-comparercetteéquationdi!érentielleàcelled'unoscillateurharmoniqueetconclure.Prenons pour système la masselotte, et étudions-la par rapport au référentielterrestre supposé galiléen. Elle est soumise à son poids :!"P=+mg&ezet à la force de rappel du ressort :!"Fr=!k(l!l0)&ezavec&ezbien orienté de l'extrémité fixe du ressort, vers son extrémité libre.L'application de la deuxième loi de Newton dans une situation d'équilibre (&a=!"0) donne, en projection sur l'axe desz:mg!k(leq!l0)=0d'oùleq=l0+mgkContrairement au cas du ressort horizontal, étudié dans le premier exer-cice de ce chapitre, la position d'équilibre ne correspond plus àleq=l0.Notonszla cote du point d'attache de la masselotte au ressort, et fixons l'originedeszau niveau de cette position d'équilibre. Nous constatons qu'alorsmg!k(l!l0)peut encore s'écrire!k(l!leq)=!kz,puisquez=0sil=leq.partagelivrescpge.blogspot.com
Signaux physiques 47La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe deszdans le cas d'uneaccélération&a=¨z&ezdonne alors l'équation :¨z+.kmz=0•Identification de l'oscillateur harmoniqueIl ne nous reste plus qu'à identifier les paramètres de l'oscillateur.L'équation di!érentielle se réécrit bien sous la forme de celle d'un oscillateurharmonique :¨z+%20z=0en posant%0=>kmNous reconnaissons donc l'équation d'un oscillateur harmonique, de pulsation%0et de période propre :T0=2$%0=2$.mk
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