[PDF] PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE



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Chapitre : PROBABILITES 1ere ES

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES Exercice 10 Un fou dessine un arbre de probabilité représentant une épreuve de Bernoulli répétée 20 fois 1) Combien y a-t-il de branches en fin d’arbres? 2) Parmi ces branches, combien correspondent exactement à 10 succès 3) Donner les deux coefficients binomiaux égaux à 20 D Le FUR 10/ 50



Première ES - Probabilités - Variable aléatoire

La probabilité que X prenne la valeur 6 est 5 8 on note p ( X = 6 ) = 5 8 La probabilité que X prenne la valeur 2 est 5 6 on note p ( X = 2 ) = 5 6 La probabilité que X prenne la valeur – 2 est 5 8 on note p ( X = – 2) = 5 8 En général, on résume ces résultats dans un tableau : Gains T Ü 6 2 -2 Probabilités L Ü = P ( X = T Ü) 1 4



PROBABILITÉS Loi binomiale - Échantillonnage I Épreuve de

1°) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre 2°) Déterminer p(P,P) et p(F,F) 3°) Déterminer la probabilité de l'événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" »



Devoir surveillé Mathématiques - 1ère ES/L Nom : Prénom

3 Déterminer la probabilité d’obtenir deux boules jaunes 4 Déterminer la probabilité d’obtenir une seule boule jaune Exercice 3 : Un jeu consiste à tirer une carte dans un jeu de 52 Si la carte est un as, on gagne 5 €, si la carte est un Roi, Valet, Dame, on gagne 1 €, sinon on perd 1 €



Exercices : Probabilités

Calculer la probabilité que la somme du nombre lu sur le jeton et du (ou des) nombre(s) lu(s) sur le dé soit égale à 7 (On fera un arbre "sélectif") Exercice 4 Deux lignes téléphoniques A et B arrivent à un standard On note : = "la ligne A est occupée" = "la ligne B est occupée"



Chapitre 15 Probabilités conditionnelles

Les probabilités écrites au deuxième niveau de l’arbre sont des probabilités conditionnelles Par exemple, les probabilités associées aux branches partant de F sont respectivement p F(S) = 203 480, p F(P) = 116 480 et p F(T) = 161 480 Le nombre 161 480 n’est donc pas la probabilité de T mais est la probabilité de T sachant que l



Chapitre 4 : Probabilités conditionnelles

Probabilité conditionnelle et arbre pondéré Dans le cas d'une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers E, on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré



AP 1ère ES variables aléatiores fiche 6 - ac-rouenfr

AP 1 ère ES – L Fiche 6 : Variables aléatoires Exercice 1 : Un avion possède deux moteurs identiques La probabilité que chacun d’eux tombe en panne est 0,001 On suppose que la panne d’un moteur n’a aucune influence sur la panne de l’autre moteur 1) Construire un arbre pondéré représentant la situation



PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

On résume les issues de l'expérience dans un arbre de probabilité : 2) a) Obtenir deux boules blanches correspond à l'issue (A ; A) : P 1 = 0,36 (d'après l'arbre)

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1

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/5oBnmZVrOXE Partie 1 : Probabilités conditionnelles et tableaux

Définition :

On appelle probabilité conditionnelle de sachant , la probabilité que l'événement se

réalise sachant que l'événement est réalisé. On la note : Remarque : On rappelle que, comme pour les probabilités simples, on a : Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau

Vidéo https://youtu.be/7tS60nk6Z2I

Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude :

1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants :

: " Le patient a pris le médicament A. » : " Le patient est guéri. »

Calculer : a)

b) c) d)

2) a) On choisit maintenant au hasard un patient guéri.

Calculer la probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri. b) On choisit maintenant au hasard un patient traité par le médicament B. Calculer la probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B.

Correction

1) a) La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à :

455
800
≈0,57=57%. b) La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à : ≈0,84=84%.

c) La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à

≈0,48=48%.

Médicament A Médicament B Total

Guéri 383 291 674

Non guéri 72 54 126

Total 455 345 800

2

d) La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A

est égale à : ≈0,09=9%. 2) a)

La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note

et est égale à ≈0,57=57%. On regarde uniquement la ligne des patients guéris. b)

La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note

et est égale à ≈0,84=84%. On regarde uniquement la colonne du médicament B.

Propriété :

Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide de la formule

Vidéo https://youtu.be/SWmkdKxXf_I

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit l'événement : " Le résultat est un pique ». Soit l'événement : " Le résultat est un roi ».

Calculer

, la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique.

Correction

et Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est : Remarque : On peut retrouver intuitivement ce résultat. En effet, parmi les piques, on a 1 chance sur 8 d'obtenir le roi.

Médicament A Médicament B Total

Guéri 383 291 674

Non guéri 72 54 126

Total 455 345 800

Médicament A Médicament B Total

Guéri 383 291 674

Non guéri 72 54 126

Total 455 345 800

3 Partie 2 : Arbre pondéré et probabilités totales

1) Propriétés

Formules : Soit et deux événements avec ≠0. =1-

2) Construire un arbre pondéré

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/Pc5kJBkPDbo

On donne : )=0,4,

)=0,3 et )=0,2 On reporte ces probabilités dans l'arbre : On complète les probabilités manquantes : Au 2 e niveau de l'arbre, on note les probabilités conditionnelles.

On utilise la formule :

=1- 1-0,3 1-0,2 1-0,4 4 On calcule les probabilités d'intersections :

Méthode : Construire un arbre pondéré

Vidéo https://youtu.be/o1HQ6xJ7o4U

On donne l'arbre pondéré ci-contre.

a) Traduire les données de l'arbre sous forme de probabilités. b) À l'aide de l'arbre, calculer ) et ∩

Correction

a) =0,6, =0,7 et =0,2. b) =1- =1-0,6=0,4 =1- =1-0,2=0,8 =0,4×0,7=0,28

3) Formule des probabilités totales

Propriété :

On utilise la formule :

5 Méthode : Appliquer la formule des probabilités totales

Vidéo https://youtu.be/qTpTBoZA7zY

Lors d'une épidémie chez des bovins, on s'est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d'animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d'utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note respectivement et les événements " Être porteur de la maladie » et " Avoir un test positif ». a) Un animal est choisi au hasard. Quelle est la probabilité que son test soit positif ? b) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ?

D'après BAC S, Antilles-Guyanne 2010

Correction

a) On construit et on complète un arbre pondéré : D'après la formule des probabilités totales : C =0,02×0,85+0,98×0,05=0,066. La probabilité que le test soit positif est égale à 6,6%. 6 b)

1∩2

1 ≈ 0,26. La probabilité que le bovin soit malade sachant que le test est positif est d'environ 26%.

Partie 3 : Probabilités et indépendance

1) Indépendance de deux événements

Définition :

On dit que deux évènements et sont indépendants lorsque

Propriété :

On dit que deux évènements et sont indépendants lorsque ou Méthode : Démontrer l'indépendance de deux évènements

Vidéo https://youtu.be/wdiMq_lTk1w

a) On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit l'événement : " On tire un roi ». Soit l'événement : " On tire un trèfle ». Les événements et sont-ils indépendants ? b) On reprend l'expérience précédente en ajoutant deux jokers au jeu de cartes. Les événements et sont-ils indépendants ?

Correction

a) On a : et

Donc

Et donc

Les événements et sont donc indépendants. b) On a : et

Donc

Et donc

Les événements et ne sont donc pas indépendants. Méthode : Utiliser l'indépendance de deux évènements (1)

Vidéo https://youtu.be/SD9H5OYYLz0

Dans une population, un individu est atteint par la maladie m avec une probabilité égale à

0,005 et par la maladie n avec une probabilité égale à 0,01.

7 On choisit au hasard un individu de cette population. Soit l'événement : " L'individu a la maladie m ». Soit l'événement : " L'individu a la maladie n ». On suppose que les événements et sont indépendants.

Calculer la probabilité de l'événement : " L'individu a au moins une des deux maladies ».

Correction

, d'après une formule vue en classe de 2 nde , car les événements et sont indépendants. =0,005+0,01-0,005×0,01 =0,01495

La probabilité qu'un individu choisi au hasard ait au moins une des deux maladies est égale à

1,495%.

Propriété : Si et sont indépendants alors et sont indépendants. Méthode : Utiliser l'indépendance de deux évènements (2)

Vidéo https://youtu.be/yIvN6Dh-bDg

Lors d'un week-end prolongé, Bison futé annonce qu'il y a 42 % de risque de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A6 et 63 % sur l'autoroute A7. Soit l'événement : " On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A6 ». Soit l'événement : " On tombe dans un bouchon sur l'autoroute A7 ». On suppose que les événements et sont indépendants. Calculer la probabilité de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6.

Correction

La probabilité de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6 se note Les événements et sont indépendants donc les événements et sont également indépendants et on a : =0,58×0,63=0,3654 La probabilité de tomber dans un bouchon sur l'autoroute A7 mais pas sur l'autoroute A6 est

égale à 36,54%.

2) Succession de deux épreuves indépendantes

Exemples :

a) On lance un dé et on note le résultat. Puis on lance une pièce de monnaie et on note le résultat. Ces deux expériences sont indépendantes. b) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces dix expériences sont identiques et indépendantes. 8 Méthode : Calculer une probabilité sur une répétition d'expériences

Vidéo https://youtu.be/e7jH8a1cDtg

On considère l'expérience suivante :

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète l'expérience deux fois de suite.

1) Représenter l'ensemble des issues de ces expériences dans un arbre.

2) Déterminer les probabilités des évènements suivants :

a) Obtenir deux boules blanches. b) Obtenir une boule blanche et une boule rouge. c) Obtenir au moins une boule blanche.

Correction

1) On note l'évènement " On tire une boule blanche » et l'évènement " On tire une

boule rouge ». 3 5 =0,6 et )= =0,4. On résume les issues de l'expérience dans un arbre pondéré. e niveau de l'arbre, il ne s'agit pas de probabilité conditionnelle.

2) a) Obtenir deux boules blanches correspond à l'issue (B ; B). D'après l'arbre, on a :

=0,36. b) Obtenir une boule blanche et une boule rouge correspond aux issues (B ; R) et (R ; B). =0,24+0,24=0,48. c) Obtenir au moins une boule blanche correspond aux issues (B ; R), (B ; B) et (R ; B). =0,24+0,36+0,24=0,84.

Comme et sont indépendants,

on utilise la formule :quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48