EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE Niveau Terminale

Terminale S 1 F Laroche Probabilités exercices corrigés Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1 Combinatoire avec démonstration 2 Rangements 3 Calcul d’événements 1 4 Calcul d’événements 2 5 Calcul d’événements 3 6 Dés pipés 7 Pièces d’or 8 Fesic 2001 : Exercice 17 9 Fesic 2001 : Exercice 18 10

Probabilités Exercices corrigés

Terminale S 1 F Laroche Terminale S Probabilités Exercices corrigés 1 1 Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A,

EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE Niveau Terminale

Exercices téléchargés gratuitement sur le site www sila e-monsite com Hugues SILA 1 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE Niveau Terminale scientifique (Tle C, D, E, S, S1, S2, SM, SE)

CORRIGÉ EXERCICES TERMINALE S PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

CORRIGÉ EXERCICES TERMINALE S PROBABILITÉS CONDITIONNELLES EXERCICE 6 : On teste un médicament parmi un ensemble d'individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé Pour cela 70 des individus prennent le médicament, les autres recevant un placebo, et l'on étudie à l'aide d'un test la baisse du taux de glycémie

Probabilités – Terminale S

Probabilités – Terminale S 2 b Probabilités sur un ensemble fini Définition : Soit ΩΩΩΩ = {a 1, a 2, , a n} un ensemble fini on définit une loi de probabilité sur ΩΩΩΩ si on choisit des nombres p 1, p 2, , p n tels que, pour

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

On lance un dé à 6 faces On suppose que la probabilité d’apparition de chaque face est proportionnelle au numéro inscrit sur elle Calculer la probabilité d’apparition de chaque face Calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair Arbre pondéré Exercice n° 10 Dans un lycée, quel que soit le niveau, un élève peut être

EXERCICES corrigés de PROBABILITES

EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d’un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l’orange et 5 au citron

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de Question 3 Quelle est la probabilité d’avoir obtenu au moins un billet de 22 car il s’agit de l’ensemble des sous-

EXERCICES CORRIGÉS SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES Exercice 1

• C1: S'il reste un jour sans fumer, alors il fume le lendemain avec une probabilité de 0,4 • C2: Par contre, s'il cède et fume un jour, alors la probabilité qu'il fume le lendemain est de 0,2 On note pn la probabilité qu'il fume le nème jour Déterminer la limite de pn Conclusion ?

Hugues SILA 1 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E

EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE

Niveau Terminale scientifique (Tle C, D, E, S, S1, S2, SM, SE)

Exercice 1 : Combinatoire avec démonstration

Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1kn , on a : 1 11 k k k n n nC C C

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que

21kn
, on a : 21

2 2 22k k k k

n n n nC C C C

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que

21kn
indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches. tirée ». A , contraire de A. En déduire la probabilité de A.

Correction exercice 1

Démonstration

1 1111
11 kk nn(n )! (n )!CC(k )!(n k )! k!(n k )!

Il suffit donc de multiplier la fraction

1 1 (n )! (k )!(n k )! par k en haut et en bas, ce qui donne

1 1 1 1

1 1 1 k(n )! (n )! k(n )! (n )! k!(n k )! k!(n k )! k!(n k )(n k )! k!(n k )!

En mettant

1 1 (n )! k!(n k )! en facteur on obtient :

1 1 111 1 1

1 1 k(n )! (n )! (n )! k( ) k!(n k )(n k )! k!(n k )! k!(n k )! n k (n )! k n k = ( )k!(n k )! n k n! =k!(n k )!

2. Réécrivons

1 11 k k k n n nC C C un rang plus bas pour n et pour k ça donne: 2 1 1 2 2 1 k k k n n nC C C ; réécrivons 1 11 k k k n n nC C C un rang plus bas pour n mais pas pour k : ça donne également 1 2 2 1 k k k n n nC C C Additionnons membre à membre ajoutons les deux lignes : 2 1 1

2 2 2 1 12k k k k k k

n n n n n nC C C C C C k nC tirages simultanés possibles de k boules de a. A = " au moins une boule rouge a été tirée » ; A blanches » : il y a 2 k nC manières de faire et 2(A) k n k n CPC . On a donc : 2 2 (A) 1 (A) (1) k n k n kk nn k n CPC CCPC Exercices téléchargés gratuitement sur le site www.sila.e-monsite.com

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b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k í 1 blanches, nombre de manières : 1 1 1

2 2 2. 2.kk

nnC C C , ou 2 rouges et k í 2 blanches : nombre de manières : 2 2 2

2 2 2.kk

nnC C C

On a alors

222(A) (2).

kk nn k n CCPC 12 222kk
nnCC 2 kk nnCC

Exercice 2 : Rangements

2). Deux amis A et

2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r í 1 personnes)

Correction exercice 2 Rangements

Le nombre total de possibilités de rangement est n!

1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste

2!n répartitions possibles. Comme A peut être placé 1n places possibles pour A et donc la probabilité 1!1 n nn 2 n

2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de

nr manières, la probabilité finale est alors

2 ! 22!1

n r n n r n n n . (on peut ainsi retrouver la réponse de la première question avec r=0)

Soient A et B deux événements tels que

11 52P A et P A B

1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer

2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer

3. Calculer

Correction exercice 3

A et B incompatibles donc

AB 1 1 3

2 5 10P A B P A P B P B

2. A et B indépendants :

1 1 1 4 3 3

2 5 5 5 10 8P A B P A P B P B P B P B P B

3. A ne peut être réalisé que si B est réalisé : tous les événements de A sont dans B,

1 1 1 1

2 5 5 2P A B P A P B P B

Soient A, B et C des événements. On pose

1E A B C

2E A B C

1. Montrer que E1 et E2 sont incompatibles.

12EE

3. On sait que

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Hugues SILA 3 Exercices corrigés de probabilités Tle c, d, TI, s SM,E

0,6PA 0,4PB 0,3PC

0,1P B C

0,1P A C

0,2P A B

0,05P A B C

Calculer

1PE et 2PE

12E E A B C A B C A B C B A B C C

A B C A B C

donc en appelant K B C , on a

12E E A K A K A

3. On calcule

0,4 0,3 0,1 0,6P B C

0,4P B C

120,6P E P E P A

0,6 0,4 0,3 0,1 0,1 0,2 0,05 0,95P A K P A B C

; par ailleurs

220,95 0,6 0,6 0,25P A K P A P K P A K P E P E

et enfin

10,6 0,25 0,35PE

Exercice 5 : Dés pipés

On lance deux fois un dé pipé tel que P(1)=P(3)=P(4)=1/2 et P(2)=P(6)=1/4. Quelle est la probabilité que la somme

des points obtenus soit supérieure à 10 (strictement) sachant que :

1. un des résultats est 6.

2. le premier résultat est 6.

Correction exercice 5 Dés pipés

Il manque

1 1 15 1 3 28 4 8P

1. Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilité

1 1 1 2 128 4 4 4 2

u quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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EXERCICES CORRIGES DE PROBABILITE

Exercice 1 : Combinatoire avec démonstration

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que

2 2 22k k k k

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que

Correction exercice 1

Démonstration

Il suffit donc de multiplier la fraction

1 1 1 1

En mettant

1 1 111 1 1

2. Réécrivons

2 2 2 1 12k k k k k k

2 2 2. 2.kk

2 2 2.kk

On a alors

222(A) (2).

Exercice 2 : Rangements

2). Deux amis A et

2. Quelle est la probabilité que les deux amis soient distants de r places (i.e. séparés par r í 1 personnes)

Correction exercice 2 Rangements

1. Supposons que A est en premier, B est derrière, il reste

2. Même raisonnement ; au pire B est en dernier et A r places devant ; on peut placer A de

2 ! 22!1

Soient A et B deux événements tels que

11 52P A et P A B

1. Supposons que A et B soient incompatibles. Calculer

2. Supposons que A et B soient indépendants. Calculer

3. Calculer

Correction exercice 3

A et B incompatibles donc

2 5 10P A B P A P B P B

2. A et B indépendants :

1 1 1 4 3 3

2 5 5 5 10 8P A B P A P B P B P B P B P B

3. A ne peut être réalisé que si B est réalisé : tous les événements de A sont dans B,

1 1 1 1

2 5 5 2P A B P A P B P B

Soient A, B et C des événements. On pose

1E A B C

2E A B C

1. Montrer que E1 et E2 sont incompatibles.

3. On sait que

0,1P B C

0,1P A C

0,2P A B

0,05P A B C

Calculer

12E E A B C A B C A B C B A B C C

A B C A B C

12E E A K A K A

3. On calcule

0,4 0,3 0,1 0,6P B C

0,4P B C

120,6P E P E P A

0,6 0,4 0,3 0,1 0,1 0,2 0,05 0,95P A K P A B C

220,95 0,6 0,6 0,25P A K P A P K P A K P E P E

10,6 0,25 0,35PE

Exercice 5 : Dés pipés

1. un des résultats est 6.

2. le premier résultat est 6.

Correction exercice 5 Dés pipés

Il manque

1 1 15 1 3 28 4 8P

1. Il faut avoir des résultats comme (x, 6) ou (6, x) avec x = 5 ou 6 ; on a donc la probabilité

1 1 1 2 128 4 4 4 2