Première ES - Probabilités - Variable aléatoire

Chapitre : PROBABILITES 1ere ES Exercice 4 On a trois cartons : on écrit sur le premier «T», sur le second «A» et sur le troisième «S» On retourne les cartons sur une table 1) On choisit un carton, on note la lettre, on remet le carton sur la table, et on choisit de nouveau au hasard un deuxième carton, on note la lettre

Première ES - Probabilités - Variable aléatoire

On a donc la loi de probabilité de la variable aléatoire G, en notant J Ü les valeurs prises par G : J Ü – 3 – 1 3 5 L Ü = P( G = J Ü) 1 15 1 2 1 3 1 6 II) Espérance,variance,écart type

351 - ChingAtome

Exercice 4791 Voici le tableau représentant la loi de probabilité d’un dés truqué à six faces: xi 1 2 3 4 5 6 pi 0,15 0,1 0,08 0,17 0,22 0,28 Déterminer la

Exercices : Probabilités

A 2 3 A 2 3 A 1 3 A 1 3 A 2 3 A 1 3 ΩΩΩΩ J1 1 2 A 1 6 A 5 6 J2 1 2 B 1 9 B 8 9 ΩΩΩΩ Correction exercices : probabilités Partie A : Probabilités Exercice 1 et sont incompatibles donc ;∩ =0

Probabilit´es - Free

b- Propri´et´es : Mod´elisation d’une r´ep´etition 1 Sur les branches du premier niveau, on inscrit les probabilit´es des ´ev´enements correspondants 2 Sur les branches du deuxi`eme niveau, on inscrit les probabilit´es conditionnelles 3 La somme des probabilit´es inscrites sur les branches issues du mˆeme nœud est toujours

Première ES - Répétition d’expériences identiques et

Première ES - Répétition d’expériences identiques et indépendantes Author: Clara Parfenoff - Alain Solean - Alexis Museux Subject: Première ES - Répétition d expériences identiques et indépendantes Created Date: 8/17/2012 2:57:26 PM

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Devoir surveillé Mathématiques - 1ère ES/L Nom : Prénom : Exercice 1 : Une urne contient 49 boules indiscernables, numérotées de 1 à 49 On en tire une au hasard On appelle A l’événement : « On tire une boule de numéro multiple de 2 » et B l’événement : « On tire une boule de numéro multiple de 5 »

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

EXERCICES corrigés de PROBABILITES

EXERCICES corrigés de PROBABILITES Calculer la probabilité d’un événement Exercice n°1: Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l’orange et 5 au citron

Probabilités-Variable aléatoire

I) Variable aléatoire discrète

1) Exemples

Exemple 1

Considérons un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

On lance ce dé

L'ensemble des issues est = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }

Chaque issue a pour probabilité

On convient que si la face 1 apparaît on gagne 5 € sinon on perd 2 €. On peut donc définir une fonction X qui a chaque issue de associe le " gain » obtenu, cette fonction prend donc les valeurs 5 et - 2 ( une perte étant un " gain » négatif )

La probabilité que X prenne la valeur 5 est

଺ et celle qu'elle prenne la valeur - 2 est ହ

On écrit p( X = 5) = p ({1}) =

et p( X = - 2 ) = p ( {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }) = ହ

Exemple 2

Considérons une pièce de monnaie bien équilibrée

On lance deux fois de suite cette pièce

En notant P " on a obtenu pile » et F " on a obtenu face », l'ensemble des issues est = { PP ; PF ; FP ; FF }

Chaque issue a pour probabilité

On convient que chaque fois que l'on obtient " pile » on gagne 3 € et que chaque fois que l'on obtient " face » on perd 1 €. On peut donc définir une fonction X qui a chaque issue de associe le " gain » obtenu, cette fonction prend donc les valeurs 6 ( pour PP ) , 2 pour PF ou FP et - 2 pour FF

La probabilité que X prenne la valeur 6 est

ସ on note p ( X = 6 ) = ଵ La probabilité que X prenne la valeur 2 est ଵ La probabilité que X prenne la valeur - 2 est ଵ ସ on note p ( X = - 2) = En général, on résume ces résultats dans un tableau : Gains

6 2 -2

Probabilités

= P ( X = ݔ

2) Définition

On considère un ensemble fini et une loi de probabilité p sur Une variable aléatoire X sur est une fonction définie sur à valeurs dans Si désignent les valeurs prises par X, on note " X = ࢞ l'événement " X prend la valeur ࢞ On définit une nouvelle loi de probabilité associée à X, par la donnée des réels ࢞ et des probabilités ࢖ = P (X = ࢞

Exemple 3:

Un sac contient 15 jetons bleus, 10 jetons rouges, 3 jetons verts et 2 jetons noirs, tous indiscernables au toucher. Un joueur extrait au hasard un jeton de ce sac et note sa couleur : B pour bleu, R pour rouge, V pour vert et N pour noir. Il marque 3 points si le jeton est rouge, 5 points si le jeton est vert, mais perd 1 point si le jeton est bleu et perd 3 points si le jeton est noir. Soit G la variable aléatoire qui donne le nombre de points ( positif ou négatif ) obtenu par le joueur. Déterminer la loi de probabilité de la variable G.

Solution :

Tous les jetons ayant la même chance d'être tirés, on a :

Le jeton tiré

est : Bleu Rouge Vert Noir

Probabilités : ଵହ

Nombre de

points marqués : െͳ 3 5 െ͵ On a donc la loi de probabilité de la variable aléatoire G, en notant ݊ les valeurs prises par G : - 3 - 1 3 5 = P( G = ݊

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Probabilités-Variable aléatoire

I) Variable aléatoire discrète

1) Exemples

Exemple 1

On lance ce dé

Chaque issue a pour probabilité

La probabilité que X prenne la valeur 5 est

On écrit p( X = 5) = p ({1}) =

Exemple 2

On lance deux fois de suite cette pièce

Chaque issue a pour probabilité

La probabilité que X prenne la valeur 6 est

6 2 -2

Probabilités

2) Définition

Exemple 3:

Solution :

Le jeton tiré

Probabilités : ଵହ

Nombre de

II) Espérance,variance,écart type

1) Définitions

On appelle :

E(X) = ࢖

V(X) = ࢖

V(X) =

ı(X) =

Exemples :

En reprenant les trois exemples vus plus haut

Exemple 1 :

E(X) = 5 x

V(X) =

ı(X) =

Exemple 2 :

E(X) = 6 x

V(X) =

ı(X) =

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