Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles – Loi binomiale - Exercices Révisions de probabilités Exercice 1 Exercice 2 1/10 Probabilités conditionnelles – Loi binomiale - Exercices Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2019/2020

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes On tire au hasard et simultanément deux boules 1) Calculez les probabilités des événements •R « les deux boules sont rouges »; •V « les deux boules sont vertes »

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Exercices23 juillet 2014

Probabilités conditionnelles

Loi binomiale

Équiprobabilité et variable aléatoire

Exercice1

Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard et simultanément deux boules.

1) Calculez les probabilités des événements

•R " les deux boules sont rouges »; •V " les deux boules sont vertes ».

2) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules

vertes obtenues. •Trouvez la loi de probabilité de X. •Calculez E(X).

Exercice2

On club de randonnée propose à ses adhérents une sortie payante suivant les tarifs indi- qués ci-dessous.

Sortie20e13e7e

Repas12e7e4e

Le club a inscrit 87 participants pour cette sortie dont 58 adultes et 12 enfants. La moitié des adultes, un quart des enfants et 10 jeunes ont apporté leur propre pique- nique. On choisit au hasard un participant. On note X la variable aléatoire qui indique le prix payé au club par un participant.

1) Faire un arbre d'effectifs suivant la catégorie du participant et suivant qu'ilemporte

son pique-nique ou non.

2) Quelles sont les valeurs possibles prises par X?

3) a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.

b) Sur quel tarif moyen par adhérent peut compter le club s'ilrenouvelle un grand nombre de fois ce type de sortie dans les même condition?

Probabilités conditionnelles

Exercice3

Deux ateliers A et B fabriquent des puces électroniques. Pour une commande de 2 000 pièces, A en a produit 60% et B en a produit 40%. L'atelier A produit 4% de puces défectueuses et B en produit 3%. On prend une puce au hasard dans la commande. On

appelle A l'événement " la puce provient de l'atelier A », B l'événement " elle provient

de l'atelier B » et D l'événement " elle est défectueuse ». paul milan1 TerminaleS exercices

1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande :

nombre de puces défectueusesnombre de puces non défectueusestotal nombre de puces produit par A nombre de puces produit par B total

2) Calculer les probabilités suivantes :

a)p(D),p(A∩D) etpD(A) b)p( D),p(D∩B) etp¯D(B)c) Remplir l'arbre suivant : D ?A B D?A B

Exercice4

1) A et B sont tels quep(A)=12,p(B)=14etp(A∩B)=110CalculerpA(B) etpB(A).

2) A et B sont tels quep(A)=1

2,p(B)=13etp(A?B)=23Calculerp(A∩B),pA(B) etpB(A).

3) A et B sont tels quep(A)=1

3,pA(B)=14etp¯A(B)=12Calculerp(B).

4) A et B sont tels quep(A)=1

2,p(B)=34etp(A∩B)=25

a)pA(B) etpB(A) b) Calculerp(

A∩B). En déduirep¯A(B).

Exercice5

À la suite d'un sondage effectué à propos de la construction d'un barrage, on estime que: •65% de la population concernée est contre la construction dece barrage et parmi ces opposants, 70% sont des écologistes; •parmi les personnes non opposées à la construction, 20% sontdes écologistes.

On interroge une personne au hasard.

1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.

2) Calculer la probabilité qu'une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco-

logiste. paul milan2 TerminaleS exercices

3) Calculer la probabilité qu'une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo-

giste.

4) En déduire la probabilité qu'une personne interrogée soit écologiste.

Exercice6

Un tiroir T1contient cinq pièces d'or et cinq pièces d'argent, un tiroirT2en contient quatre d'or et six d'argent. On choisit au hasard l'un des tiroirs et dans ce tiroir, on prend une pièce au hasard.

1) Construire l'arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2) Calculer la probabilité de prendre une pièce d'or

•du tiroir T1;•du tiroir T2.

3) Calculez la probabilité de prendre une pièce d'or.

4) On a extrait une pièce d'or. Quelle est alors la probabilité qu'elle provienne du tiroir

1? Pouvait-on le prévoir?

Exercice7

Le personnel d'un hôpital est réparti en trois catégories : M(médecins), S (soignants non

médecins) et AT (personnel administratif ou technique). •12% sont des médecins et 71% des soignants. •67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont desfemmes.

On interroge au hasard un membre du personnel

1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.

2) Quelle est la probabilité que la personne interrogée soitune femme soignante? une

femme médecin?

3) On sait que 80% du personnel est féminin.

•Calculer la probabilité que la personne interrogée soit une femme AT. •En déduire la probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant que cette personne interrogée est AT.

Exercice8

Un lot de cent dés contient vingt dés pipés. Pour un tel dé, la probabilité d'apparition du

6 est égale à1

2. Les autres dés sont parfaits.

1) On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité de l'événement S "on

obtient 6 ».

2) On prend au hasard un dé, on le lance, on obtient 6. Calculer la probabilité que le dé

soit pipé.

Exercice9

Le quart de la population d'un pays a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte112de malades. Parmi les malades, 1

5n'est pas vacciné.

paul milan3 TerminaleS exercices

1) Calculer :

a) la probabilité qu'une personne malade soit vacciné; b) la probabilité qu'une personne soit vaccinée et malade; c) la probabilité qu'une personne soit malade.

2) En déduire la probabilité qu'une personne non-vaccinée tombe malade. Que pouvez-

vous en déduire?

Exercice10

Une étude épidémiologique concernant une certaine maladiea été faite dans des familles

ayant deux enfants de moins de dix ans : une fille et un garçon. On a constaté que 20 % des filles et 50 % des garçons sont touchés par la maladie. Par ailleurs, dans les familles dont la fille est malade, le garçon l'est aussi dans 70 % des cas. On notera : •F l'événement " la fille de la famille est atteinte par la maladie »; •G l'événement " le garçon de la famille est atteint par la maladie. » On choisit au hasard une famille ayant fait l'objet de cette étude. Quelle est la probabilité que :

1) A " les deux enfants soient atteints par la maladie »;

2) B " au moins l'un des deux enfants soit atteint »;

3) C " aucun des deux enfants ne soit atteint »;

4) D " la fille soit atteinte sachant que le garçon l'est »;

5) E " la fille soit atteinte sachant que le garçon n'est pas atteint. »

6) H " le garçon soit atteint sachant que la fille n'est pas atteinte. »

Exercice11

On considère l'arbre de probabilités suivant : A 0,2B 0,68 B A B

B0,4Affirmation: la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé est

égale à 0,32.

Cette affirmation est-elle vraie ou fausse? On se justifiera

Exercice12

Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l'événement " l'appareil présente un défaut d'apparence» et F l'événement

" l'appareil présente un défaut de fonctionnement ». On suppose que les événements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l'appareil présente un défautd'apparence est égale à 0,02

et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à

0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F? paul milan4 TerminaleS exercices

Indépendance

Exercice13

Un dé cubique truqué est tel que la probabilité de sortie d'unnumérokest proportionnelle àk. On lance ce dé et on considère les événements : •A " le numéro est pair »; •B " le numéro est supérieur ou égal à 3 »; •C " le numéro obtenu est 3 ou 4 » a) Calculez les probabilités de A, B, C. b) Calculez la probabilité conditionnellepA(B). c) A et B sont-ils indépendants? A et C?

Exercice14

Réunion juin 2005

On considère trois urnes U

1, U2, et U3.

L'urne U

1contient deux boules noires et trois boules rouges; l'urne U2contient une boule

noire et quatre boules rouges; l'urne U

3contient trois boules noires et quatre boules

rouges. Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U

1et une boule de U2, à les mettre

dans U

3, puis à tirer au hasard une boule de U3.

Pouriprenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri) l'événement "on tire une boule noire de l'urne U i» (respectivement "on tire une boule rouge de l'urne U i»).

1) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :

N 1 N2N3 R3 R2N3 R3 R1 N2N3 R3 R2N3 R3

2) a) Calculer la probabilité des événements N1∩N2∩N3, et N1∩R2∩N3.

b) En déduire la probabilité de l'événement N

1∩N3.

c) Calculer de façon analogue la probabilité de l'événement R

1∩N3.

3) Déduire de la question précédente quep(N3=2

4) Les événements N

1et N3sont-ils indépendants?

5) Sachant que la boule tirée dans U

3est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée

de U

1soit rouge?

paul milan5 TerminaleS exercices

Exercice15

Polynésie juin 2006

On a posé à 1 000 personnes la question suivante : " Combien de fois êtes-vous arrivé en

retard au travail au cours des deux derniers mois?». Les réponses ont été regroupées dans

le tableau suivant :

Retards le 2emoisRetards le 1

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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Exercices23 juillet 2014

Probabilités conditionnelles

Loi binomiale

Équiprobabilité et variable aléatoire

Exercice1

1) Calculez les probabilités des événements

2) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules

Exercice2

Sortie20e13e7e

Repas12e7e4e

1) Faire un arbre d'effectifs suivant la catégorie du participant et suivant qu'ilemporte

2) Quelles sont les valeurs possibles prises par X?

3) a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.

Probabilités conditionnelles

Exercice3

1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande :

2) Calculer les probabilités suivantes :

Exercice4

1) A et B sont tels quep(A)=12,p(B)=14etp(A∩B)=110CalculerpA(B) etpB(A).

2) A et B sont tels quep(A)=1

2,p(B)=13etp(A?B)=23Calculerp(A∩B),pA(B) etpB(A).

3) A et B sont tels quep(A)=1

3,pA(B)=14etp¯A(B)=12Calculerp(B).

4) A et B sont tels quep(A)=1

2,p(B)=34etp(A∩B)=25

A∩B). En déduirep¯A(B).

Exercice5

On interroge une personne au hasard.

1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.

2) Calculer la probabilité qu'une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco-

3) Calculer la probabilité qu'une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo-

4) En déduire la probabilité qu'une personne interrogée soit écologiste.

Exercice6

1) Construire l'arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2) Calculer la probabilité de prendre une pièce d'or

3) Calculez la probabilité de prendre une pièce d'or.

4) On a extrait une pièce d'or. Quelle est alors la probabilité qu'elle provienne du tiroir

1? Pouvait-on le prévoir?

Exercice7

On interroge au hasard un membre du personnel

1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.

2) Quelle est la probabilité que la personne interrogée soitune femme soignante? une

3) On sait que 80% du personnel est féminin.

Exercice8

6 est égale à1

2. Les autres dés sont parfaits.

1) On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité de l'événement S "on

2) On prend au hasard un dé, on le lance, on obtient 6. Calculer la probabilité que le dé

Exercice9

5n'est pas vacciné.

1) Calculer :

2) En déduire la probabilité qu'une personne non-vaccinée tombe malade. Que pouvez-

Exercice10

1) A " les deux enfants soient atteints par la maladie »;

2) B " au moins l'un des deux enfants soit atteint »;

3) C " aucun des deux enfants ne soit atteint »;

4) D " la fille soit atteinte sachant que le garçon l'est »;

5) E " la fille soit atteinte sachant que le garçon n'est pas atteint. »

6) H " le garçon soit atteint sachant que la fille n'est pas atteinte. »

Exercice11

égale à 0,32.

Exercice12

0,069.

Indépendance

Exercice13

Exercice14

Réunion juin 2005

On considère trois urnes U

1, U2, et U3.

L'urne U

1contient deux boules noires et trois boules rouges; l'urne U2contient une boule

3contient trois boules noires et quatre boules

1et une boule de U2, à les mettre

3, puis à tirer au hasard une boule de U3.

1) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant :

2) a) Calculer la probabilité des événements N1∩N2∩N3, et N1∩R2∩N3.

1∩N3.

1∩N3.

3) Déduire de la question précédente quep(N3=2