Cours de probabilites et statistiques´

A[B r¶eunion de A et B A ou B A\B intersection de A et B A et B Ac ou A compl¶ementaire de A ¶ev¶enement contraire de A A\B =; A et B disjoints A et B incompatibles 1 3 Probabilit¶e On se limite dans ce cours µa ¶etudier les univers d¶enombrables La probabilit¶e d’un ¶ev¶enement est une valeur num¶erique qui repr¶esente la

Probabilités et Statistique - UNIGE

des probabilités débute réellement avec les travaux de Pascal4 et de Fermat5 La théorie fut ensuite développée par de nombreuses personnes, dont Huygens6, J Bernoulli7, de Moivre8, D Bernoulli9, Euler10, Gauss11 et Laplace12 La théorie moderne des probabilités est fondée

Probabilités et Statistique - ISAE-SUPAERO

Organisation du cours Présentationgénérale Le cours de probabilités et statistique est divisé en 8 séances de 3 heures et 2 BE de 2 heures, qui se concluent par un examen sur table ﬁnal de 2 heures

COMBINATOIRE PROBABILITES ET STATISTIQUES

et leur nombre se note An r = n (n − r) (11) Remarque Si n = r alors An r = Pn Exemple 8 Soient les 4 lettres a,b,c et d Alors: - abcd,bcda,acdb sont des permutations simples des 4 lettres - bd,cb,ca sont des arrangements simples de 2 lettres choisies parmi 4 Il y a P4 = 4 = 24 permutations des 4 lettres et A4 2 = 4

Probabilités et statistique - educationfr

Probabilités et statistique Ces documents peuvent être utilisés et modifiés librement dans le cadre des activités d'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale

Probabilités et statistique

Probabilités et Statistique au Lycée

la statistique descriptive, des probabilités et de la statistique inférentielle Le document est composé de trois sections La première aborde les indices de la statistique univariée, à savoir les quantiles, et les diverses notions de dispersion et de résumés statistiques associés

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

Probabilités et statistique

Olivier Garet Probabilit es et statistique 6/8 Fonctions de r epartition Corollaire Soient (X n), X des v a r On a equivalence entre : (X n) converge en loi vers X

Benjamin JOURDAIN 10 janvier 2018 - Centre dEnseignement et

ann´ee a l’ENSTA : “Introduction aux probabilit´es et a la statistique”, — l’´equipe enseignante du cours de statistique de seconde ann´ee pour les emprunts faits au polycopi´e et au recueil d’exercices qu’ils ont r´edig´es sous la direction de Jean-Pierre Raoult puis de Jean-Franc¸ois Delmas

Stage ATSM - Ao^ut 2010

Cours de probabilit

´es et statistiques

A. Perrut

contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2

Table des matiµeres

1 Le modµele probabiliste 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4TABLE DES MATIµERES

5 Tests statistiques 47

5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Tables statistiques 61

C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chapitre 1

Le modµele probabiliste

1.1 Introduction

Exemples :

- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :

P(A) =3

6 = 1=2. Alors

P(¯lle) = limn!+1k

n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 5

6CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exemples :

\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.

B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est

B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g

le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaA

A½B

Ainclus dansB

AimpliqueB

A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;

AetBdisjoints

AetBincompatibles

Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().

P() =n

;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 1

0.95 :Ava trµes probablement se produire.

4.0 : incorrect.

-2 : incorrect.

0.5 : une chance sur deux.

8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

faire quelques calculs :

1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).

2)P(Ac) = 1¡P(A).

3)P(;) = 0.

5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).

2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).

3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.

P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 1

1 =P() =X

!2P(!) =X !2p=p£card()

D'oµup=P(!) =1

card()

P(A) =X

!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, par

P(BjA) =P(A\B)

P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".

P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1

r+v¡1¢r r+v

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\A

P(B) =P(B\A) +P(B\Ac)

On garde le m^eme formalisme.

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.

P(B) =X

i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...

1etP(B)>0. Alors,

P(AjB) =P(BjA)P(A)

P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

preuve :

P(AjB) =P(A\B)

P(B)=P(BjA)P(A)

P(B) i2I,

P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)

P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T T

F=\ le tableau comporte des fautes".

P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)

P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)

P(A\B) =P(A)P(B)

P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)

Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons que

P(!) =P((x;y)) =1

card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g

12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

8!2; P(!) =1

card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?

1.6 Exercices

3) On tire trois cartes dans un jeu .

suppose que

P(A[B) = 7=8; P(A\B) = 1=4; P(A) = 3=8:

CalculerP(B),P(A\Bc),P(B\Ac).

ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant?

1.6. EXERCICES13

Exercice 6 {SoientM1,M2,M3trois personnes. La premiµereM1dispose d'une infor- la transmet µaM3. Malheureusement, µa chaque fois que l'information est transmise, il y a le bon message? Et siM3transmet l'information dont il dispose µa une quatriµeme personneM4, quelle est elle re»coit un vaccin? daire? Exercice 8 |Dans une usine, la machine A fabrique 60% des piµeces, dont 2% sont C? Exercice 9 |Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 µa 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, n'ont ni

°eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre µa la fois jaunes

et roses. On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.

14CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exercice 10 |Deux chau®eurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grµeve, le premier a60%de chances de faire grµeve et le second80%. Pendant la prochaine grµeve, Exercice 11 |Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants.

Chapitre 2

PPP PPF PFP FPP FFP FPF PFF FFF

valeur deX

3 2 2 2 1 1 1 0

k(valeur prise parX)

3 2 1 0

fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg k(X=k) = 15 elle est ditecontinue(exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture souvent une formule, plut^ot qu'une liste. [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0] fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg

1/8 3/8 3/8 1/8

F(x) =P[X·x]

Exemple :Xest le nombre de Face quand on lance trois fois une piµece. On a vu que la loi deXest P[X= 0] = 1=8; P[X= 1] =P[X= 2] = 3=8; P[X= 3] = 1=8

D'oµu,

F(x) =8

>>>>>:0six <0;

1=8si0·x <1;

4=8si1·x <2;

7=8si2·x <3;

1six¸3

1)Fest croissante,

3) lim x! ¡1F(x) = 0;limx!+1F(x) = 1

E[X] =X

kkP[X=k] oµu on somme sur toutes les valeurskque peut prendreX.

E[g(X)] =X

kg(k)P[X=k] preuve : observons queg(X) =yssiX=xavecg(x) =y. Ainsi,

P(g(X) =y) =X

x:g(x)=yP(X=x)

E(Y) =X

yyP(Y=y) =X yX x:g(x)=yg(x)P(X=x) =X xg(x)P(X=x)

Var(X) =Eh

(X¡E[X])2i =X k(k¡E[X])2P[X=k] =E[X2]¡E[X]2 k2X()jkjP(X=k)<1 sa valeur moyenneE[X]. Exemple 18: nous avons la loi du nombreXde PILE quand on lance trois fois une piµece.

E[X] =3X

k=0kP[X=k] = 3¢1 8 + 2¢3 8 + 1¢3 8 + 0¢1 8 =12 8 =3 2

Var(X) =E[X2]¡E[X]2=3X

k=0k

2P[X=k]¡E[X]2

= 3

2¢1

8 + 22¢3 8 + 12¢3 8 + 02¢1 8

¡µ3

2 2 3 4 nbr de PILE [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0]

0.125 0.375 0.375 0.125

0.2 0.6 0.1 0.1

partir de quelques observations.

P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j]

P[(X;Y) = (i;j)] =P[X=i;Y=j].

touti2X(),

P[X=i] =X

j2Y()P[X=ijY=j]P[Y=j]

SoitZ=X+Y. Quelle est la loi deZ?

valeur que prendX, la valeur que prendYet la valeur deZ. XnY

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

pour tous1·i;j·6; P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j] = 1=36

2] =P[Z= 12] = 1=36,P[Z= 3] =P[Z= 11] = 2=36,P[Z= 4] =P[Z= 10] = 3=36,

1·j·12.

P[Z=j] =6X

i=1P[Z=jjX=i]P[X=i] 1 6 6 X i=1P[X+Y=jjX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡ijX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡i] rappeler queP[Y=k] = 1=6seulement sikest dansf1;:::;6g. preuve : pour le premier point, il faut observer que X yP(X=x;Y=y) =P³ (X=x)\([y(Y=y))´ =P³ (X=x)\´ =P(X=x) et il vient

E[X+Y] =X

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Cours de probabilites et statistiques´

Stage ATSM - Ao^ut 2010

Cours de probabilit

´es et statistiques

A. Perrut

Table des matiµeres

1 Le modµele probabiliste 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4TABLE DES MATIµERES

5 Tests statistiques 47

5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Tables statistiques 61

Chapitre 1

Le modµele probabiliste

1.1 Introduction

Exemples :

P(A) =3

P(¯lle) = limn!+1k

6CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exemples :

B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est

B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g

A½B

Ainclus dansB

AimpliqueB

AetBdisjoints

AetBincompatibles

Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().

P() =n

0.95 :Ava trµes probablement se produire.

4.0 : incorrect.

0.5 : une chance sur deux.

8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).

2)P(Ac) = 1¡P(A).

3)P(;) = 0.

5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).

2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).

3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.

1 =P() =X

D'oµup=P(!) =1

P(A) =X

P(BjA) =P(A\B)

P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

P(B) =P(B\A) +P(B\Ac)

On garde le m^eme formalisme.

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

P(B) =X

1etP(B)>0. Alors,

P(AjB) =P(BjA)P(A)

P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

P(AjB) =P(A\B)

P(B)=P(BjA)P(A)

P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)

F=\ le tableau comporte des fautes".

P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)

P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)

P(A\B) =P(A)P(B)

P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)

P(!) =P((x;y)) =1

12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

8!2; P(!) =1