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AES-Deuxieme Annee 2011-2012
Fonctions a une variable
A- Rappels de quelques formules sur la derivation
Sifetgsont des fonctions denies et derivables sur l'intervaleI, et si c est une constante : (cf)0=cf0 (f+g)0=f0+g0 (fg)0=f0g+fg0
Si de plus g ne s'annule pas surI:
fg 0 =f0gfg0g 2
En complement :
On rappelle que : (fog)(x) =f(g(x)) , on suppose quex2Dfetf(x)2Dg.
Derivation des fonctions composees :
(fog)0= (f0og)g0 Demontrer les formules correspondant a la derivee deLn(u(x)) eteu(x). De plus on notef1la fonction reciproque de la fonctionf. Par exemple la fonction reciproque de la fonction "carre" est la fonction racine carree. (f1)0=1f 0of1
Verier alors que (px)0=12
px
B-Exercices de calcul
Pour se derouiller, calculer les derivees des fonctions suivantes : f(x) =x2+ 3x7f(x) =x2x1f(x) =x2x
2x2f(x) =x2x2x
2+x2 f(x) =p3x1f(x) =1p3x1f(x) =px
3f(x) =2xp2x+ 1
f(x) =Ln(3x+ 1)f(x) =e3x1f(x) =Ln(x3)f(x) =ex2+1.
C- Applications economiques des fonctions
1- On donne les fonctions d'ore et de demande. Representer ces deux fonctions sur un
m^eme graphique et determiner les valeurs qui correspondent a l'equilibre du marche. a) ore :y=x2+ 5x+ 2 b) ore :y=x+ 5 demande :y=2x2+ 3 demande :y=10x+ 11 1
2- On sait que l'equilibre du marche se trouve au point (2;y0). La fonction d'ore est
donnee par :y=x2+ 2. La fonction de demande est donnee par :y=ax2+ 2x+ 6.
Trouveraety0.
D- Rappels sur la concavite des fonctions
On va considerer des fonctions qui sont au moins deux fois derivables sur leur domaine de denition. Une fonction est dite concave si la tangente se situe au dessus de la courbe, sif"(x)<0. Une fonction est dite convexe si la tangente se situe au dessous de la courbe, sif"(x)>0. Si la derivee seconde est continue, les points d'in exion correspondent aux valeurs de la variable qui annulent la derivee seconde.
Exemples :
1- Chercher les extrema et etudier la courbure de la fonctionf(x) =x32x2+x+ 1.
2- Soitf(x) = 3x42x3+ 1. Chercher les extrema de cette fonction ainsi que les points
d'in exion s' ils existent.
E-Prot, Revenu marginaux, situation de monopole :
Exercice de revision :
Si le co^ut total est deCT=x33x2+3x+1 determiner le co^ut moyen et le co^ut marginal pourx >0.
Donner l'esquisse des deux courbes.
Denition : Pour toute fonction de demandey=f(x) ouyrepresente le prix par unite demandee etxle nombre d'unites demandees le revenu totalRTest egal au produit dexpar y.RT=x:y=x:f(x). Le revenu marginal est egal a la derivee par rapport axdu revenu total.
Exemple :
Soit la fonction de demandey=2x+ 3. Determiner et representer le revenu total et le revenu marginal.
F-Prot en regime de monopole :
On contr^ole l'ore et le prix an de maximaliser le prot.
La fonction prot total est donnee parPT=RTCT.
Le prot total est maximal siPT0= 0 etPT"<0. Expliquer pourquoi cela signie que le prot est maximal quand le revenu marginal est egal au co^ut marginal.
Exemples :
1- La fonction de demande d'un bien esty= 185xet le co^ut total pour le monopoleur
est :CT=x33x2+ 3x+ 1. On cherche le prot maximal que le monopoleur peut obtenir.
2- Un fabriquant produitqunites par semaine a un co^ut total deq225
+ 3q+ 100. Il est en regime de monopole et la demande estq= 753poupest le prix d'une unite. Trouver le nombre d'unites que ce fabriquant doit produire par semaine pour maximiser son benece. Quel est le benece maximum? Quel est le prix de monopole? G- Exercices complementaires lies a la microeconomie : 2 Ex 1- Le co^ut marginal correspondant a la production d'un produitPest donne en fonction de la quantite produitexpar :Cm(x) =ax2+bx+c.
1) Preciser la condition permettant d'assurer que la fonctionCmadmet un minimum.
2) On donnea= 3. De plus l'equationCm(x) = 0 admet pour unique solution le reel 10.
Preciser l'expression deCm(x) en fonction dex.
3) Le co^ut total verieC(0) = 0. Preciser l'expression deC(x) en fonction dex, puis celle
du co^ut moyenM(x).
4) Tracer les representations graphiques deCmetMapres avoir etudier leurs variations
sur [0;+1[. Que peut-on remarquer a propos du minimum deM? Ex 2- Le co^ut total de gestion d'un stock est donne par la relation : C t(x) =Cr(x)+Cs(x) ouxest le nombre de produits commandes pour le reapprovisionnement, C r(x) est le co^ut du reapprovisionnement etCs(x)du stockage pourxproduits commandes.
On sait queCr(x) = 0;5xetCr(x) =2x
1) Representer les fonctionsCretCsdans le m^eme repere. En deduire l'allure de la courbe
deCt.
2) Etudier les variations de la fonctionCtet determiner la valeur dexpour laquelle le
co^ut total est minimal.
Ex 3 :
En fonction de la quantite produite le co^ut total d'une entreprise est donne par :
C(q) = 106+ 10q.
a) Calculer le co^ut marginal en fonction de la quantite produite ,Cm(q). b) Calculer le co^ut moyen en fonction de la quantite produite ,CM(q). c) Representer le co^ut marginal et le co^ut moyen sur le m^eme graphique. d) L'entreprise est en situation de monopole et la demande du marche est donne en fonction du prixppar :q= (20p)106. Exprimer en fonction deqle prix, la recette et le benece. Determiner la quantite et le prix pour lesquels le benece sera maximal, calculer alors ce benece. e) L'entreprise envisage alors une campagne de publicite dont elle attend une nouvelle fonction de demande :q= (22p)106. Quelle seraient les ventes si le prix reste inchange? Determiner la quantite et le prix pour lesquels le benece sera maximal, calculer alors ce benece. Quel budget maximum peut-on consacrer a la campagne de publicite? Que represente ce budget comme part des recettes attendues?
H-La fonction exponentielle :
La fonction exponentielle est denie surRmais a valeur dans ]0;+1[. Elle transforme une somme en produit c'est a direexp(x+y) =exp(x)exp(y). L'exponentielle de baseeverie de plusexp(1) =e.
On a :exp(0) = 1.
De plusexp(x)0=exp(x), la fonction est donc strictement croissante surR.
Justier les resultats suivants enexercices
exp(x) =1exp(x)exp(xy) =exp(x)exp(y) 3 Les remarques precedentes permettent de justier la notationexp(x) =ex.
Exercices
1- Faire le tableau de variation de cette fonction en y mettant toutes les informations que
vous pouvez obtenir. Faire la representation graphique de la fonctionexpen cherchant des valeurs avec la calculatrice.
2- On aeu(x)=u0(x)eu(x).
En utilisant cette formule preciser l'ensemble de denition et calculer les derivees des fonctions suivantes : f(x) =ex2g(x) =ex+ex2 h(x) =exe x1.
Probleme- Partie A :
On considere la fonctionfdenie par :f(x) =e2
x2+ex.
1) Calculer la derivee de la fonctionf.
2) Soit la fonctiongdenie par :g(x) =ex+ex.
Etudier le sens de variation deg. Calculerg(1) et en deduire le sens de variation de la fonctionf. Preciser les valeurs defen 0 et en 1.
Partie B :
La fonction precedentefrepresente le co^ut total de production d'une PMI en milliers d'euros pour une productionxexprimee en milliers d'objets ,xetant compris entre 0 et 3. SoitCsa courbe representative dans un repere orthonormal. a) Que representef(0)? Que represente la fonctiong? b) Interpreter le point d'abscisse 1. c) Etudier graphiquement le sens de variation du co^ut moyen. 4quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
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