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E 5 Déterminer que la somme des racines d’une équation du second degré ax2 + bx + c = 0 égale (-b/a), et que le produit des racines égale (c/a) E 6 Écrire une équation du second degré, étant donné les racines E 7 Résoudre des équations d’un degré supérieur à deux en les exprimant sous la forme d’une équation du second

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D’où le rectangle qui convient à pour dimension ‘= 17 p 17 4 et L= 17+ p 17 4 Soit k>0 et L k et ‘ k les dimensions d’un rectangle de périmètre kcm et d’aire kcm2 La recherche de dimension revient à résoudre l’équation du second degré suivante : ‘2 k k 2 ‘ + k= 0: On résout cette équation du second degré avec la

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Mathématiques B30

Équations du second degré

Module de l'élève

2002

Mathématiques B30

Équations du second degré

2

4DbacZJ

Module de l'élève

Bureau de la minorité de langue officielle

200
2

P.ii - Math B30 - Équations second degré

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectifs généraux

L'élève sera capable de:

• Démontrer l'habileté à résoudre des équations du second degré • Écrire une équation du second degré en analysant les racines données

Objectifs spécifiques

L'élève sera capable de:

E.1 Résoudre des équations du second degré à l'aide de la formule quadratique E.2 Résoudre des équations du second degré ayant des racines complexes E.3 Résoudre des problèmes exigeant l'application des équations du second degré dans la vie courante E.4 Déterminer la nature des racines d'une équation du second degré à l'aide du discriminant E.5 Déterminer que la somme des racines d'une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 égale (-b/a), et que le produit des racines égale (c/a). E.6 Écrire une équation du second degré, étant donné les racines E.7 Résoudre des équations d'un degré supérieur à deux en les exprimant sous la forme d'une équation du second degré, ex.: x 4 - 34x 2 + 225 = 0 E.8 Résoudre des inéquations du second degré

P.ii - Math B30 - Équations second degré

Remerciements

Certains exercices et exemples ont été adaptés, avec permission, des documents de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public School Division, 1999) et Algèbre 30, manuel de l'élève, BMLO, 1988.

P.1 - Math B30 - Équations second degré

1. Résolution d'équations du second degré

Tu as déjà appris à résoudre des équations quadratiques en utilisant trois méthodes; la mise en facteurs, la complétion du carré et la formule quadratique. Revoyons-les à travers quelques exemples.

1.1 La mise en facteurs

Exemple 1 : Résous l'équation à l'aide de la 2

61360aaHHZ

factorisation.

Solution

EFHZ32230aaHHZ

ou320aHZ230aHZ ou Ĕ ensemble solution: 2 3aJZ3 2aJZ 33
2,

1.2 La complétion du carré

Exemple 2 : Détermine l'ensemble solution de l'équation en complétant le carré 2

21670xxHHZ

Solution

2

7802xxHHZ

2

782xxHZJ

2

7816 162xxHHZJH

EF

22542xHZ

2542xHZÎ

5524422xZJ Î ZJ Î

P.2 - Math B30 - Équations second degré

Ĕ ensemble solution:

2852
2,

P.3 - Math B30 - Équations second degré

ax bx c x b axc a x b axc a x b axb ab ac a x b abac a x b abac a x b abac a x bb ac a 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 44
2 4 4 2 4 4 2 4 2 4 2HHZ HHZ HZJ HHZJ H

ĕĔZJ

HZÎ

J

ZJ Î

J Z

JÎ J

1.3 L'utilisation de la formule quadratique

Avant de montrer un exemple de résolution d'équation du second degré en utilisant la formule quadratique, il est important de reconnaître qu'en complétant le carré de l'équation générale où , on arrive à développer cette 2

0ax bx cHHZ0aÖ

fameuse "formule quadratique» qui nous permet de résoudre n'importe quelle équation quadratique.

Voici le développement

de la formule: Plusieurs équations quadratiques ont des solutions dans l'ensemble des nombres réels. Toutefois, les équations quadratiques peuvent aussi avoir des solutions dans l'ensemble

P.4 - Math B30 - Équations second degré

des nombres complexes. Les deux exemples qui suivent illustrent ces deux possibilités.

P.5 - Math B30 - Équations second degré

xx ab c x bb ac a x x x x 2 2 2 890
189
4 2 88419
21
86436
21
828
2 827

247JHZ

ZZJZ Z

JÎ J

Z

JJ Î J J

Z ÎJ Z Z

ÎZÎ

ab c x bb ac a x x x x iiZZJZ Z

JÎ J

Z

JJ Î J J

Z ÎJ Z ÎJ Z

ÎZÎ1413

4 2

444113

21

4164113

21
436
2 46
223
2 2 Exemple 3 : Détermine l'ensemble solution de l'équation suivante en utilisant la formule quadratique: xx 2 89ZJ
Solution On doit tout d'abord s'assurer que l'équation est écrite sous la forme générale 2

0ax bx cHHZ

Exemple 4 :

La solution de est

xx 2

4130JHZ

montrée ci-contre.

P.6 - Math B30 - Équations second degré

Il est aussi possible d"utiliser la calculatrice

à affichage graphique pour résoudre une

équation du second degré. Par exemple, le

graphique de l"équation possède l"allure suivante. 2

12yx xZJJ

Il existe plus d'une méthode pour

détermine r les zéros de l'équation, qui représent ent son ensemble solution. Entre autres, nous pouvons déterminer un des zéros en appuyant sur y r et ensuite sur 2. L'écran suivant devrait apparaître: À l'aide de la flèche de déplacement gauche, il faut se déplacer de manière à ce que le curseur se trouve au-dessus de l'axe des x , comme le montre la figure ci-contre. Nous venons alors de déterminer la borne inférieure de l'intervalle à l'intérieur duquel nous voulons que la calculatrice détermine le zéro. Avant d'aller plus loin, il faut appuyer sur

P.7 - Math B30 - Équations second degré

Pour indiquer la borne supérieure, il faut déplacer le curseur avec la flèche de droite jusqu"à ce que celui-ci se trouve sous l"axe des x, tel qu'illustré ci-contre. Il faut alors appuyer sur

P.8 - Math B30 - Équations second degré

La calculatrice demandera alors d"estimer la

valeur. On peut entrer une valeur ou simplement appuyer de nouveau sur jusqu'à ce que la solution apparaisse.

La calculatrice nous indique alors que la

racine est située au point (-3,0). Une des solutions de l'équation est donc -3.

En répétant les mêmes étapes, nous

trouverons que l'autre racine est 4.

L'ensemble solution est donc .

˜Z3,4J

Il est à noter que les valeurs de x qui rendent f(x) égal à 0 ont des noms différents selon la situation. Lorsqu'on utilise le terme racines, on se réfère à une équation. Lorsqu'on utilise le terme zéros, on se réfère à une fonction. Lorsqu'on utilise le terme abscisses à l'origine, on se réfère à un graphique.

Équation Fonction Graphique

ax 2 + bx + c = 0 EF 2 fxaxbxcZHH racines zéros abscisses à l'origine

P.9 - Math B30 - Équations second degré

P.10 - Math B30 - Équations second degré

Exercice 1

Pour les questions suivantes, il est important de montrer les détails de tes calculs!

1. Résous par la mise en facteurs.

a) 3a 2 > 7a + 4 = 0 b)6y 2 = 7y + 3 c)(y > 3)(2y + 3) = 5 d)2x 2 + 5x + 3 = 0 e)3c 2 = 5c f)18n 2 > 3n = 1 g)10y 2 = y h)(x > 5)(x + 5) > x = >19

2. Résous en complétant le carré.

a) a 2 > 10a + 21 = 0 b)x 2 + 8x > 84 = 0 c)b 2 + 3b > 8 = 0 d)a 2 > 8a + 14 = 0 e)x 2 > 7x + 5 = 0 f)3x 2 + 2 = 9x g)4x 2 > 2x > 5 = 0 h)3x 2 = 5(x > 1) 2

3. Résous en employant la formule quadratique. Exprime les racines

irrationnelles sous forme radicale simplifiée. a) x 2 > x > 30 = 0 b)5x 2 > x > 4 = 0 c)4x 2 > 2 = 3x d)2a(a > 5) = > 1 e)2x 2 = 13(x > 1) + 3 f)3x 2 + 5x + 1 = 0

P.11 - Math B30 - Équations second degré

g)10a 2 = 1 > 2a h)2x 2 + 6x + 3 = 0

P.12 - Math B30 - Équations second degré

4. Résous en employant la formule quadratique. Exprime les racines

imaginaires sous la forme ( ) abiH a)x 2 > 3x + 5 = 0 b)6x 2 > 13x > 5 = 0 c)3x 2 > 6x + 8 = 0 d)2x 2 > 5x + 4 = 0 e)5x 2 = 8(x > 3) >12 f)x(3x > 5) = >1 g)2y 2 = 5y > 7 h)0 = x 2 + x + 3

5. a) Trouve les racines de l'équation: x

2 > 6x + 8 = 0. b) Trouve les racines de l'équation: x 2 + 16 = 0. c) Trouve les zéros de la fonction: f(x) = x 2 > 4x > 2. d) Trouve les zéros de la fonction: f(x) = 5 > (x >

3)(2x + 3).

e) Trouve les abscisses à l'origine de: y = x 2 > x > 6. f) Trouve les abscisses à l'origine de: y = 3x 2quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48