Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
montrer que si m et n sont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupes µ mn et µ m ×µ n ne sont pas isomorphes Exercice 13 Soit n et d deux entiers tels que d divise n On d´efinit une application f : µ n → µ d qui a s associe sn/d Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
Entier naturel k tel que n = 2 k Exemple : 6 = 2 x 3 k =3 donc 6 est nombre pair Définition2: on dit qu’un nombre impair s’il existe un entier naturel k tel est un nombre pairque n = 2 k+1 Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair Exercice : a et b 2 2 2 Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels :
exercices suites - bagbouton
1) Montrer que l’équation f xn ( ) = 0 admet une unique solution réelle noyée un et que cette solution est strictement positive 2) Montrer que pourn ‡3, on a 1 ln£ £u nn ( ) 3) Montrer que pour tout nstrictement positif, ln ln(u u nn n)+ = ( ) 4) Montrer que n ln( ) n u n fi+¥: 5) Donner un équivalent de u nn-ln( ) lorsque ntend vers+¥
Exercices de Colles de Sup - École Normale Supérieure
Montrer que n k=1 1 p k tend vers +1quand n1 Solution On ommencce arp montrer que P n = Q n k=1 1 1 1 pk tend vers 1 En e et, en tronquant la somme in nie et en développant le prduit,o on trouve P n 1 + :::+ 1 n La série de terme général ln 1 1 1 pk diverge donc, et on montre que ourp kassez grand, ec terme général est inférieur ou
Correction - u-bordeauxfr
(f) Soit z2Z[i] tel que N(z) est un nombre premier Montrer que zest irréductible dans Z[i] Supposons que z= w 1w 2, où w 1;w 2 2Z[i], et montrons que w 1 ou w 2 est inversible Par la question 3b, N(z) = N(w 1)N(w 2): Puisque N(z) est premier, ceci implique que soit N(w 1) = 1 soit N(w 2) = 1, et on applique la question 3d pour conclure
1 Divisibilit´e, congruences, PGCD, Identit´e de B´ezout
n − 1 Montrer par l’absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k +3 (d) Montrer que ceci est impossible et donc que X est infini 3 Une autre preuve du petit th´eor`eme de Fermat (a) Soit p un nombre premier et i ∈ N compris entre 1 et p − 1 Montrer que p divise le coefficient binomial Ci p = p i(p−i)
TD 03 : Matrices
(a)Montrer que le réel detAest une racine d’un polynome de R 3[X] que l’on déterminera (b)En déduire que si A est inversible, alors n est pair Dans la suite, on suppose que n = 3 et on note F = ker(f2 + Id E) (c)Montrer que R3 = ker(f) ⊕F (d)Montrer que F est stable par f, et que l’endomorphisme g:= f F induit par f sur F
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé Exercice no 1 Montrons par récurrence que : ∀n∈ N, 2n >n • Pour n=0, 20 =1>0 L’inégalité à démontrer est donc vraie quand n=0
TD4-Corrigés
Montrer que la famille ((5,4,1),(1,2,0)) est libre et la compléter en une base de R3 2 Dans Mn(R), on note A le sous-espace des matrices antisymétriques et S le sous-espace des matrices symétriques Rappeler la définition des éléments de ces deux espaces Montrer que A et S sont supplémentaires dans Mn(R) 3 Soit P 2K[X] de degré n
[PDF] on note dn le pgcd de n(n+3) et de (2n+1)
[PDF] pgcd(a^2 b^2)
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[PDF] pgcd*ppcm=ab
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