Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotient
montrer que si m et n sont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupes µ mn et µ m ×µ n ne sont pas isomorphes Exercice 13 Soit n et d deux entiers tels que d divise n On d´efinit une application f : µ n → µ d qui a s associe sn/d Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est µ n/d
Notion d’arithmétique et l’Ensemble des nombres entiers
Entier naturel k tel que n = 2 k Exemple : 6 = 2 x 3 k =3 donc 6 est nombre pair Définition2: on dit qu’un nombre impair s’il existe un entier naturel k tel est un nombre pairque n = 2 k+1 Exemple : 11 = 2 x 5+1 k =5 donc 11 est nombre impair Exercice : a et b 2 2 2 Montrer que si a est pair et b impair alors la somme est un nombre impair
1 Montrer qu’un espace est (ou n’est pas) un espace vectoriel
E n’est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 ∈/ E, ou qu’il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu’il existe a ∈ E avec λa /∈ E pour un certain λ ∈ R Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels :
exercices suites - bagbouton
1) Montrer que l’équation f xn ( ) = 0 admet une unique solution réelle noyée un et que cette solution est strictement positive 2) Montrer que pourn ‡3, on a 1 ln£ £u nn ( ) 3) Montrer que pour tout nstrictement positif, ln ln(u u nn n)+ = ( ) 4) Montrer que n ln( ) n u n fi+¥: 5) Donner un équivalent de u nn-ln( ) lorsque ntend vers+¥
Exercices de Colles de Sup - École Normale Supérieure
Montrer que n k=1 1 p k tend vers +1quand n1 Solution On ommencce arp montrer que P n = Q n k=1 1 1 1 pk tend vers 1 En e et, en tronquant la somme in nie et en développant le prduit,o on trouve P n 1 + :::+ 1 n La série de terme général ln 1 1 1 pk diverge donc, et on montre que ourp kassez grand, ec terme général est inférieur ou
Correction - u-bordeauxfr
(f) Soit z2Z[i] tel que N(z) est un nombre premier Montrer que zest irréductible dans Z[i] Supposons que z= w 1w 2, où w 1;w 2 2Z[i], et montrons que w 1 ou w 2 est inversible Par la question 3b, N(z) = N(w 1)N(w 2): Puisque N(z) est premier, ceci implique que soit N(w 1) = 1 soit N(w 2) = 1, et on applique la question 3d pour conclure
1 Divisibilit´e, congruences, PGCD, Identit´e de B´ezout
n − 1 Montrer par l’absurde que a admet un diviseur premier de la forme 4k +3 (d) Montrer que ceci est impossible et donc que X est infini 3 Une autre preuve du petit th´eor`eme de Fermat (a) Soit p un nombre premier et i ∈ N compris entre 1 et p − 1 Montrer que p divise le coefficient binomial Ci p = p i(p−i)
TD 03 : Matrices
(a)Montrer que le réel detAest une racine d’un polynome de R 3[X] que l’on déterminera (b)En déduire que si A est inversible, alors n est pair Dans la suite, on suppose que n = 3 et on note F = ker(f2 + Id E) (c)Montrer que R3 = ker(f) ⊕F (d)Montrer que F est stable par f, et que l’endomorphisme g:= f F induit par f sur F
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé
Planche no 2 Raisonnement par récurrence : corrigé Exercice no 1 Montrons par récurrence que : ∀n∈ N, 2n >n • Pour n=0, 20 =1>0 L’inégalité à démontrer est donc vraie quand n=0
TD4-Corrigés
Montrer que la famille ((5,4,1),(1,2,0)) est libre et la compléter en une base de R3 2 Dans Mn(R), on note A le sous-espace des matrices antisymétriques et S le sous-espace des matrices symétriques Rappeler la définition des éléments de ces deux espaces Montrer que A et S sont supplémentaires dans Mn(R) 3 Soit P 2K[X] de degré n
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Universit´e Lille 1Alg`ebre
2010/11M51.MIMPFiche n
◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientExercice 1SoientG,G?deux groupes etfun homomorphisme deGdansG?. Montrer que
siA?G, alorsf(?A?) =?f(A)?. Montrer par contre qu"il est faux que siA??G?, alors f -1(?A??) =?f-1(A?)?. Exercice 2SoitGun groupe tel que l"applicationx→x-1soit un morphisme. Montrer queGest commutatif.
Exercice 3D´eterminer tous les homomorphismes de groupes deZ/3ZdansZ/7Z, deZ/3Z dansZ/12Z, deZ/12ZdansZ/3Z. Exercice 4SoientGun groupe etn?1 un entier tels que l"applicationx→xnsoit un automorphisme deG. Montrer que pour tout ´el´ementxdeG,xn-1appartient au centre deG. Exercice 5Montrer que le groupe des automorphismes du groupeZ/2Z×Z/2Zest isomorphe au groupe sym´etriqueS3. Exercice 6Montrer qu"un sous-groupe d"indice 2 dans un groupeGest distingu´e dansG. Exercice 7SoitGun groupe etHun sous-groupe. On suppose que le produit de deux classes `a gauche moduloHest une classe `a gauche moduloH. Montrer queHest distingu´e dansG. Exercice 8SoitGun groupe et?une relation d"´equivalence surG. On suppose que cette relation est compatible avec la loi de groupe, c"est `a dire que ?x,y?G?x?,y??G x?x?ety?y?alorsxy?x?y? Montrer que la classeHde l"´el´ement neutre 1 est un sous-groupe distingu´e deGet que ?x,x??G x?x?est ´equivalent `ax?x-1?H Exercice 9SoitGun groupe etK?H?Gdeux sous-groupes. On suppose queHest distingu´e dansGet queKest caract´eristique dansH(i.e. stable par tout automorphisme deH). Montrer qu"alorsKest distingu´e dansG.
Donner un exemple de groupeGet de deux sous-groupesK?H?G,H´etant distingu´e dans GetK´etant distingu´e dansH, maisKn"´etant pas distingu´e dansG. Exercice 10(a) Montrer que pour tous entiersm,n >0 premiers entre eux, les deux groupes (Z/mnZ)×et (Z/mZ)××(Z/nZ)×sont isomorphes. En d´eduire que?(mn) =?(m)?(n), o`u ?est la fonction indicatrice d"Euler. (b) Le groupe multiplicatif (Z/15Z)×est-il cyclique? Montrer que (Z/8Z)×?Z/2Z×Z/2Z, que (Z/16Z)×?Z/4Z×Z/2Z. Etudier le groupe multiplicatif (Z/24Z)×. 1 Exercice 11(a) Montrer que simetnsont des entiers premiers entre eux et qu"un ´el´ement zd"un groupeGv´erifiezm=zn=eo`ued´esigne l"´el´ement neutre deG, alorsz=e. (b) Montrer que simetnsont deux entiers premiers entre eux, l"applicationφ:μm×μn→μmn
qui au couple (s,t) fait correspondre le produitstest un isomorphisme de groupesExercice 12Montrer que les groupesμ4etμ2×μ2ne sont pas isomorphes. De fa¸con g´en´erale
montrer que simetnsont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupesμmnet m×μnne sont pas isomorphes. Exercice 13Soitnetddeux entiers tels queddivisen. On d´efinit une applicationf:μn→μd qui `asassociesn/d. Montrer quefest un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est n/d. Exercice 14Soitf:G→Hun morphisme de groupes finis. SoitG?un sous-groupe deG. Montrer que l"ordre def(G?) divise les ordres deG?et deH. Exercice 15Soitf:G→Hun morphisme de groupes finis. SoitG?un sous-groupe deG d"ordre premier `a l"ordre deH. Montrer queG??ker(f). Exercice 16SoitGun groupe fini etHetKdeux sous-groupes deG. On suppose queHest distingu´e dansG, que|H|et|G/H|sont premiers entre eux et|H|=|K|. Montrer queH=K.Exercice 17Soitfun morphisme de groupesf:Q→Q×>0,Q´etant muni de l"addition etQ?>0muni de la multiplication. Calculerf(n) en fonction def(1) pour tout entiern >0. Montrer
que les deux groupes pr´ec´edents ne sont pas isomorphes. Exercice 18Trouver tous les morphismes du groupe additifQdans lui mˆeme.Mˆeme question deQdansZ.
Mˆeme question deZ/mZdansZ.
Exercice 19Etant donn´es deux entiersm,n >0, d´eterminer tous les morphismes de groupe deZ/mZdansZ/nZ, puis tous les automorphismes deZ/nZ. Exercice 20SoitGun groupe etHun sous groupe distingu´e deGd"indicen. Montrer que pour touta?G,an?H. Donner un exemple de sous-groupeHnon distingu´e deGpour lequel la conclusion pr´ec´edente est fausse. Exercice 21SoitGun groupe fini etHun sous-groupe distingu´e d"ordrenet d"indicem. On suppose quemetnsont premiers entre eux. Montrer queHest l"unique sous-groupe deG d"ordren. Exercice 22Montrer que SLn(R) est un sous-groupe distingu´e du groupe GLn(R) et que le groupe quotient est isomorphe `aR×. 2Exercice 23On consid`ere les groupes suivants :
T={z?C||z|= 1}μn={z?C|zn= 1}μ∞={z?C|?n zn= 1} (a) Montrer les isomorphismes suivants : R/Z?TC×/R×>0?TC×/R×?T T/μn?TC×/μn?C× (b) Montrer queμ∞?Q/Z. Quels sont les sous-groupes finis deμ∞? (c) Montrer qu"un sous-groupe de type fini deQcontenantZest de la forme1qZ. En d´eduire
la forme des sous-groupes de type fini deQ/Zet deμ∞. (d) Soitpun nombre premier. Montrer queμp∞={z?C|?n?Nzpn= 1}est un sous-groupe deμ∞. Est-il de type fini? Exercice 24SoitGun sous-groupe d"indice fini du groupe multiplicatifC×. Montrer queG=C×.
Exercice 25SoitGun groupe etHun sous-groupe contenu dans le centreZ(G) deG. Montrer queHest distingu´e dansGet que, si le groupe quotientG/Hest cyclique,G=Z(G). Exercice 26Montrer qu"un groupe d"ordrep2o`upest un nombre premier est ab´elien. Exercice 27SoitGun groupe ab´elien de cardinalpqo`upetqsont deux nombres premiers distincts. Montrer queGest un groupe cyclique.Exercice 28(Th´eor`eme de Wilson).
Montrer qu"un nombre entierpest premier ssi (p-1)! + 1≡0 [mod p].Exercice 29(Th´eor`eme de Cauchy).
SoitGun groupe ab´elien d"ordrem.
(a) Montrer que sixn= 1 pour toutx?G, alorsmdivise une puissance den. (b) Soitpun nombre premier divisantm. Montrer qu"il existe un ´el´ement deGdont l"ordre est divisible parp. (c) En d´eduire que sip|m, il existe un ´el´ement deGd"ordrep. Exercice 30(Indicateur d"Euler?(n)). On consid`ere le groupe additifZ/nZ(n?2). (a) Montrer que pour touta?Z, ¯aest un g´en´erateur deZ/nZssiaetnsont premiers entre eux. On note?(n) le nombre de g´en´erateurs deZ/nZ. (b) Montrer que sipest premier,?(pα) =pα-pα-1(o`uα?1 est un entier). (c) Montrer que simetnsont premiers entre eux, alors?(mn) =?(m)?(n). En d´eduire que pourn=pα11···pαkk, on a?(n) =n(1-1p1)···(1-1p
k). (d) Montrer que pour tout entiern?1,? d|n?(d) =net que cette propri´et´e caract´erise la fonction?. Exercice 31(a) SoitGun groupe ab´elien fini d"ordren. On suppose que pour tout diviseur dden, l"ensembleG(d) ={x?G|xd= 1}a au plusd´el´ements. Montrer qu"il y a dansG exactement?(d) ´el´ements d"ordred.(b) En d´eduire que siKest un corps fini, alors le groupe multiplicatif (K×,×) est cyclique.
3Exercice 32(a) Soitpun nombre premier. Montrer que tout morphisme de groupes entreFnpetFmpest une applicationFp-lin´eaire.
(b) Montrer que le groupe des automorphismes deZ/pZest isomorphe au groupe multiplicatif F ?p. (c) D´eterminer le nombre d"automorphismes deFnp. Exercice 33D´eterminer le centre du groupeGLn(Fp) des automorphismes de (Fp)n. Exercice 34Soitpun nombre premier. Montrer qu"un groupe ab´elien fini, dont tous les ´el´ements diff´erents de l"´el´ement neutre sont d"ordrep, est isomorphe `a (Z/pZ)n. Exercice 35(a) SoitGun groupe etHun sous-groupe distingu´e deG. On note?la surjection canonique?:G→G/H. Montrer que l"ordre d"un ´el´ementxdeGest un multiple de l"ordre de?(x). (b) Pour toutx?Gon poseτxl"application deGdansGd´efinie parτx(y) =xyx-1. Montrer queτxest un automorphisme deGet que l"application x→τx est un morphisme de groupes deGdans Aut(G). Quel est le noyau de ce morphisme? (c) On suppose queGest fini et queHest un sous-groupe distingu´e dont l"ordre est le plus petit nombre premierpdivisant l"ordre deG. Montrer que pour toutx?Gl"ordre de la restriction `aHdeτxest un diviseur dep-1 et de l"ordre deG. En d´eduire queτxrestreint `aHest l"identit´e pour toutxet donc queHest contenu dans le centre deG. Exercice 36SoitGun groupe. On appelle groupe des commutateurs deGet l"on noteD(G) le sous-groupe deGengendr´e par les ´el´ements de la formexyx-1y-1. Montrer queD(G) est distingu´e dansGet que le quotientG/D(G) est ab´elien. Montrer queD(G) est le plus petit sous-groupe distingu´e deGtel que le quotient deGpar ce sous-groupe soit ab´elien. Exercice 37SoitGun groupe d"ordrep3o`upest un nombre premier. Montrer que siGn"est pas commutatif,Z(G) =D(G) et que ce sous-groupe est d"ordrep. 4Universit´e Lille 1Alg`ebre
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◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientIndication 1Standard.Indication 2(xy)-1=x-1y-1?xy=yx.
Indication 10(a) est standard. En utilisant (a), on obtient (Z/15Z)×?Z/2Z×Z/4Z,lequel n"est pas cyclique puisque tous les ´el´ements sont d"ordre 1, 2 ou 4. Le reste ne pose pas
de grandes difficult´es.Indication 11(a) Bezout. (b)φest injectif et ensembles de d´epart et d"arriv´ee ont mˆeme
cardinal.Indication 13e2ikπ/d=?e2ikπ/n?n/d(k?Z).
Indication 14f(G?) est un sous-groupe deHisomorphe `aG?/(ker(f)∩G?).Indication 15R´esulte de l"exercice 14.
Indication 18Les morphismes du groupe (Q,+) dans lui-mˆeme sont de la formex→axavec a?Q. Les morphismes du groupe (Q,+) dans (Z,+) sont, parmi les pr´ec´edents, ceux dont l"image est dansZ; il n"y a que le morphisme nul. Les morphismes du groupe (Z/mZ,+) dans(Z,+) sont d´etermin´es par l"entierf(1) qui doit v´erifiermf(1) = 0; il n"y a que le morphisme
nul, sim?= 0. Indication 19L"ensemble Hom(Z/mZ,Z/nZ) des morphismes de groupe deZ/mZdans Z/nZest un groupe ab´elien pour l"addition naturelle des morphismes. On noteδle pgcd dem etnetm?etn?les entiersm/δetn/δ. Sip:Z→Z/mZd´esigne la surjection canonique, la correspondance associant `a toutf?Hom(Z/mZ,Z/nZ) l"´el´ementf◦p(1) induit un isomor- phisme de groupe entre Hom(Z/mZ,Z/nZ) et le sous-groupen?Z/nZdu groupe additifZ/nZ, lequel est isomorphe `aZ/δZ. L"ensemble Aut(Z/nZ) des automorphismes deZ/nZest un groupe pour la composition. La correspondance pr´ec´edente induit un isomorphisme entre Aut(Z/nZ) et le groupe (Z/nZ)×des inversibles deZ/nZ. Indication 22Le morphisme "d´eterminant" de GLn(R) dansR×est surjectif et de noyau SL n(R). Indication 26Utiliser l"exercice 25 avecH=Z(G) et le fait que le centre d"unp-groupe est non trivial. Indication 27Montrer d"abord que siaest d"ordrepetb?G\< a >, alorsbest d"ordreq oupq). 1 Indication 29Pour le (a), faire une r´ecurrence surmen introduisant le sous-groupeHen- gendr´e par un ´el´ement deGet le groupe quotientG/H. Utiliser (a) pour montrer (b), puis montrer (c). Indication 31Pour le (a), montrer d"abord que s"il existe un ´el´ementx?Gd"ordred, alors ?x?=G(d)). Pour le (b), utiliser le (d) de l"exercice pr´ec´edent.Indication 33Exercice classique d"alg`ebre lin´eaire :Z(GLn(Fp)) =F×p·Idn(o`u Idnd´esigne
la matrice identit´e d"ordren). Indication 35Les questions (a) et (b) ne pr´esentent aucune difficult´e. Pour la question (c), noter que, pour toutx?G, on a (τx)|G|= 1, et que la restriction deτx`a Happartient `a Aut(H)?Aut(Z/pZ) (et utiliser l"exercice 19). Indication 36Aucune difficult´e. Observer que tout conjugu´e d"un commutateur est un com- mutateur et qu"un quotientG/Hest ab´elien si et seulement si pour tousu,v?G, on a uvu -1v-1?H. 2Universit´e Lille 1Alg`ebre
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◦2:Morphisme, sous-groupe distingu´e, quotientCorrection 4Soientx,y?Gquelconques. De (xy)n=xnyn, on d´eduit (yx)n-1=xn-1yn-1
puis (yx)n=yxnyn-1et doncynxn=yxnyn-1, ce qui donneyn-1xn=xnyn-1. Ainsi, pour tout y?G,yn-1commute `a tous les ´el´ements de la formexnavecx?G, et est donc dans le centre deG, puisque l"applicationx→xnest suppos´ee surjective. Correction 5Tout automorphisme?du groupeG=Z/2Z×Z/2Zpermute les trois ´el´ementsd"ordre 2, c"est-`a-dire l"ensembleG?des trois ´el´ements non triviaux. La correspondance qui `a
??Aut(Z/2Z×Z/2Z) associe sa restriction `aG?induit un morphismeχ: Aut(Z/2Z× Z/2Z)→S3. Tout morphisme??Aut(Z/2Z×Z/2Z) ´etant d´etermin´e par sa restriction `aG?, ce morphismeχest injectif. De plus, tout automorphisme lin´eaire (pour la structure deZ/2Z-espace vectoriel deZ/2Z×Z/2Z) est un automorphisme de groupes. Il y a 6 tels automorphismes (autant qu"il y a de bases). L"image deχcontient donc au moins 6 ´el´ements. Comme c"est un sous-groupe deS3, c"estS3lui-mˆeme etχest un isomorphisme. Correction 6Le sous-groupeHest `a la fois la classe `a gauche et la classe `a droite modulo Hde l"´el´ement neutre. Si [G:H] = 2, son compl´ementaireHcdansGest donc l"autre classe, `a droite et `a gauche. Classes `a droite et classes `a gauche coincident donc, soitgH=Hget donc gHg -1=Hgg-1=Hpour toutg?G. Correction 7D"apr`es l"hypoth`ese, pour toutx?G, il existez?Gtel quexH·x-1H=zH. On en d´eduitxHx-1?zH. Cela entraine que 1?zHet donc quez?H. D"o`u finalement xHx -1?H. Correction 8Etant donn´esy,z?H, on ay?1 etz?1. La compatibilit´e de la loi donne d"une partyz?1, soityz?H, et d"autre partyy-1?y-1soity-1?H. Cela montre queH est un sous-groupe deG. Pour toutx?G, on a aussixyx-1?x1x-1= 1 et doncxyx-1?H.Le sous-groupeHest donc distingu´e.
De plus, pourx,x??G, six?x?, alors par compatibilit´e de la loi, on ax?x-1?xx-1= 1, c"est- `a-direx?x-1?H. R´eciproquement, six?x-1?H, alorsx?x-1?1, et donc, par compatibilit´e de la loi,x?x?. Correction 9Pour toutg?G, la conjugaisoncg:G→Gparginduit un automorphisme deHsiHest distingu´e dansG. Si de plusKest caract´eristique dansH, alorsKest stable parcg. D"o`uKest alors distingu´e dansG. Le sous-ensembleV4du groupe sym´etriqueS4consistant en l"identit´e et les trois produits de transpositions disjointes : (12)(34), (13)(24) et (14)(23) est un sous-groupe (v´erificationimm´ediate) qui est distingu´e : cela r´esulte de la formuleg(ij)(kl)g-1= (g(i)g(j))(g(k)g(l))
pouri,j,k,l? {1,2,3,4}distincts. Le sous-groupeK(d"ordre 2) engendr´e par (12)(34) est distingu´e dansV4(carV4est ab´elien). MaisKn"est pas distingu´e dansS4(comme le montre encore la formule pr´ec´edente). 1Correction 12Le groupeμmna un´el´ement d"ordremn. En revanche tout´el´ementx?μm×μn
v´erifiexμ= 1 avecμ= ppcm(m,n) et est donc d"ordre un diviseur deμ, lequel est< mnsi metnne sont pas premiers entre eux. Les groupesμmnetμm×μnne peuvent donc pas ˆetre isomorphes. Correction 16Consid´erons la surjection canoniques:G→G/H. D"apr`es l"exercice 14, |s(K)|divise pgcd(|K|,|G/H|) qui est ´egal `a pgcd(|H|,|G/H|) (puisque|H|=|K|) et vaut donc 1. Conclusion :s(K) ={1}, c"est-`a-direK?H. D"o`uK=Hpuisqu"ils ont mˆeme ordre. Correction 17On af(n) =f(1)npour tout entiern >0. Mais on a aussif(1/n)n=f(1) pour toutn >0. Cela n"est pas possible car un nombre rationnel positif?= 0,1 ne peut ˆetre une puissancen-i`eme dansQpour toutn >0. (Pour ce dernier point, noter par exemplequ"ˆetre une puissancen-i`eme dansQentraˆıne que tous les exposants de la d´ecomposition en
facteurs premiers sont des multiples den). Les deux groupes (Q,+) et (Q×+,×) ne sont donc pas isomorphes. Correction 20On an=|G/H|. Pour toute classeaH?G/H, on a donc (aH)n=Hc"est- `a-dire,anH=Hou encorean?H. Cela devient faux siHn"est pas distingu´e dansG. Par exemple le sous-groupeHdeS3engendr´e par la transposition (12) est d"indice 3 dansS3et, poura= (23), on aa3=a /?H. Correction 21SoitH?un sous-groupe deGd"ordrenet d"indicem. Pour touth?H?, on a h n= 1 ethm?H(cf exercice?). Puisquenetmsont premiers en eux, on peut trouveru,v?Z tels queum+vn= 1. On obtient alorsh= (hm)u(hn)v?H. D"o`uH??Het doncH=H? puisque|H|=|H?|. Correction 23(a) La correspondancex→e2iπxinduit un morphismeR→T, surjectif et de noyauZ. D"o`uR/Z?T. La correspondancez→z/|z|induit l"isomorphismeC×/R×+?T. Similairementz→z2/|z|2fournit l"isomorphismeC×/R×?T. Les isomorphismesT/μn?T etC×/μn?C×s"obtiennent `a partir de la correspondancez→zn.(b) La correspondancex→e2iπxinduit un morphismeQ→μ∞, surjectif et de noyauZ. D"o`u
Q/Z?μ∞. SiGest un sous-groupe fini deμ∞, alors il existem?Ntel queG?μm. Les sous-groupes du groupe cycliqueμmsont lesμno`un|m. (c) SoitGun sous-groupe deQde type fini, c"est-`a-dire engendr´e par un nombre fini de rationnelsp1/q1,...,pr/qr. On a alorsq1···qrG?Z. Soitqle plus petit entier>0 tel que qG?Z. Le sous-groupeqGest de la formeaZaveca?Npremier avecq(car l"existence d"un facteur commun contredirait la minimalit´e deq). On obtientG= (a/q)Z. Si de plusZ?G alors 1?Get s"´ecrit donc 1 =ka/qaveck?Z, ce qui donneka=q. Comme pgcd(a,q) = 1, on a n´ecessairementa= 1 et doncG= (1/q)Z. Soits:Q→Q/Zla surjection canonique. SiGest un sous-groupe de type fini deQ/Z, alors G=s-1(G) est un sous-groupe deQ, contenantZet de type fini (sip1/q1,...,pr/qrsont desant´ec´edents parsde g´en´erateurs deG, alors 1,p1/q1,...,pr/qrengendrentG). D"apr`es ce qui
pr´ec`ede, on aG=1qZet doncG=1q
Z/Z, qui est isomorphe `aZ/qZ.
Via l"isomorphisme de la question (b), on d´eduit les sous-groupes deQ/Zde type fini : ce sont les sous-groupes{e2ikπ/q|k?Z}=μqavecqd´ecrivantN×.(d) On v´erifie sans difficult´e que pour tout nombre premierp,μp∞est un sous-groupe deμ∞.
Il n"est pas de type fini : en effet le sous-groupe deQ/Zqui lui correspond par l"isomorphisme 2 de la question (b) est engendr´e par les classes de rationnels 1/pnmoduloZ,nd´ecrivantN. Un tel sous-groupeGn"a pas de d´enominateur commun, c"est-`a-dire, il n"existe pas d"entierq?Z tel queqG?G. En cons´equence il ne peut pas ˆetre de type fini. est distingu´e dansC(puisqueCest commutatif). Sinest l"indice deGdansC, on a donc n=z?G(cf. exercice 18). D"o`uC?G. L"inclusion inverse est triviale.Correction 32(a) Soit?:Fnp→Fmpun morphisme de groupes. Pour touta?Z, on notea?Z/pZ=Fpsa classe modulop. Tout ´el´ementx?Fnppeut s"´ecrirex= (x
1,...,x
n) avec x= (x1,...,xn)?Zn. On a alors?(a·x) =?(ax) =?(ax) =a?(x) =a·?(x). Le morphisme ?est donc compatible avec les lois externes deFnpetFmp. Comme il est aussi additif, c"est une applicationFp-lin´eaire. (b) Consid´erons l"applicationV: Aut(Z/pZ)→Z/pZqui `a tout automorphismeχassocieχ(1). Cette application est `a valeurs dansZ/pZ\{0}(siχ?Aut(Z/pZ), alors ker(χ) ={0}). C"est un morphisme de Aut(Z/pZ) muni de la composition vers le groupe multiplicatifZ/pZ\{0}=F×p: en effet siχ,χ??Aut(Z/pZ) et si on poseχ?(1) =c(classe dec?Zmodulop), alors(χ◦χ?)(1) =χ(c) =cχ(1) =c·χ(1) =χ?(1)·χ(1) =χ(1)·χ?(1). Ce morphismeVest de
plus injectif puisque tout automorphismeχdeZ/pZest d´etermin´e parχ(1). Enfin, pour touta?Z/pZnon nul, la correspondancen→a·ninduit un automorphismeχdeZ/pZtel que
χ(1) =a. L"image du morphismeVest donc toutF×p. Ce qui ´etablit l"isomorphisme demand´e. (c) D"apr`es la question (a), il s"agit de compter le nombre d"automorphismes lin´eaires duFp-espace vectorielFnp, qui est ´egal au nombre de bases deFnp, c"est-`a-dire (pn-1)(pn-p)···(pn-
p n-1). Correction 34SoitGun groupe ab´elien fini tel quepG={0}. Pour tout entiern?Zet pour toutg?G, l"´el´ementngne d´epend que de la classe denmodulop; on peut le notern·g. La correspondance (n,g)→n·gd´efinit une loi externe sur le groupe additifGet lui conf`ere ainsi une structure deFp-espace vectoriel. Cet espace vectoriel, ´etant fini, est de dimension finie. Il est donc isomorphe comme espace vectoriel, et en particulier comme groupe `a (Z/pZ)n pour un certain entiern?0. Correction 37Le centreZ(G) est ni trivial (carGest unp-groupe) ni ´egal `aG(carGnonab´elien). En utilisant l"exercice 25, on voit qu"il n"est pas non plus d"ordrep2. Il est donc d"ordre
p. Mais alorsG/Z(G) est d"ordrep2et est donc ab´elien (exercice 26). D"apr`es l"exercice 36, on a alorsD(G)?Z(G). CommeD(G)?={1}(sinonGserait ab´elien), on aD(G) =Z(G). 3quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16