Dispositif interférentiel par division du front d’onde

Elle suppose en tout cas le bon choix de l’opération à faire, c’est-à-dire (notamment pour les divisions) une connaissance de l’algorithme qui est en jeu, et réduit la phase de strict calcul ; on peut ainsi éclairer la mise en œuvre de l’algorithme et faciliter sa mémorisation Remarque 3 : division, choix d’une présentation

Dispositif interférentiel par division du front d’onde

de très petite taille epar rapport à la longueur d’onde λ Ces deux trous se comportent alors comme des sources secondaires émettant de la lumière dans toutes les directions du demi-espace aval (par diﬀraction2) On dispose un écran après les trous, dans un premier temps parallèle au plan des sources : Figure VII 2 – Expérience

PARTAGES ET DIVISIONS séance 1 ( lundi - Académie de Rennes

C’est à dire « le nombre de billes ( 28) partagé entre le nombre d’enfants (7) = la part d’un enfant ( ) Pour trouver le nombre manquant , il suffit de lire à l’envers et faire la multiplication à trous Recopier l’exercice suivant sur le cahier rose : 2 – Je résous les divisions suivantes :

Banque de problèmes - Atelier

31 Problème de groupes égaux (division sens « partage ») Mme Boyer veut acheter d’autres crayons pour sa classe Dans la classe, il y a 6 tables sur lesquelles elle entrepose les crayons Si elle en achète 186, combien de crayons va-t-elle distribuer également à chaque table? Problème de groupes égaux (division sens « groupement »)

PROBLEME DE DECORATION FICHE PROFESSEUR

* utilisation d’une division ou d’une multiplication à trous, * déduction du nombre de plinthes compte tenu du résultat (arrondi) • Calcul du prix de revient des plinthes • Nombre de bottes nécessaires pour recouvrir la pièce • Calcul du prix de revient du parquet • Le coût dépasse-t-il le budget de 80€ ?

p dEs RoblèmEs - Editis

des différences et des opérations à trous CE1 Résoudre des problèmes relevant de l’addition, de la soustraction et de la multiplication Approcher la division de 2 nombres entiers à partir d’un problème de partage ou de groupements Résoudre des problèmes de longueur et de masse Organiser les informations d’un énoncé

PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES - Ouvaton

Par ailleurs, le déroulement de ce chapitre conduit à étudier certaines propriétés de l'addition et de la soustraction, puis de la multiplication et de la division, ainsi que leurs relations réciproques (opérations « inverses »), comme autant d’outils permettant à la fois de conceptualiser l'arithmétique et de résoudre des

Divisions euclidiennes et décimales

I) Division euclidienne : a) Introduction à la division : On dispose de 12 bonbons pour 4 enfants et on souhaiterait les partager équitablement Les trois opérations que nous avons étudiées jusqu’à présent ne nous permettent pas de résoudre directement ce problème

[PDF] problème de division cm1

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[PDF] Problème de DM de Mathématiques

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[PDF] Problème de factorisation

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[PDF] Problème de feuilles avec Pythagore

[PDF] probleme de fonction affine

Chapitre VII

Dispositif interférentiel par division du

front d"onde : exemple des trous d"Young

Sommaire

I Trous d"Young ponctuels en milieu non dispersif - interférences non localisées 3

I.1 Milieu dispersif ou non?

3 I.2 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : approche qualitative 4 a - Montage "type" et champ d"interférences 4 b - Hyperboloïdes d"égale intensité - non localisation des interférences 5 I.3 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : observation à grande distance 7 a - Calcul au premier ordre de la différence de marche (calcul à retenir!) 7 b - Zone d"égale intensité - interfrange 8

I.4 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : observation rigoureusement à l"infini

9 a - Montages "types" 9 b - Zone d"égale intensité - interfrange 9 I.5 Prolongement : trous d"Young à l"infini - interférences en ondes planes. 10 a - Montage "type" et champ d"interférences 10 b - Zone d"égale intensité et interfrange 11

II Variation de l"ordre d"interférence...

II.1...par déplacement du point d"observation

12 II.2...par déplacement du point source - problème de la cohérence spatiale 12 a - Calcul de la différence de marche - "glissement" de la figure d"interférences 12 b - Conséquence 1 : perte de contraste avec deux sources ponctuelles décalées 14 c - Conséquence 2 : perte de contraste par élargissement angulaire de la source 17 II.3...par variation de la longueur d"onde - problème de la cohérence temporelle 19 a - Calcul de la différence de marche - "dilatation-compression" de la figure d"interférences 19 1 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

b - Conséquence 1 : perte de contraste avec une raie double 21
c - Conséquence 2 : perte de contraste par élargissement spectral de la source 24

2⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE DES TROUS D"YOUNGI Trous d"Young ponctuels en milieu non dispersif - interférences non localisées

I.1 Milieu dispersif ou non?

Rappelons la définition d"une vibration plane progressive harmonique, et supposons qu"elle se déplace selon

l"axe[Ox)en direction desxcroissants :

ψ(-→r ,t) =ψ0·cos(ωt--→k·-→r) =ψ0·cos(ωt-kx) =ψ(x,t)aveck=nk0=nω

c Appelonsϕ=ωt-kxla phase globale de cette onde.

Entretett+dtle plan d"onde s"est déplacée dexàx+dx, ainsi la variation de la phase doit être nulle si

l"on veut conserver entre ces deux instants, aux positions correspondantes, la même valeur de l"onde.

FigureVII.1 -

Déplacement du plan de phase pendantdt

Formellement, cela s"écrit :

ψ(x,t) =ψ(x+dx,t)⇒ϕ(x,t) =cste

soit : dϕ=ωdt-kdx= 0 qui donne : dx dt k

Cette dernière grandeur est appelée vitesse de déplacement de la phase, ou plus simplementvitesse de

phase 1 v k =1 n k 0=c n(λ)

Dans la mesure où l"indice de réfraction est une fonction de la longueur d"ondeλde la vibration, la vitesse de

phase est, elle aussi lié àλ0. On appelle ce phénomènedispersion de la vitesse de phaseou plus simplement

dispersion. 1.

Ces notions seront développées de manière bien plus approfondies en cours d"électromagnétisme

...Jean-Laurent GRAYE⋄3 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

A retenir :

Hypothèse pour ce cours :

nous considèrerons systématiquement que le milieu est non dispersif, c"est à dire d"indicen indépendant de la longueur d"onde de la vibration considérée. I.2 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : approche qualitative a - Montage "type" et champ d"interférences

Une source uniqueS0monochromatique éclaire un écran opaque dans lequel sont disposés 2 trousS1etS2

de très petite tailleepar rapport à la longueur d"ondeλ. Ces deux trous se comportent alors comme des sources

secondaires émettant de la lumière dans toutes les directions du demi-espace aval (par diffraction

2 ). On dispose un écran après les trous, dans un premier temps parallèle au plan des sources :

FigureVII.2 -

Expérience des trous d"Young

Les 2 ondes issues de chaque trous sont cohérentes et vont donc interférer dans l"espace aval.

A retenir :

Définition - (I.2) - 1:

On appelle champ d"interférences la zone d"espace commune aux deux vibrations cohérentes et dans

laquelle on s"observent les interférences.

NB :les deux faisceaux sont succeptibles de se croiser dans tout le demi-espace en aval des trous; le champ

d"interférences est donc à priori très étendu : Les interférences sont qualifiées de non localisées

Cependant, la nécessité de conserver une différence de marche inférieure à la longueur de cohérence temporelle

entre les deux vibrations en interférences limite ce champ d"interférences; il faut respecterδ=S2M-S1M < Lc

2. On a icie << , on est donc hors cadre de l"optique géométrique

4⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.3 -

Champ d"interférences pour les trous d"Young

b - Hyperboloïdes d"égale intensité - non localisation des interférences

Hypothèses sur les sources :

Les trous d"YoungS1etS2émettent des vibrations sphériques :

1(S1M=r1,t) =s0

1·ej(ωt-k0⌢S1M-ϕS1)

2(S2M=r2,t) =s0

2·ej(ωt-k0⌢S2M-ϕS2)

On se place à une distance de la source tel quer1/2>> λainsi l"amplitude reste quasi-constante 3 ; on prendra donc : On supposeS0S1=S0S2c"est à direϕS1=ϕS2=k0⌢S

0S1=k0⌢S

0S2.

L"intensité s"écrit (formule de Fresnel) :

I(M) = 2I0[1 + cos[∆φ(M)]] = 2I0[1 + cos[k0δ(M)]] avec la différence de marche :δ(M) =⌢S

0S2M-⌢S

0S1M=⌢S

0S2+⌢S

2M-⌢S

0S1-⌢S

1M soit :

δ(M) =⌢S

2M-⌢S

1M Les zones d"égales intensité sont définies par : I(M) =cste⇔∆φ(M) =cste⇔δ(M) =S2M-S1M=cste

Cette dernière équation géométrique définit des hyperboloïdes de foyersS1etS2comme zones d"égale intensité

3. Hypothèse analysée dans le chapitre sur la superposition des ondes lumineuses ...Jean-Laurent GRAYE⋄5 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.4 -

Hyperboloïdes "isophases" donc zones d"égale intensité

Observation des franges sur un écran

: 2 points de vue intéressants! I

Observation dans un planà celui des sources :

Si l"on place l"écran dans le champ d"interférences parallèlement au plan support des trous d"Young, on

obtient une figure d"interférences correspondant aux intersections des hyperboloïdes d"égale intensité avec

le plan de l"écran, soit des hyperboles :

FigureVII.5 -

Plan parallèle à l"axe des sources

I Observation dans un plan⊥à l"axe des sources :

Si l"on place maintenant l"écran dans le champ d"interférences perpendiculairement à l"axe des trous d"Young,

la figure d"interférence correspond à des cercles d"axeS1S2(symétrie de révolution) :

FigureVII.6 -

Plan perpendiculaire à l"axe des sources

6⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

Remarque - (I.2) - 1:

Dans le cas des fentes d"Young, parmi les deux dispositions d"écran présentées ci-dessus, la seule

pratiquement possible pour observer des interférences est celle du plan parallèle à l"axe des sources.

I.3 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : observation à grande distance a - Calcul au premier ordre de la différence de marche (calcul à retenir!)

FigureVII.7 -

Expérience des trous d"Young

Hypothèse :

On envisage ici de placer l"écran d"observation à très grande distance des trous d"Young, soit

D >> a.

On se propose de déterminer l"allure de la figure d"interférences sur l"écran en un point M de coordonnées

(x,y,D).

Evaluonsδ(M):---→S1M=

x-a 2 y-y0 x+a 2 y-y0 d"où :

δ(M) =S2M-S1M=[

x+a 2

2+ (y-y0)2+D2]

1 2 x-a 2

2+ (y-y0)2+D2]

1 2 soit en factorisant parD:

δ(M) =D[

1 +(x+a

2+ (y-y0)2

D 2] 1 2

1 +(x-a

2+ (y-y0)2

D 2] 1 2 qui devient par un simple développement limité au second ordre ena/D,x/D,y/D: ...Jean-Laurent GRAYE⋄7 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

δ(M) =D[

1 + 1 2 x+a 2

2+ (y-y0)2

D 2-1-1 2 x+a 2

2+ (y-y0)2

D 2] soit après calcul,

δ(M) =ax

D et une différence de phase : ∆φ(M) =2πax λD L"intensité sur l"écran en fonction dexs"écrit donc :

I(x) = 2I0[

1 +cos(2πax

λD Par ailleurs, l"ordre d"interférence au pointM(x)est : p(M) =δ(M) =ax λD b - Zone d"égale intensité - interfrange

Exercice de cours:

(I.3) - n°1 Décrire la figure d"interférences obtenue sur l"écran.

Réponse :

I Les zones d"égale intensité sur l"écran sont les droites 4 d"équationx=cste. I On caractérise généralement la figure d"interférences obtenue par son interfrange icorrespondant à

la distance séparant deux maxima ou minima d"intensité. L"interfrange correspondant à une variation de

différence de phase de2π, on a : ∆[∆φ] =2πa

0D∆xmaxi= 2π⇒

i= ∆xmaxi=λ0D a NB 5 4. cas limite des hyperboles à grande distance

8⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

Remarque - (I.3) - 2:

I y

0n"intervenant pas dans le calcul de l"interfrange, on peut remplacer avantageusement les trous

par des fentes fines selonxet parallèles à l"axey⇒augmentation de la luminosité car alors tous

les systèmes d"interférences dûs à chaque point émissif de la source vont se superposer (on dit

qu"il n"y a pas de brouillage). I A grande distance, les franges hyperboles "tendent" vers des droites[Oy]i.e.x=cte. I.4 Trous d"Young éclairés par une source ponctuelle : observation rigoureusement à l"infini

Idée :

on exploite des lentilles! a - Montages "types"

En plaçant une lentille en sortie de l"interféromètre d"Young, on conjugue l"infini avec le plan focal image de

la lentille; on réalise ainsi rigoureusement les conditions d"observation des interférences à l"∞:

FigureVII.8 -

Montage à une lentille

Cette configuration, qui permet d"avoir des rayons émergents deS1etS2rigoureusement parallèles, assure

également des intensités parfaitement identiques pour ces deux rayons, car on montre en analysant le phénomène

de diffraction que cette intensité est directement liée à l"inclinaison des rayons.

On utilise souvent en pratique une seconde lentille permettant de réaliser une source primaire à l"infini. On

concentre ainsi la lumière de la source sur les trous ce qui assure une meilleure luminosité. b - Zone d"égale intensité - interfrange Calculons la différence de marche entre les rayons issus deS1etS2interférant enM

δ(M) =⌢S

0Mrayon2-⌢S

0Mrayon1=⌢S

0S2M-⌢S

0S1M=⌢S

2M-⌢S

1M=⌢S

2H+⌢HM-⌢S

1M ...Jean-Laurent GRAYE⋄9 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.9 -

Montage à deux lentilles

Par ailleurs, la lentille n"introduisant pas de différence de marche entre le plan d"ondeHS1et le point M

image, on a :⌢HM=⌢S 1M donc

δ(M) =⌢S

f Ainsi l"ordre d"interférences au pointMs"écrit : p(M) =δ(M) 0=ax

0f′

et donc un interfrange : i=λ0f′ a L"éclairement sur l"écran en fonction dexs"écrit donc : I (x) = 2I0[

1 +cos(2πax

λf et les zones d"égale intensité sont toujours des droites d"équationx=cste. I.5 Prolongement : trous d"Young à l"infini - interférences en ondes planes. a - Montage "type" et champ d"interférences

En plaçant les trous d"YoungS1etS2dans le plan focal objet d"une lentille convergente, ces derniers occupent

des foyers objets secondaires et engendrent deux faisceaux de lumière parallèles de vecteurs d"onde respectifs-→k1

et-→k2.

Les ondes associées à chaque faisceau sont des ondes planes d"expression au pointMavec--→OM=-→r(M

dans la zone d"interférences) :

10⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.10 -

Interférences en ondes planes

1(-→r ,t) =ψ0·ej(ωt--→k1·-→r-ϕF1)etψ2(-→r ,t) =ψ0·ej(ωt--→k2·-→r-ϕF2|{z}

=ϕF1) b - Zone d"égale intensité et interfrange L"amplitude d"onde totale est obtenue par superposition : ψ(-→r ,t) =ψ1(-→r ,t) +ψ2(-→r ,t)

L"intensité au pointMs"écrit :

I(M) =K

2 [ψ·ψ∗] =K 2 [ψ1(-→r ,t) +ψ2(-→r ,t)]·[ψ∗1(-→r ,t) +ψ∗2(-→r ,t)] soit :

I(M) =K

2ψ20+ψ20(

=K 2

2ψ20+ 2ψ20cos(

(-→k2--→k1)·-→r)] soit en posant l"intensitéI0d"une sourceI0=K 2

ψ20on obtient :

I(M) = 2I0[

1 + cos(

(-→k2--→k1)·-→r)] avec -→k1=-→k0 -sinα 2 0 cos 2 et-→k2=-→k0 sinα 2 0 cos 2 et-→r= x y finalement :

I(M) = 2I0[

1 + cos(

2k0sinα

·x)]

Par ailleurs, en se plaçant en conditions de Gauss pour les faisceaux 1 et 2, on a : sin 2 ≃tanα 2 =a

2f′≃α

2 ...Jean-Laurent GRAYE⋄11 CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

d"où :

I(M) = 2I0[

1 + cos(

k 0a f ′·x)] L"ordre d"interférence au pointMde l"écran s"écrit là-encorep(M) =δ(M) =ax λf

Les franges d"interférences sont les droites d"équationx=cste, l"interfrange étant alorsi=λf′

II Variation de l"ordre d"interférence...

II.1...par déplacement du point d"observation

On rappelle qu"unn ordre entier correspond à une frange brillante et qu"un ordre 1 2 entier à un frange sombre.

Reprenons ici le cas du montage à l"infini (avec 1 ou 2 lentilles convergentes de focalesf′arbitrairement

identiques). L"ordre d"interférence est donné par : p(x) =ax λf La variation élémentaire d"ordre est donc :dp(x) =a λf ′·dx soit : ∆p(∆x) =a λf ′·∆x

Exercice de cours:

(II.1) - n°2 Déterminer le déplacement∆xM->msur l"écran pour passer d"une frange brillante (Maximum d"intensité) à une frange sombre (minimum d"intensité). II.2...par déplacement du point source - problème de la cohérence spatiale a - Calcul de la différence de marche - "glissement" de la figure d"interférences

Reprenons ici le montage à deux lentilles et supposons que le trou sourceS0(/fente source) subisse une

translation selon l"axe[Ox′); on noterax′la coordonnée du point sourceS0: La différence de marche au pointMentre les rayons 1 et 2 s"écrit :

δ(M) =⌢S

0S2M-⌢S

0S1M=⌢S

0S2-⌢S

0S1| {z ⌢H′S2+ ⌢S

2M-⌢S

1M| {z ⌢S2H En supposant que l"indice optique vautn= 1, la différence de marche enMdevient simplement :

δ(M) =H′S2+S2H=a·(sinα′+a·sinα)cond.Gauss≃a·(α′+α)sin≃tan≃a·(x′

f ′1+x f ′2)

12⋄CPGE MP3...

CHAPITRE VII. DISPOSITIF INTERFÉRENTIEL PAR DIVISION DU FRONT D"ONDE : EXEMPLE

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.11 -

Trous d"Young avec translation de la source primaire

L"ordre enMest donc :

p(M) =δ(M) =a

·(α′+α) =a·(x′

f ′1+x f ′2) et l"intensité enMs"écrit ainsi (2 formulations) :

I(α′,α)≃2I0·[

1 + cos(2πa

ou bien :

I(x′,x) = 2I0[

1 + cos[2πa

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Dispositif interférentiel par division du front d’onde

Chapitre VII

Dispositif interférentiel par division du

Sommaire

I.1 Milieu dispersif ou non?

II Variation de l"ordre d"interférence...

II.1...par déplacement du point d"observation

DES TROUS D"YOUNG

2⋄CPGE MP3...

I.1 Milieu dispersif ou non?

FigureVII.1 -

Déplacement du plan de phase pendantdt

Formellement, cela s"écrit :

ψ(x,t) =ψ(x+dx,t)⇒ϕ(x,t) =cste

DES TROUS D"YOUNG

A retenir :

Hypothèse pour ce cours :

FigureVII.2 -

Expérience des trous d"Young

A retenir :

Définition - (I.2) - 1:

4⋄CPGE MP3...

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.3 -

Champ d"interférences pour les trous d"Young

Hypothèses sur les sources :

1(S1M=r1,t) =s0

1·ej(ωt-k0⌢S1M-ϕS1)

2(S2M=r2,t) =s0

2·ej(ωt-k0⌢S2M-ϕS2)

0S1=k0⌢S

L"intensité s"écrit (formule de Fresnel) :

0S2M-⌢S

0S1M=⌢S

0S2+⌢S

2M-⌢S

0S1-⌢S

δ(M) =⌢S

2M-⌢S

DES TROUS D"YOUNG

FigureVII.4 -

Observation des franges sur un écran

Observation dans un planà celui des sources :

FigureVII.5 -

Plan parallèle à l"axe des sources

FigureVII.6 -

Plan perpendiculaire à l"axe des sources

6⋄CPGE MP3...

DES TROUS D"YOUNG

Remarque - (I.2) - 1:

FigureVII.7 -

Expérience des trous d"Young

Hypothèse :

D >> a.

Evaluonsδ(M):---→S1M=

δ(M) =S2M-S1M=[

2+ (y-y0)2+D2]

2+ (y-y0)2+D2]

δ(M) =D[

1 +(x+a

2+ (y-y0)2

1 +(x-a

2+ (y-y0)2

DES TROUS D"YOUNG

δ(M) =D[

2+ (y-y0)2

2+ (y-y0)2

δ(M) =ax

I(x) = 2I0[

1 +cos(2πax

Exercice de cours:

Réponse :

0D∆xmaxi= 2π⇒

8⋄CPGE MP3...

DES TROUS D"YOUNG

Remarque - (I.3) - 2:

0n"intervenant pas dans le calcul de l"interfrange, on peut remplacer avantageusement les trous

Idée :

FigureVII.8 -

Montage à une lentille