Complexes - WordPresscom

Remarque 4 Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur Exemple 8 Écrire sous forme algébrique (a +ib) : 1 le nombre complexe z1 = √1 2−i 2 le nombre complexe z2 = 1+4i 1+i 3 le nombre complexe z3 = 2+5i 3−2i 3

Les nombres complexes - Partie I

B Forme algébrique d'un nombre complexe Fondamental : Théorème (admis) Il existe un ensemble de nombres, noté , qui contient l'ensemble des nombres réels et qui vérifie les propriétés suivantes : contient un nombre noté vérifiant tous les éléments s'écrivent de manière unique sous la forme où a et b sont des nombres réels

NOMBRES COMPLEXES - SUJETEXA

La forme algébrique de 1 3 + 2i est 3 13 - 2 13 i 2°) La forme algébrique de 1 1 + i est 1 2 - 1 2 i La forme algébrique de 1 3 - i est 3 10 + 1 10 i La forme algébrique de 1 i est - i II REPRESENTATION GRAPHIQUE Un nombre complexe est formé de deux nombres réels Or deux nombres réels forment un couple de coordonnées

Complexes - Plus De Bonnes Notes

2 La forme algébrique Théorème Tous les nombres complexes peuvent s’écrire sous la forme = +???? où ????∈ℂ (et ; )∈ℝ2( et sont des réels) Définition Soit ????= +???? un nombre complexe Alors, la partie réelle de ???? est notée ????????(????) et ????????( )=

NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool

Ecrire sous la forme algébrique les complexes suivants puis déterminer leurs modules : 1 1= 2+5???? 1+3???? 2 2= 1+???? ????−3√2 3 √ 3=(2−√3 ????)(2+????) Détemine l’ensem le des points (????) tels que : (????) (????̅) et (1 ????) soit alignés

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Ecrire sous forme algébrique 1 i 1 ( tester à la calculatrice) Quel est l’inverse de 1 i 1 b Soient réels et Déterminer la forme algébrique de l’inverse de z Propriété : Tout nombre complexe non nul admet un inverse dans noté Exemples: Ecrire sous forme algébrique Méthode : on multiplie par le conjugué du dénominateur 3

Nombres complexes - Dyrassa

Remarque (forme algébrique de : Si z a ib+ et zz0 alors z a ib a b i z a b a b a bzz 1 ² ² ² ² ² ² + + +z 1) II)Représentation géométrique d'un nombre complexe Définitions: Soient a et b deux réels Et le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( , , )O u v A tout nombre complexe z a ib+, on associe le point M a b( , )

NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool

Application : Trouver la forme algébrique et déterminer la parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants : z 1 ²i13 i 1 2 zi 2 3 3 13 3 i z i 4 1 32 i z i zi 5 1 10 Solution :1) z i a bi 1 65 Re 6z 1 et z 1 Im 5 2) 32 3 2 3 z i i i i 2 u u u u 1 3 1 3 1 3 3 1 3 3 z i i i 2 u 1 3 3 3 3 3 3 8 0 car Im 0z 2

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours

Donner la forme exponentielle de et z z’ 2 Donner la forme algébrique de (− s+????)2000 3 Retrouver des formules trigonométriques : Donner la forme algébrique de ???? ???? ????( + ) où a et b sont deux réels Retrouver les formules de trigonométrie vues en 1ère S

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5 NOMBRES COMPLEXES

5 Nombres Complexes

5.1 Forme algébrique

Définition 1(Nombres complexes).

On noteile nombre imaginaire tel que :

i 2=-1 On noteCl"ensemble des nombres ditcomplexes, qui s"écrivent : z=a+ib oùa?Retb?R. On peut aussi écrire :

C={a+ib|a?R, b?R}

Remarque.

?Rest inclu dansC, ce qui s"écrit :R?C ?Siz=ibavecb?Ralorszest unimaginaire pur

Exemple 2.

?2 + 3i?C ? i-1?C?32i?C(imaginaire pur) ?4?C(réel) Définition 3(Partie réelle, partie imaginaire et forme algébrique).

Soitz=a+ib?C.

? aest appelépartie réelledezet notéeRe(z) ? best appelépartie imaginairedezet notéeIm(z) ? a+ibest appeléforme algébriquedez

Remarque.

La forme algébrique d"un nombre complexe est unique. On en déduit donc que deux nombres complexes

sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Proposition 4.

Soientz1?Cetz2?C.

1.z1+z2?C

2.?λ?R, λz1?C3.z1×z2?C

4. z1 z2?Cavecz2?= 0

Proposition 5(Règles de calcul).

Soientz1=a1+ib1?Cetz2=a2+ib2. On a :

1+z2= (a1+a2) +i(b1+b2)

et z

1z2= (a1a2-b1b2) +i(a1b2+a2b1)

IUT de Cachan GEII21

5.2 Conjugué5 NOMBRES COMPLEXES

Exemple 6.

?(1 +i) + (2-3i) = 3-2i ? i(3 + 4i) =-4 + 3i ?(1 + 2i)(2 +i) = 2 +i+ 4i-2 = 5i

Proposition 7(Identités remarquables).

Soienta?Retb?R. On a :

1.(a+ib)2=a2-b2+ 2iab

2.(a-ib)2=a2-b2-2iab

3.(a+ib)(a-ib) =a2+b2

5.2 Conjugué

Définition 8(Conjugué).

Soitz=a+ib?C. On note

zleconjuguédez, défini par : z=a-ib

Exemple 9.

2 + 3i= 2-3i

i-1 =-i-1?

32i=-32i

4 = 4

Proposition 10.

Soitz?C. On a :

? z= z?z?Rest un réel ? z=- z?z?iRest un imaginaire pur ? z= z

Proposition 11.

Soitz=a+ib?C. On a :

z z= (a+ib)(a-ib) =a2+b2

Méthode

Pour mettre un quotient de nombres complexes

z1 z2sous forme algébrique, on multiplie en haut et en bas parz2.

Exemple 12.

Mettrez=2 + 3i

1-isous forme algébrique.

z=2 + 3i

1-i=(2 + 3i)(1 +i)(1-i)(1 +i)=2 + 2i+ 3i-31 +i-i+ 1=-1 + 5i2=-12+52i

IUT de Cachan GEII22

5.3 Interprétation géométrique5 NOMBRES COMPLEXES

Proposition 13(Propriétés du conjugué).

Soientz1?Cetz2?C.

1. z1+z2=z1+z2 2. z1z2=z1×z23. ?z1 z2? z1 z2avecz2?= 0 4. zn1= (z1)npour toutn?Z

5.3 Interprétation géométrique

On munitR2d"un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

Définition 14(Image et affixe).

Soitz=a+ib?C. Le nombre complexezest représenté par le pointMdeR2de coordonnées(a,b).

On dit queMest l"imagedezet quezest l"affixedeM.

Exemple 15.

12345

1 2 3 4 5 6 7 8

O? M1? M2 M3? M4? z

1= 1 +iest l"affixe deM1

? z

2= 4 + 3iest l"affixe deM2

? z

3= 7est l"affixe deM3

? z

4= 4iest l"affixe deM4

Définition 16(Module et argument).

Soitz=a+ib?C.

?On appellemoduledezLA valeur notée|z| ?R+définie par : |z|=⎷ zz=⎷a2+b2=OM oùOest l"origine du repère etMl"affixe dez ?On appelleargumentdezUNE valeur notéearg(z)?Rdéfinie par : arg(z) =?-→i ,--→OM? ou encore ?cos(arg(z)) =a |z| sin(arg(z)) =b |z|?ı O? Mab |z| arg(z)

IUT de Cachan GEII23

5.4 Forme trigonométrique5 NOMBRES COMPLEXES

Exemple 17.

Soitz= 2-2i.

?Le conjugué dezest z= 2 + 2i ?Le module dezest|z|=⎷ a2+b2=⎷22+ 22= 2⎷2 ?L"argument dezest tel que :???????cos(arg(z)) =a |z|=22⎷2=⎷ 2 2 sin(arg(z)) =b |z|=-22⎷2=-⎷ 2 2

Doncarg(z) =-π

4 ?Le module de zest|z|=⎷a2+b2=|z|= 2⎷2 ?L"argument de zest tel que :???????cos(arg( z)) =22⎷2=⎷ 2 2 sin(arg( z)) =22⎷2=⎷ 2 2

Doncarg(

z) =π4On peut retrouver toutes ces informations graphiquement. -1 -2 -31 23

1 2 3-1-2-3

O M(z)

2⎷2-π4

?M(z)

2⎷2π

Proposition 18.

Soitz?C. On a :

|z|= 0?z= 0

5.4 Forme trigonométrique

Proposition 19.

Soitz?Ctel quez=a+ib.zpeut s"écrire sous la forme : z=r(cos(θ) +isin(θ)) oùr=|z|etθ= arg(z) [2π]. Cette forme est appeléeforme trigonométrique.

IUT de Cachan GEII24

5.5 Forme exponentielle5 NOMBRES COMPLEXES

Méthode

Pour mettre un nombre complexez=a+ibsous forme trigonométrique,

1. On calcule le module dez:|z|=⎷

a2+b2

2. On cherche l"argument dez:?????cos(arg(z)) =a

|z| sin(arg(z)) =b |z|

3. On conclue :z=|z|(cos(arg(z)) +isin(arg(z)))

Exemple 20.

Soitz= 1 +i⎷

3. Mettrezsous forme trigonométrique.

1. On calcule le module de|z|:

|z|=?

12+ (⎷3)2= 2

2. On cherche l"argument dez:?????cos(arg(z)) =1

2 sin(arg(z)) =⎷3 2 doncarg(z) =π

3[2π]

3. On conclue :

z= 2? cos?π 3? +isin?π3??

5.5 Forme exponentielle

Proposition 21.

Soitz?Ctel quez=a+ib.zpeut s"écrire sous la forme : z=reiθ oùr=|z|etθ= arg(z) [2π]. Cette forme est appeléeforme exponentielle.

Exemple 22.

Soitz= 1 +i⎷

3. Mettrezsous forme exponentielle.

On utilise la même méthode que pour mettre sous forme trigonométrique mais on change la conclusion.

1. On calcule le module dez:|z|= 2

2. On cherche l"argument dez:arg(z) =π

3[2π]

3. On conclue :

z= 2eiπ 3

5.6 Propriétés

Théorème 23(Formules d"Euler).

Soitθ?R, on a :

cos(θ) =eiθ+e-iθ

2etsin(θ) =eiθ-e-iθ2i

IUT de Cachan GEII25

5.7 Équations à coefficients complexes 5 NOMBRES COMPLEXES

Remarque.

Les formules d"Euler permettent notamment de linéariser des expressions de la formecosn(x)ousinn(x)

avecn?Zun entier.

Exemple 24.

Linéarisersin(3x)cos2(x). On utilise les formules d"Euler : sin(3x)cos2(x) =ei3x-e-i3x

2i×?eix+e-ix2?

2 =ei3x-e-i3x2i×(eix+e-ix)24 (ei3x-e-i3x)(ei2x+ 2eixe-ix+e-i2x) 8i (ei3x-e-i3x)(ei2x+ 2 +e-i2x) 8i ei5x+ 2ei3x+eix-e-ix-2e-i3x-e-i5x 8i (ei5x-e-i5x) + 2(ei3x-e-i3x) + (eix-e-ix) 8i

2isin(5x) + 2×2isin(3x) + 2isin(x)

8i sin(5x) + 2sin(3x) + sin(x) 4

Proposition 25(Propriétés du module).

Soientz1?Cetz2?C.

1.|z1z2|=|z1| × |z2|

2.????z

1 z2???? =|z1||z2|avecz2?= 0 3.| z1|=|z1|4.|zn1|=|z1|npour toutn?Z

5.|z1|2=z1

Proposition 26(Propriétés de l"argument).

Soientz1?Cetz2?C.

1.arg(

z1) =-arg(z1) [2π]

2.arg(-z1) = arg(z1) +π[2π]

3.arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]4.arg?z1

z2? = arg(z1)-arg(z2) [2π]avecz2?= 0

5.arg(zn1) =narg(z1) [2π]pour toutn?Z

5.7 Équations à coefficients complexes

On cherche à résoudre l"équation :

2+bz+c= 0

oùa?C?,b?Cetc?C.

Mais siΔ?C\Ralors⎷

Δn"a pas de sens...

IUT de Cachan GEII26

5.7 Équations à coefficients complexes 5 NOMBRES COMPLEXES

Définition 27(Racine carrée d"un complexe).

Soitz=a+ib?C. On appelleracine carréedezles nombres complexesZtels que : Z 2=z

Méthode

Pour trouver les racines carrées d"un nombre complexe,

1. On poseZ=α+iβ

2. On développeZ2= (α+iβ)2

2=α2-β2+ 2iαβ

3. On identifie les parties réelles, les parties imaginaireset les modules deZ2etz

2=z?α2-β2+ 2iαβ=a+ib

d"où ?Re(Z2) =Re(z)

Im(Z2) =Im(z)

|Z2|=|z|??????α

2-β2=a

2αβ=b

2+β2=⎷

a2+b2

4. On trouveαetβ(et doncZ=α+iβ) en résolvant ce dernier système

Remarque.

Il ne faut pas écrire

a+ib, cela n"a pas de sens!

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5 NOMBRES COMPLEXES

5 Nombres Complexes

5.1 Forme algébrique

Définition 1(Nombres complexes).

On noteile nombre imaginaire tel que :

C={a+ib|a?R, b?R}

Remarque.

Exemple 2.

Soitz=a+ib?C.

Remarque.

Proposition 4.

Soientz1?Cetz2?C.

1.z1+z2?C

2.?λ?R, λz1?C3.z1×z2?C

Proposition 5(Règles de calcul).

Soientz1=a1+ib1?Cetz2=a2+ib2. On a :

1+z2= (a1+a2) +i(b1+b2)

1z2= (a1a2-b1b2) +i(a1b2+a2b1)

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5.2 Conjugué5 NOMBRES COMPLEXES

Exemple 6.

Proposition 7(Identités remarquables).

Soienta?Retb?R. On a :

1.(a+ib)2=a2-b2+ 2iab

2.(a-ib)2=a2-b2-2iab

3.(a+ib)(a-ib) =a2+b2

5.2 Conjugué

Définition 8(Conjugué).

Soitz=a+ib?C. On note

Exemple 9.

2 + 3i= 2-3i

32i=-32i

Proposition 10.

Soitz?C. On a :

Proposition 11.

Soitz=a+ib?C. On a :

Méthode

Pour mettre un quotient de nombres complexes

Exemple 12.

Mettrez=2 + 3i

1-isous forme algébrique.

1-i=(2 + 3i)(1 +i)(1-i)(1 +i)=2 + 2i+ 3i-31 +i-i+ 1=-1 + 5i2=-12+52i

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5.3 Interprétation géométrique5 NOMBRES COMPLEXES

Proposition 13(Propriétés du conjugué).

Soientz1?Cetz2?C.

5.3 Interprétation géométrique

On munitR2d"un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

Définition 14(Image et affixe).

On dit queMest l"imagedezet quezest l"affixedeM.

Exemple 15.

1 2 3 4 5 6 7 8

1= 1 +iest l"affixe deM1

2= 4 + 3iest l"affixe deM2

3= 7est l"affixe deM3

4= 4iest l"affixe deM4

Définition 16(Module et argument).

Soitz=a+ib?C.

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5.4 Forme trigonométrique5 NOMBRES COMPLEXES

Exemple 17.

Soitz= 2-2i.

Doncarg(z) =-π

Doncarg(

1 2 3-1-2-3

2⎷2-π4

2⎷2π

Proposition 18.

Soitz?C. On a :

5.4 Forme trigonométrique

Proposition 19.

IUT de Cachan GEII24

5.5 Forme exponentielle5 NOMBRES COMPLEXES

Méthode

1. On calcule le module dez:|z|=⎷

2. On cherche l"argument dez:?????cos(arg(z)) =a

3. On conclue :z=|z|(cos(arg(z)) +isin(arg(z)))

Exemple 20.