Problèmes d’optimisation - Collège de lAbbaye
Problèmes d’optimisation ( Analyse - Dérivées ) Exercice 1 : Soit un triangle ∆ABC rectangle en B avec AB = c et BC = a M est un point quelconque du segment ]BC[, N = p(AB)(M)∈(AC) et P = p(BC)(N)∈(AB) Le quadrilatère MNPB ainsi construit est un rectangle Etudier les variations du périmètre et de l’aire du rectangle BMNP
Série dexercices Math corrigés
6 Problèmes du premier et du second degré 2ème Sciences 09 – 10 www espacemaths com Exercice N°10 : « Problèmes d’optimisation » 1 Soient x et y les dimensions du rectangle, on a : 2(x + y) = 40 Û x + y = 20 Û y = 20 – x
Optimisation discrète, Séance 5 : Exercices corrigés
Optimisation discrète, Séance 5 : Exercices corrigés PROGRAMMATION LINÉAIRE Objectifs Optimisation linéaire sous contraintes linéaires Aspects algébriques et géométriques Algorithme du sim-plexe Solutions entières Certains résultats (cités pour la continuité de l’exposé) n’ont pas à être démontrés Etude d’un exemple
Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous
Éléments de correction pour le TD d’optimisation sous contrainte(s) d’égalité Exercice 1 Danstouslescasétudiés,lesfonctionsetcontraintessontclairementC1
OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE
Le recueil d’exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne les domaines des Mathématiques répertoriées sous les vocables d’Optimisation et Analyse convexe L’Optimisation est traitée dans ses aspects suivants : la clé de voûte que constituent les conditions d’optimalité (chapitres II et III); le rôle
Exercice 1: problème de maximisation de lutilité
pour réduire la consommation d'un bien, il faut augmenter la consommation de l'autre si on veut maintenir le niveau d'utilité inchangé Cela signi e que, pour tout panier de consommation ( x;y), le TMS x;y(x;y) est positif 1 C'est le cas le plus courant dans les problèmes de micro ( xet ysont tous les deux des biens , aucun n'est un mal )
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4
ème
A + E Février 2003
Problèmes d'optimisation
( Analyse - Dérivées ) Exercice 1 : Soit un triangle ABC rectangle en B avec AB = c et BC = a . M est un point quelconque du segment ]BC[, N = p(AB) (M)(AC) et P = p (BC) (N)(AB). Le quadrilatère MNPB ainsi construit est un rectangle .Etudier les variations du périmètre et de l'aire du rectangle BMNP. Exercice 2: Soit un R.O.N. R = (O , Åi , Åj ), le cercle C (O,OA), A(a,0) et a > 0.
M est un point du segment ]O,A[.
Etudier les variations de l'aire du rectangle OMNP, où N est le point du cercle C tel que (MN) // (OJ) et P = p(OA) (N)(OJ). Exercice 3: Soit un R.O.N. R = (O , Åi , Åj ), le graphique f de la fonctio définie par y = f(x) = ax2 + bx + c, et a < 0 , c > 0 et b = 0 .M est un point du segment ]O,A[ et A
f [O,I). Etudier les variations de l'aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique f tel que (MN) // (OJ) et P = p (OA)(N)(OJ). Exercice 4: Soit un R.O.N. R = (O , Åi , Åj ) et la fonctio définie par y = f(x) =
2 x1 32 .M est un point du segment ]O,A[ et A f
[O,I). Etudier les variations de l'aire du rectangle OMNP, où N est le point du graphique f tel que (MN) // (OJ) et P = p (OA) (N)(OJ). Exercice 5 : Soit un rectangle ABCD de côté AB=a et BC=b et le triangle isocèle exinscrit EFG.Etudier les variations de l'aire de ce triangle.
f 4ème
A + E Février 2003
Problèmes d'optimisation - corrigés
( Analyse - Dérivées ) Exercice 1 : Soit un triangle ABC rectangle en B avec AB = c et BC = a .M est un point quelconque du segment ]BC[, N = p
(AB) (M)(AC) et P = p (BC) (N)(AB). Le quadrilatère MNPB ainsi construit est un rectangle . Etudier les variations du périmètre et de l'aire du rectangle BMNP. Posons la variable x = BM et le paramètre y = BP Aire : s(x) = BM BP = x y ; or y = f(x) si (AC) = féquation de (AC) :
y -y o = m(x - x o ) et x o = 0 , y o = c et m =0-ac- 0
y = ac-x + c = f(x) d'où s(x) = x( ac-x + c) = ac-x 2 + cx et s'(x) = a2c-x + c = 0 x =2a : M milieu de [B,C] si a = c = 1, y = f(x) = -x + 1 et
s(x) = -x 2 + x s'(x) = -2x + 1 = 0 x = 21(maximum)
Exercice 2: Soit un R.O.N. R = (O ,
Åi , Åj
), le cercle C (O,OA), A(a,0) et a > 0.M est un point du segment ]O,A[.
Etudier les variations de l'aire du rectangle OMNP, où N est le point du cercleC tel que (MN) // (OJ) et P = p
(OA) (N)(OJ). Posons la variable x = OM et le paramètre y = OPAire : s(x) = OM
OP = x y ; or y = f(x) si car N
f d'où s(x) = x x- a 22et s'(x) = x- a 22
+ x 22
xax 2222
xax2a et s'(x) = 0 a 2 - 2x 2 = 0 x =
22a si a = 1, y = f(x) =
x- 1 2 et s(x) = 22x1x21 s'(x) = 1 - 2x 2 = 0 x = 22