Espaces vectoriels - Claude Bernard University Lyon 1
???? ( 4, 5) 4est un sous-espace vectoriel de supplémentaire ???? ( 1, 2, 3) dans ℝ Allez à : Correction exercice 13 Exercice 14
TD 19 Les espaces vectoriels - heb3org
Exercice 17 : [corrigé] Montrer que l’ensemble des fonctions affines A est un sous-espace vectoriel de RR Puis, donner une base de cet ensemble Exercice 18 : [corrigé] (Q 1) Montrer que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y′ − xy = 0est un sous-espace vectoriel de F(R, R)
Exercices 11 Espaces vectoriels et applications linéaires
18 Sur le nombre de supplémentaires d’un sous-espace vectoriel non trivial ♪ Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ˚2 On considère un sous-espace vectoriel F de dimen-sion p, avec 0 ˙p ˙n et G un supplémentaire de F 1)Soit a 2F et (ei)i2‡1,r une base de G a)Montrer que la famille (a ¯ei)i2‡1,r est libre
Exercice 1 F R - cours, examens
Exercices Corrig es Premi eres notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 { On consid ere le sous-espace vectoriel F de R4 form e des solutions du syst eme suivant : (x 1 x 2 x 3 + 2x 4 = 0 (E 1) x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 0 (E 2) : 1) En r esolvant ce syst eme suivant l’algorithme du cours, donner une base de F Quelle est la dimension de F ?
CPGE- Lyc ee technique Exos corrig es alg ebre lin eaire Math
Exercices corrig es de l’ Alg ebre lin eaire programme sup Exercice 1 : Montrer que F= f (x;y;z;t) 2R 4 = x= y gest un R espace vectoriel R eponse 1 : Il su t de montrer que F est un sous -espace vectoriel de R 4
Exo7 - Exercices de mathématiques
3 est un sous-espace vectoriel 4 E 4 n’est pas un sous-espace vectoriel Indication pourl’exercice3 N 1 Discuter suivant la dimension des sous-espaces 2 Penser aux droites vectorielles Indication pourl’exercice4 N 1 E 1 est un sous-espace vectoriel de R3 si et seulement si a =0 2 E 2 est un sous-espace vectoriel 3 E 3 n’est pas
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1
Exercices corrig´es Alg`ebre lin´eaire 1 1 Enonc´es Exercice 1 On rappelle que (E,+,·) est un K-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif;
Exercices
Un espace vectoriel ne peut pas être constitué d’un nombre fini d’éléments ? Les fonctions de [0,1] dans [0,1] forment un sous-espace vectoriel de l’ensemble des fonctions de R dans R ? On note E l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3 E est un espace vectoriel sur R Dans E, un
Exercices avec corrig e succinct du chapitre 1
Montrer que l’ensemble des polyn^omes de degr e exactement egal a nn’est pas un espace vectoriel Solution : Cet ensemble n’a pas d’ el ement nul pour l’addition puisque le polyn^ome nul n’est pas de degr e n Exercice I 4 Montrer que si ~xest un vecteur de IR2, alors F= f ~x; 2IRgest un sous-espace vectoriel de IR2
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Exercices corrig´es
Alg`ebre lin´eaire 1
1 Enonc´es
Exercice 1On rappelle que (E,+,·) est unK-espace vectoriel si (I) (E,+) est un groupe commutatif; (II-1)?x,y?E,?α?K,α·(x+y) =α·x+α·y; (II-2)?x?E,?α,β?K, (α+β)·x=α·x+β·x; (II-3)?x?E,?α,β?K,α·(β·x) = (αβ)·x; (II-4) 1·x=x.Soit (E,+,·) unK-espace vectoriel. On note 0El"´el´ement neutre de (E,+) (que l"on appelle aussi
l"originede (E,+,·)) et 0Kle nombre z´ero (dansK). Pour toutxdansE, le sym´etrique dexest not´e
-x. (1) Montrer que, pour toutx?E,x+x= 2·x. (2) Montrer que, pour toutx?E, 0K·x= 0E. (3) Montrer que, pour toutx?E, (-1)·x=-x. Exercice 2SoientF1,...,Fmdes sous-espaces vectoriels d"unR-espace vectoriel (E,+,·). Montrer queF:=F1∩...∩Fmest un sous-espace vectoriel deE. Exercice 3Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,{x1,...,xm}une famille de vecteurs deE. Montrer queF:= vect{x1,...,xm}est un sous-espace vectoriel deE. Exercice 4Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel,Fun sous-espace vectoriel deEetA,Bdeux sous-ensembles deE. (1) Montrer que, siA?B, alors vectA?vectB. (2) Montrer queAest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si vectA=A. (3) Montrer que, siA?B?FetAengendreF, alorsBengendreF. Exercice 5Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 -1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((2 1 0 -1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? Est-ce une base deR4? Exercice 6Consid´erons les vecteurs deR4suivants : e 1=( ((1 1 1 1) )),e2=( ((0 1 2 1) )),e3=( ((1 0 -2 3) )),e4=( ((1 1 2 -2) 1 (1) La famille{e1,e2,e3,e4}est-elle libre? (2) Quel est le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}?(3) D´eterminer une relation entre les nombres r´eelsαetβpour que le vecteuru= (1,1,α,β)t
appartienne au sous-espace vectoriel engendr´e par la famille{e1,e2,e3,e4}. Exercice 7SoitE=RR, l"espace des fonctions deRdansR. (1) Soientcetsles fonctions d´efinies par ?x?R, c(x) = cosxets(x) = sinx. Montrer que{c,s}est une famille libre deE. Quelle est la dimension du sous-espace vectorielT engendr´e par la famille{c,s}? (2) Soientα,β,γtrois r´eels fix´es. Soientf,g,hles fonctions d´efinies par ?x?R, f(x) = cos(x+α), g(x) = cos(x+β) eth(x) = cos(x+γ). Montrer quef,g,happartiennent `aT, et expliciter leurs coordonn´ees dans la base{c,s}deT. La famille{f,g,h}est-elle libre? Quel est son rang?(3) Soienta1,a2,a3trois r´eels distincts. Pour tout entierk? {1,2,3}on notefkla fonction d´efinie
surRpar ?x?R, fk(x) =|x-ak|.Montrer que{f1,f2,f3}est une famille libre deE.
Exercice 8(1) On rappelle queC0(R) d´esigne l"espace des fonctions continues deRdansR. Montrer queA:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =f(-x)}etB:={f? C0(R)|?x?R, f(x) =-f(-x)}sont des sous-espaces vectoriels deC0(R). Sont-ils en somme directe? (2) Montrer queA:={(x,y,z)?R3|x+y+z= 0}etB:={(x,y,z)?R3|x-y+z= 0}sont des sous-espaces vectoriels deR3. Sont-ils en somme directe? Exercice 9(1) SoientF:={(x,x,x)?R3|x?R}etG:={(0,y,z)?R3|y,z?R}. Montrer que FetGsont deux sous-espaces vectoriels deR3. Pr´eciser leurs bases et leurs dimensions. Sont-ils en somme directe? (2) SoitH:={(x,y,z,t)?R4|x= 2y-z, t=x+y+z}. V´erifier queHest un sous-espace vectoriel deR4. En donner une base et la dimension. Exercice 10Soient (E,+,·) unR-espace vectoriel etA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deE. (1) Montrer que (A∩C)+(B∩C)?(A+B)∩C. Donner un exemple dansR2pour lequel l"inclusion est stricte. (2) Montrer que, siA+B=A+C,A∩B=A∩CetB?C, alorsB=C. Exercice 11On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R3 (x y z) (-x+ 2y+ 2z -8x+ 7y+ 4z -13x+ 5y+ 8z) (1) Montrer que?est une application lin´eaire. D´eterminer l"image par?des vecteurs de la base canonique{e1,e2,e3}deR3. Calculer?(2e1+e2-e3). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. 2 (3) L"application?est-elle injective? surjective? bijective? (4) Soitψl"application lin´eaire donn´ee parψ:R2-→R3
x y? (x-y x+y x+ 2y)D´eterminer?◦ψ.
Exercice 12On consid`ere l"application donn´ee par ?:R3-→R2 (x y z) ?-→?y+z x? ainsi que les vecteursu:= (1,2,3)tetv:= (1,1,1)t. (1) Montrer que?est lin´eaire. D´eterminer?(u),?(v) et?(u-2v). (2) D´eterminer le noyau de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. (3) D´eterminer l"image de?. En donner une base et pr´eciser sa dimension. Exercice 13SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels et?une application lin´eaire deEdansF. SoitA:={x1,...,xm}une famille de vecteurs deE.
(1) Montrer que, siAest li´ee, alorsf(A) ={?(x1),...,?(xm)}est li´ee. (2) Montrer que, si?(A) est libre, alorsAest libre. (3) Montrer que, siAest libre et?est injective, alors?(A) est libre.2 Solutions
Solution de l"exercice 1
(1) Pour toutx?E, 2·x= (1 + 1)·x= 1·x+ 1·x=x+x, o`u l"on a utilis´e successivement les
axiomes (II-2) et (II-4). (2) On a : 0K·x= (0K2)·x
= 0K·(2·x) [d"apr`es l"axiome (II-3)]
= 0K·(x+x) [d"apr`es la question (1)]
= 0K·x+ 0K·x.
En simplifiant (c"est-`a-dire, en ajoutant-(0K·x) des deux cˆot´es), on obtient l"´egalit´e 0E= 0K·x.
(3) D"apr`es la question (2), 0 E= 0K·x= (1 + (-1))·x= (1·x) + ((-1)·x) =x+ ((-1)·x), o`ula troisi`eme ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-2) et o`u la derni`ere ´egalit´e r´esulte de l"axiome (II-4).
On en d´eduit que (-1)·xest le sym´etrique dex, c"est-`a-dire,-x. Solution de l"exercice 2: Nous devons montrer que pour tousx,y?Fet pour toutα?R, x+αy?F. Soient doncx,y?Fetα?Rquelconques. Par d´efinition de l"intersection, pour tout k? {1,...,m},x,y?Fk. CommeFkest un sous-espace vectoriel deEnous d´eduisons que x+αy?Fk, 3 et ce pour toutk? {1,...,m}. Doncx+αyappartient `a l"intersection desFk, c"est-`a-dire, `aF. Solution de l"exercice 3: Remarquons tout d"abord queFest non vide, puisque que 0E= 0·x1+···+ 0·xm?F.
Soientx,y?Fetα?Rquelconques. Alorsxetys"´ecrivent avecα1,...,αm,β1,...,βm?R. Donc, x+αy= (α1x1+···+αmxm) +α(β1x1+···+βmxm) = (α1+αβ1)x1+···+ (αm+αβm)xm.Par cons´equent,x+αyest une combinaison lin´eaire des vecteursx1,...,xm, c"est-`a-dire, un ´el´ement
deF.Solution de l"exercice 4:
(1) Supposons queA?B, et montrons que tout ´el´ement de vectAappartient `a vectB. Soit doncx quelconque dans vectA. SiA=∅, alors vectA={0}et doncxest forc´ement le vecteur nul. Comme vectBest un sous-espace vectoriel, vectB?0 et l"on a bien vectA?vectB. SiAest non vide, alors PuisqueA?B, lesxksont aussi dansB, de sorte quexest une combinaison lin´eaire de vecteurs deB, c"est-`a-dire, un ´el´ement de vectB. On a donc encore vectA?vectB. (2) Supposons queA= vectA. Puisque vectAest un sous-espace vectoriel, il en est de mˆeme deA. R´eciproquement, supposons queAsoit un sous-espace vectoriel, et montrons queA= vectA.Remarquons que tout ´el´ement deAest une combinaison lin´eaire particuli`ere d"´el´ements deA
(prendrep= 1,α1= 1 etx1=x). Donc on a clairement l"inclusionA?vectA. De plus, siA est un sous-espace vectoriel, alorsAest non vide. Soit alorsx?vectA: PuisqueAest stable par combinaison lin´eaire,x?A. On a donc aussi l"inclusion vectA?A. (3) D"apr`es le point (1), vectA?vectB?vectF. Or, vectF=FpuisqueFest un sous-espace vectoriel. De plus, vectA=FpuisqueAengendreF. Finalement, on a :F?vectB?F,
ce qui montre que vectB=F. Autrement dit,BengendreF.Solution de l"exercice 5: On r´esout l"´equation vectorielleαe1+βe2+γe3+δe4=0. Ceci revient
r´esoudre le syst`eme lin´eaire???? ??0 =α+γ+ 2δ,0 =α+β+δ,
0 =α+ 2β-2γ,
0 =α-β+ 3γ-δ.
On trouve que la seule solution possible estα=β=γ=δ= 0. Donc la famille{e1,e2,e3,e4}est libre, et puisque son cardinal est ´egal `a la dimension deR4, c"est une base deR4. 4Solution de l"exercice 6:
(1) On r´esout l"´equation vectorielleαe1+βe2+γe3+δe4=0. Ceci revient r´esoudre le syst`eme
lin´eaire ??0 =α+γ+δ,0 =α+β+δ,
0 =α+ 2β-2γ+ 2δ,
0 =α+β+ 3γ-2δ.
On trouve que ce syst`eme est ´equivalent au syst`eme ?0 =α+γ+δ,0 =β-γ,
0 =γ-δ.
Ce syst`eme admet d"autres solutions que la solution nulle. On en d´eduit que{e1,e2,e3,e4}n"est pas libre.(2) D"apr`es ce qui pr´ec`ede, le rang de la famille{e1,e2,e3,e4}est inf´erieur ou ´egal `a 3. On consid`ere
alors la famille{e1,e2,e3}. On v´erifie facilement qu"elle est libre, de sorte que le rang cherch´e
est en fait ´egal `a 3. (3) Pour queuappartienne ausevengendr´e par{e1,e2,e3,e4}, il faut que l"´equation vectorielle u=αe1+βe2+γe3+δe4 admette au moins une solution. On cherche donc `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire ??1 =α+γ+δ,1 =α+β+δ,
a=α+ 2β-2γ+ 2δ, b=α+β+ 3γ-2δ. On v´erifie que ce syst`eme est ´equivalent au syst`eme ??1 =α+γ+δ,0 =β-γ,
a-1 =-γ+δ, b-1 = 3γ-3δ.En consid´erant les deux derni`eres ´equations, on voit que le syst`eme n"a de solution que sib-1 =
-3(a-1), c"est-`a-dire, sib+ 3a= 4.Solution de l"exercice 7:
(1) Consid´erons l"´equationαc+βs= 0 dansRR. Cette ´equation est ´equivalente `a ?x?R, αcosx+βsinx= 0. Les choixx= 0 etx=π/2 donnent respectivementα= 0 etβ= 0. La famille{c,s}est donc libre, et la dimension deTest ´egale `a 2. (2) Puisque cos(x+α) = cosxcosα-sinxsinα, on voit que f= cosα·c-sinα·s?T et que les coordonn´ees defdans la base{c,s}deTsont donn´ees par le couple (cosα,-sinα).De mˆeme,
g= cosβ·c-sinβ·s?Teth= cosγ·c-sinγ·s?T; 5 les coordonn´ees degethdans la base{c,s}deTsont donn´ees respectivement par les couples(cosβ,-sinβ) et (cosγ,-sinγ). La fammille{f,g,h}ne peut pas ˆetre libre, puisque son cardinal
est ´egal `a 3 alors que la dimension de l"espace vectorielTest ´egale `a 2. Son rang vaut au plus
2 (car dimT= 2) et au moins 1 (car les fonctionsf,g,hsont non nulles). Le rang est ´egal `a 1
lorsquef,g,hsont colin´eaires, c"est-`a dire lorsqu"il existeaetbdansRtels quef=ag=bhou, de mani`ere ´equivalente, lorsque ?cosα -sinα? =a?cosβ -sinβ? =b?cosγ -sinγ?Des ´equations cosα=acosβet sinα=asinβon tire, en les ´elevant au carr´e et en les sommant,
quea2= 1, c"est-`a-dire, quea? {-1,1}. Sia= 1, alorsβ=α+ 2kπ, et sia=-1, alorsβ=α+π+ 2kπ. En r´esum´e,fetgsont colin´eaires si et seulement siβ? {α}+πZ. De mˆeme,
fethsont colin´eaires si et seulement siγ? {α}+πZ. La famille{f,g,h}est donc de rang 1lorsqueα,βetγdiff`erent d"un multiple entier deπ; elle est de rang 2 dans le cas contraire.
(3) Consid´erons l"´equationαf1+βf2+γf3= 0 dansRR, qui ´equivaut `a la condition ?x?R, αf1(x) +βf2(x) +γf3(x) = 0. Les choixx=a1,x=a2etx=a3donnent respectivement les ´equationsβ|a1-a2|+γ|a1-a3|= 0,
α|a2-a1|+γ|a2-a3|= 0,
α|a3-a1|+β|a3-a2|= 0.
Posonsa:=|a3-a1|,b:=|a3-a2|etc:=|a1-a2|. Le syst`eme d"´equations pr´ec´edent s"´ecrit ?0 =aα+bβ,0 =cα+bγ,
0 =cβ+aγ.
En r´esolvant ce syst`eme lin´eaire, et en tenant compte du fait quea,betcsont non nuls, on voit
que la seule solution possible estα=β=γ= 0. On peut aussi ´ecrire le syst`eme sous forme matricielle, et remarquer, pour arriver `a la mˆeme conclusion, que la matrice ?a b0 c0b 0c a? a pour d´eterminant le r´eel non nul-2abc.