CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques 2009-2010 Exercice 1 Soit B une forme bilinéaire sur un espace vectoriel elér V et soit q sa forme quadratique associée 1 Montrer l'identité de Cauchy
MATHÉMATIQUES Corrigé du TD Formes quadratiques
Corrigé ex 47 : Réduction de formes quadratiques Cet exercice reprend les matrices symétriques de l’exercice 41 Matrice A 1 = 4 5 5 4 La forme quadratique associée est Q(x 1;x 2) = 4x2 +10x 1x 2 +4x2 La matrice de passage Ppermet d’obtenir les coordonnées (y 1;y 2) par la formule Y = tPX On a trouvé dans l’exercice 41 P= 1 p 2 1
TD7 : formes quadratiques - DMA/ENS
Solution de l’exercice 3 La forme f n’a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par d e nition) Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos : il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ou 2 K n(K)2 En particulier, ce cas n’arrive
Corrig´e du devoir surveill´e n 1
Exercice I Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin´eaire f : R3 ×R3 → R d´efinie par
Exo7 - Exercices de mathématiques
1 Vérifier que Q est une forme quadratique sur E 2 Déterminer en fonction de l et m le rang et la signature de Q Analyser en particulier les cas (l;m) = (1;0) et (l;m)=(0;1) Correction H [005807] Exercice 3 ** Soit Q une forme quadratique sur un R-espace vectoriel E On note j sa forme polaire
S Rigal, D Ruiz, et J C Satg¶e January 2, 2009
2-1 EXERCICES CORRIGES¶ 15 2-1 Exercices corrig¶es 2-1 1 Exercice 4a { Formes bilin¶eaires et quadratiques Les questions 1 et 2 sont ind¶ependantes
Chapitre 5 Formes quadratiques et matrices sym´etriques
Chapitre 5 Matrices sym´etriques et formes quadratiques 71 “en coordonn´ees rectangulaires”, f(X,Y)= " ix iy i,etlanormecarr´eeQ(X)= i x 2 Un espace vectoriel dot´e d’une forme bilin´eaire d´efinie positive est appel´e espace euclidien
Formes bilinØaires et formes quadratiques, orthogonalitØ
servent à rØduire une forme quadratique à la forme diagonale par les di⁄Ørentes mØthodes, en montrant le lien spØci–que entre ce cours et le cours d™algŁbre 3 qui traite la diagonalisation des endomorphismes et
Quadriques - michelquerciafreefr
Exercice 2 Repère non orthonormé Soit S une surface d’équation ax 2+by +cz2 +2dxy +2exz +2fyz +2gx+2hy +2iz +j = 0 dans un repère non orthonormé Montrer que c’est quand même une quadrique Exercice 3 Centre de symétrie Soit S une quadrique d’équation f(x,y,z) = 0 On note q la forme quadratique associée à f
M42–uncorrigédel’examendumercredi23mai2018
UniversitédeLille Année2017-2018 LicenceMathématiques2èmeannée Semestre4 M42–uncorrigédel’examendumercredi23mai2018 Exercice 1 (questionsdecours) (1
[PDF] forme quadratique matrice
[PDF] montrer que q est une forme quadratique
[PDF] dessin industriel cours pdf
[PDF] coupes et sections dessin technique exercices corrigés
[PDF] bases du dessin technique pdf
[PDF] dessin technique
[PDF] cours et exercices avec solutions
[PDF] dessin technique exercices corrigés pdf
[PDF] cours de dessin technique mécanique pdf
[PDF] cours d'échographie gratuit
[PDF] manuel d'échographie
[PDF] cours echographie abdominale pdf
[PDF] prf doppler
[PDF] principe d'échographie
Chapitre5.Matricessym´e trique setformesquadratiques.67 Chapitre5.Formesquadr atique setmatricessym´et riques.
1.For mesbilin´eaires ,formesquadratiques
1.1.Forme sbilin´eaireset quadratiques
Onad ´ej `arencontr´elanot iondeformemultilin´eaire(Chap.2).Su runesp acevectorie l E,onappelleformebilin´eair er´eelleuneapplicat ionquifai tcorrespondre`atoutepairede vecteursX,Y!Eunno mbrer´eelf(X,Y),ce tteapplicati on´etantlin´eaireenXetenY, donc f(! 1 X 1 2 X 2 ,Y)=! 1 f(X 1 ,Y)+! 2 f(X 2 ,Y) f(X,µ 1 Y 1 2 Y 2 1 f(X,Y 1 2 f(X,Y 2 ).(1.1) Lafo rmebilin´eaireestd itesym´etriquesif(X,Y)=f(Y,X).Exemples.Leproduitscalaire
X.Ydansl'es paceeuclidienR
n estun eformebil in´eaire sym´etrique.Lacomposantesurunaxed onn ´eduproduitvectoriel X"Ydansl'es pace
R 3 estun eformebil in´eaire,maispassy m´etrique(elleestenfaitantisy m´etrique!).Sig ethsontdeuxfon ctionsd'un evariabler´eelle,int´egrabl essuruni nte rvalle(a,b),f(g,h)= b a g(x)h(x)dxestun eformebil in´eairesym´etriq ueengeth. Lepr emierexemplesugg`ere lad´efinitionsuiva nte:Etantdonn´ee uneformebilin´eaire
Etantdonn´ee laformebilin´eairef(X,Y),on luiass ocieuneformequadrat iqueparQ(X)=f(X,X).(1.2)
Biensˆur, cetteformequadra tiquen'estpaslin ´eaire:Q(!X)=! 2Q(X).In versement
pourtoutef ormequadratique Q,onpeutconstruireuneformebilin´eairesym´etriquef bilin´earit´e etsio nfa itl'hy poth`esequefestsym ´etrique,f(X,Y)= 1 2 (f(X+Y,X+Y)#f(X,X)# f(Y,Y))= 1 2 (Q(X+Y)#Q(X)#Q(Y)).J.-B.Z.7Mars2013
68M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
n cor- respondlaformequadrati que$ X$ 2 X. Xquiestl anormeca rr´ee( lalongueurcarr´ ee) duve cteurX.Demˆeme,
b a f 2 (x)dxestun enormecar r´eepourlesfonctio ns(decarr´e int´egrable)sur(a,b). Th´eor`emedePythagore.Soitfunefo rmebilin´eairesy m´etrique,Qlafo rme quadratiqueassoci´ee,onapourt outepairedevecteursorthogonaux %X,Y:f(X,Y)=0=&Q(X+Y)=Q(X)+Q(Y),(1.4) quid´ec oulede(1.3).1.2.Forme sd´efiniespositi ves
Ondi tquelafor mequadrat iqueQestd´efiniepositivesi %X'=0!EQ(X)>0,(1.5) etdo ncQ(X)=0sietseulementsiX=0.Laformeestsemi-d´efiniepositivesil' in´egalit´e n'estpasstrict e:%X'=0!EQ(X)(0,el leestind´efiniesiQ(X)peutprendreun signeoul'autr eselonla valeurdeX.Parabusdelangageonditd'uneformebilin´eairequ'elleestd´efiniep ositive,s emi-d´efiniepositive, etc,sila formeq uadratiqueassoci´ee l'est.
n estd´ efinipositif,Q( X) d´efinissantlanormecarr´ee,c' est-`a -direlalongueur carr´eeduvecteu rX.Aucontraire,
dansl'es pace-tempsdelaRelativit´erestreinte(espa ced eMinkowski),laformequadratiqueQ(X)=c
2 t 2 #x 2 1 #x 2 2 #x 2 3 estin d´efinie:lesquadrivecteursde" genr etemps" ontune normecarr´ee positive,ceuxde"genreespa ce"unenormecarr´een´egat ive,ceuxde"genre lumi`ere"unenormenulle.Dan sl'espaceR 2 ,laformequadratiqueQ(X)=x 1 x 2 est ind´efinieetlaformeQ (X)=(x 1 #x 2 2 estsemi -d´efiniepositive,pourquoi? Sila formes ym´etriquefestd ´efiniepositive,pourto utepaireX,Ydeve cteursnon colin´eairesettoutr´eel!,levecteur!X+Yn'estpasnul,donc Q(!X+Y)>0est strictementpositif.OrQ(!X+Y)=!
2Q(X)+2!f(X,Y)+Q(Y).
estun trinˆ omeduseconddegr´een!,etlefaitqu'ilesttoujoursstrictementpositifimplique quesond iscrimina ntestn´egatif,donc =f(X,Y) 2 #Q(X)Q(Y)<07Mars2013J.-B.Z.
Chapitre5.Matricessym´e trique setformesquadratiques.69Enre vanchesiXetYsontcolin´ea ires,ilexisteun!
0 telque! 0X+Y=0,etalors
Q(!X+Y)(0s'annuleen!
0 maisnechan gepasd esigne,sondiscrimin antestnul .On obtientainsil'in´egalit´edeSchwarz |f(X,Y)|)(Q(X)Q(Y)) 1 2 ,(1.6) avec´egali t´esietseulementsiXetYsontcolin´ea ires. 3 ,cettein´egalit´enousditque X. Y|)$ X$$ Y$ ouen core,sionserappellel aformul ede trigonom´ etriecos#= X. Y X"" Y" ,que|cos#|)1, avec´egali t´essi#=0ou$donc Xet Ycolin´eaires.Plusg´en´eralement,po urtouteform ebilin´eaired´efiniepositive,l'in´ egalit´edeSchwarz (1.6)nous permetded´e finir(ausignepr`es
et`a 2$pr`es)l'angle#entredeuxvecteurs XetYparcos#=f(X,Y)/(Q(X)Q(Y)) 1 2