Processus de Poisson homogènes Application à des données

Processus de Poisson Leçons : 263, 264 Soit (,F,P) un espace probabilisé Déﬁnition 1 Un processus de comptage est une suite de variables aléatoires réelles (N(t))t¾0 telles que 1 N(0) = 0 2 8t ¾ 0,N(t) 2N 3 t 7N(t) est croissante Du point de vue de la modélisation, 80 ¶ a ¶ b, N(b) N(a) représente le nombre de

Processus de Poisson - univ-tlemcendz

3 Processus de Poisson : 3 1 Première définition : Un processus de Poisson avec intensité ???? est un processus de renouvellement dont les durées de vie suivent une loi ℇ???? L’appellation processus de Poisson est justifiée par le théorème suivant : 3 2 Théorème : Si ( ; ≥0) est un processus de renouvellement avec

Processus de Poisson

Introduction Il existe plusieurs types de processus de Poisson Dans ce mémoire, ce sont les processus "temporels" qui seront abordés, mais il existe également des processus de Poisson dans le plan

Processus ponctuel de Poisson - École Polytechnique

Th´eor`eme 1 2 Sous les conditions pr´ec´edentes, le processus de pointage (T n) n d´eﬁni par la r´eunion de {T1 n; n ≥ 1} et {T2 n; n ≥ 1} est un processus de pointage associ´e a un processus de Poisson de param`etre λ= λ 1 +λ 2 D´emonstration Il suﬃt de remarquer que le processus de comptage Nassoci´e au processus de

Processus de Poisson homogènes Application à des données

Un processus de comptage est dit à accroissements indépendants si les nombres de tops se produisant dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants 1 2 Processus de Poisson homogènes - Première approche Déﬁnition 1 Un processus de comptage {N(t) ; t ≥ 0} est appelé processus de Poisson d’intensité λ > 0 si : a) N(0) = 0;

Processus de Poisson - Université libre de Bruxelles

2 Soient fN(t) jt2R+gun processus de Poisson de paramètre et fY n jn2Ngune chaîne de Markov de matrice P, indépendante de fN(t)g Notons T 0 = 0, et T 1;T 2; les instants successifs d'arrivées dans le processus de Poisson On dé nit le processus fZ(t) jt2R+gde la façon suivante : Z(t) = Y n 8t2[T n;T n+1[:

Processus de Poisson - IREM Clermont-Ferrand

Processus de Poisson D’après « Construction d’un modèle de Poisson » de Michel Henry Dans Autour de la modélisation en probabilités, Presses Universitaires Franc-Comtoises, 2001 Rappel des programmes de BTS « La loi de Poisson est introduite comme correspondant au nombre de réalisations observées, durant un intervalle

LE PROCESSUS DE POISSON - univ-rennes1fr

File d’attente M=M=1 et processus de Poisson Dans la cadre d’une ﬁle d’attente M=M=1, la loi des inter-arrivées est E( ), et celle des temps de service est E( ) Le processus d’arrivée des clients au serveur est donc un processus de Poisson simple de paramètre De plus, en régime stationnaire, le processus de sortie du système est

Porcessus de Poisson Exercices solutionnØs

modØliser cette situation à l™aide d™un processus de Poisson En e⁄et, si nous dØ–nissons un ØvØnement comme Øtant le versement de dividendes et, pour tout nombre rØel positif t, N (t) = le nombre de versements de dividendes durant l™intervalle de temps (0;t];

Processus markoviens de sauts - lpsmparis

On parle alors de processus de Markov standard On démontre que cette condition implique, pour tout couple (i,j), l’aspect C1 des fonctions p ij(t), c’est-à-dire de la matrice de transition P(t) Pour dériver la matrice P en t = 0, il suﬃt de dériver terme à terme ses coeﬃcients p ij(t) en t = 0 C’est

Processus de Poisson homogènes

Application à des données génomiques

Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK

P. REYNAUD-BOURET

Table des matièresIntroduction1

1 Processus de Poisson homogènes2

1.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Processus de Poisson homogènes - Première approche . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Une construction des processus de Poisson homogènes . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Application à un exemple concret10

2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Test de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

2.3 R et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Test des TATAAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

2.3.2 Test des gènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13

Bibliographie15

Introduction

Les études de phénomènes aléatoires au cours du temps sont aujourd"hui légions, que ce soit dans le domaine

de la physique nucléaire, de la biologie cellulaire ou bien encore dans des situations concrètes de la vie courante,

comme pour l"étude du congestionnement d"une centrale téléphonique (dépendant du processus des appels

téléphoniques qui se produisent à des instants aléatoires).

Les processus de Poisson (du nom du mathématicien français Siméon Denis Poisson, XIXèmesiècle) sont des

processus ponctuels, les plus simples à étudier. Nous nous contenterons d"approfondir ceux dits homogènes, c"est

à dire de paramètre constant : l"apparition d"évènements est équilibrée au cours d"une période d"étude (concrè-

tement, on peut imaginer que le nombre de coups de fils au coursd"une journée n"augmente pas brusquement

à l"heure du déjeuner), s"opposant ainsi aux processus de Poisson dits inhomogènes.

Les évènements particuliers modélisés seront par la suite appelés des tops : ils peuvent être temporels, par

exemple s"ils représentent le moment d"entrée d"une personne dans un établissement donné (comme une banque),

l"apparition d"un tremblement de terre; ou bien spatiaux, comme la position des gènes sur la chaîne d"ADN...

Ainsi, après avoir défini ce qu"est réellement un processus de Poisson homogène, nous illustrerons ce concept

en essayant de modéliser la position des gènes et de séquences promotrices dans une bactérie (Escherichia Coli)

à partir de son ADN, et ainsi voir si la présence des ces gènes peut être ou non assimilé à un processus de

Poisson. Pour cela nous utiliserons les tests de Kolmogorov- Smirnov (voir [5]) et le logiciel de statistique R

(voir [6]) développé par le Cran (the Comprehensive R Archive Network) (voir [7]).

Fig.1 - Escherichia Coli

Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 1 Processus de Poisson homogènes

1 Processus de Poisson homogènes1.1 Définitions préliminaires

Commençons par énoncer quelques définitions utiles, trouvées dans les livres de références [1], [2] et [3] :

Définition

Un processus stochastique est une fonction aléatoiret?→Xt.

Définition

Désignons parN(t)le nombre de tops se produisant dans l"intervalle de temps[0,t], et supposons que

N(0) = 0. Le processus{N(t) ;t≥0}, est appelé processus de comptage et vérifie : ??t≥0, N(t)?N; ? t?→N(t)est croissante; ??0< a < b, N(b)-N(a)représente le nombre de tops se produisant dans l"intervalle de temps ]a,b].

Définition

Un processus de comptage est dit à accroissements stationnaires si la loi de probabilité du nombre de

tops se produisant dans un intervalle de temps donné ne dépend que de la longueur de celui-ci.

Définition

Un processus de comptage est dit à accroissements indépendants si les nombres de tops se produisant

dans des intervalles de temps disjoints sont indépendants.

1.2 Processus de Poisson homogènes - Première approche

Définition

1. Un processus de comptage{N(t) ;t≥0}est appelé processus de Poisson d"intensitéλ >0si : a)N(0) = 0; b)le processus est à accroissements indépendants; c)le nombre de tops se produisant dans un intervalle de temps delongueurt≥0suit une loi de

Poisson de paramètreλt,ie

?s≥0,?t≥0,?n?N,P(N(s+t)-N(s) =n) =e-λt(λt)nn!

Définition

2. Un processus de comptage{N(t) ;t≥0}est appelé processus de Poisson d"intensitéλ >0si : i)N(0) = 0; ii)le processus est à accroissements indépendants, et stationnaires; iii)P(N(h) = 1) =λh+o(h)pourh→0; iv)P(N(h)≥2) =o(h)pourh→0.

Remarque

: La définition 2 est plus générale que la définition 1 car elle demande principalement que le

processus soit indépendant et stationnaire. Comme nous allons le voir, la loi de Poisson découle des hypothèses

iii) et iv).

Théorème

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes.

Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 2 Processus de Poisson homogènes

Démonstration :

(1?2)(cf. référence[3])

Soit{N(t) ;t≥0}défini par la définition 1 et montrons qu"il vérifie les propriétés de la définition 2.

i)C"est a).

ii)On sait que le processus est à accroissements indépendants par b), et le processus est à accroissements

stationnaires car on voit bien que seule la longueur de l"intervalletintervient dans c). iii)On fait un développement limité pourh→0:

P(N(h) = 1) =λhe-λhd"après c)

=λh(1 +o(1)) (développement limité dee-λhpourh→0) =λh+o(h) iv)On a, pourhau voisinage de 0 :

P(N(h)≥2) =?

k≥2P(N(h) =k) k≥2e-λh(λh)k k!(d"après c)) =e-λh(? k≥0(λh)k k!-1-λh) (on somme surNpuis on retire les deux premiers termes) =e-λh(eλh-1-λh) = 1-e-λh(1 +λh) = 1-(1-λh+o(h))(1 +λh) (développement limité dee-λhpourh→0) = 1-1-λh+λh+o(h) =o(h) (2?1)(cf. référence[1]) Réciproquement, considérons{N(t) ;t≥0}défini par la définition 2. Montrons qu"il vérifie les propriétés de la définition 1. a)C"est i). b)C"est d"après ii).

c)Pour montrer qu"une variable aléatoireN(t)vérifiant la définition 2 suit une loi de Poisson, nous

utiliserons le fait que la transformée de Laplace caractérise la loi. Tout d"abord, calculons la transformée de Laplace d"une loide Poisson. SoitXune variable aléatoire réelle suivant une loi Poisson de paramètreλt >0.

On a alors?u≥0:

E[e-uX] =?

n?Ne-unP(X=n) n?Ne-une-λt(λt)n n! =e-λt? n?N(λte-u)n n! =e-λteλte-u =eλt(e-u-1) SoitN(t)vérifiant la définition 2. Calculons sa transformée de Laplace : fixonsu≥0et définissonsg(t) =E[e-uN(t)].

?h >0on calcule :

g(t+h) =E[e-uN(t+h)] =E[e-uN(t)e-u(N(t+h)-N(t))] =E[e-uN(t)]E[e-u(N(t+h)-N(t))](accroissements indépendants) =g(t).E[e-u(N(h)-N(0))](accroissements stationnaires) =g(t).E[e-uN(h)] (carN(0) = 0) En outre, par iii) on aP(N(h) = 1) =λh+o(h)pourh→0, et, par iv) on aP(N(h)≥2) =o(h)pourh→0d"où :

P(N(h) = 0) = 1-P(N(h)≥1)

= 1-[P(N(h) = 1) +P(N(h)≥2)] = 1-λh+o(h) Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 3 Processus de Poisson homogènes

Ainsi on obtient :

E[e-uN(h)] =?

n≥0e-unP(N(h) =n) =P(N(h) = 0) +e-uP(N(h) = 1) +? n≥2e-unP(N(h) =n)

Or,?n≥2P(N(h)≥2) =?

k≥2P(N(h) =k)? ≥0≥P(N(h) =n),

D"où on a :

n≥0e-un)P(N(h)≥2) = 1-λh+o(h) +e-u(λh+o(h)) + (? n≥0e-un)o(h) = 1-λh(1-e-u) +o(h)(1)

Ainsi on ag(t+h) =g(t)[1-λh(1-e-u) +o(h)]

En procédant de même que dans le cash >0,]0,t+h]et]t+h,t]étant disjoints, on obtient : ?h <0, g(t) =g(t+h).E[e-uN(-h)]ie g(t+h) =g(t)E[e-uN(-h)]

Or d"après 1, on a :

1 E[e-uN(-h)]=11 + (λh(1-e-u) +o(h))= 1-λh(1-e-u) +o(h) Ainsi, on obtientg(t+h) =g(t)[1-λh(1-e-u) +o(h)](comme pour le cash >0)

Finalement,?h?R?,hpetit,

g(t+h)-g(t) h=λg(t)(e-u-1) +1ho(h) donc la limite existe quandh→0. Ainsigest dérivable et g ?(t) =λg(t)(e-u-1)

En outre,?t≥0, g(t)>0d"oùg?(t)

g(t)=λ(e-u-1) ie en intégrant :ln(|g(t)|) =λt(e-u-1) +CavecC?R org(0) = 1d"oùC= 0.

Ainsi on a :

g(t) =eλt(e-u-1) On reconnaît la transformée de Laplace d"une loi de Poisson. On en déduit que N(t) suit une loi de Poisson, d"où c).

1.3 Une construction des processus de Poisson homogènes

Dans cette section, nous allons montrer que de tels processus existent.

Définition

3. Soit(Tn)n≥0une suite croissante de variables aléatoires réelles positives telles que

(T1,T2-T1,···,Tn-Tn-1,···)soit une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi,

suivant une loi exponentielle de paramètreλ >0. On lui associe le processus de comptage{N(t) ;t≥0},

avecN(t) =?

Remarque

: On peut vérifier que c"est bien un processus de comptage. Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 4 Processus de Poisson homogènes

Remarque: On a alors :N(t) =?0si t < T1

n si T

Théorème

Un processus de comptage défini par la définition 3 est un processus de Poisson au sens de la définition

1. Commençons d"abord par montrer quelques lemmes utiles. Lemme 1. ?t≥0,?n≥1,? R n!

Preuve :Soitn≥1et soitt≥0. Alors :?

R R

0dt1]dt2···dtn(Fubini - Tonelli)

R R (k-1)!(tk)k-1dtk···dtn R

0(tk)k-1

(k-1)!dtk]dtk+1···dtn(Fubini - Tonelli) R k!(tk+1)kdtk+1···dtn...(par récurrence, pourk=n-1) (n-1)!(tn)n-1dtn tn n!? Lemme 2. Soit{N(t) ;t≥0}un processus de comptage défini par la définition 3. AlorsN(t)suit une loi uniforme sur le segment[0,t], de densité (t1,···,tn)?→n!

Preuve :(inspirée de la référence [4])

Commençons par calculer la loi deN(t).

Tout d"abord, len-uplet(T1,T2,···,Tn)a pour densité (par rapport à la mesure de Lebesgue)

En effet, soitfune fonction mesurable, positive. Posonsf(T1,···,Tn) =g(T1,T2-T1,···,Tn-Tn-1).

E[f(T1,···,Tn) ] =E[g(t1,t2-t1,···,tn-tn-1) ] R R

Ainsi on obtient,?t?R+,?n?N,

R R R te-λtn+1dtn+1]dt1···dtn(par Fubini - Tonelli) =e-λtλn? R =e-λt(λt)n n!(par le lemme 1)

On obtient donc la première partie du lemme :

P(N(t) =n) =e-λt(λt)n

n! Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 5 Processus de Poisson homogènes Calculons la loi de(T1,···,Tn)sachantN(t) =n: ?Γ?Rnmesurable, on a, comme?t >0,?n?N,P(N(t) =n)?= 0, P((T1,···,Tn)?Γ|N(t) =n) =P(N(t)=n,(T1,···,Tn)?Γ)

P(N(t)=n)

=n! e-λt(λt)n? n! e-λttn? tλe-λtn+1dtn+1]dt1···dtn(Fubini - Tonelli) n! tn? Ainsi{(T1,···,Tn)|N(t) =n}a pour densité(t1,···,tn)?→n!

Lebesgue surRn.

SoientS1,···,Sndes variables aléatoires indépendantes, de loi uniforme sur le segment[0,t],

(ie

Si on note{S?1,···,S?n}les variables aléatoires obtenues en réordonnant{S1,···,Sn}dans l"ordre crois-

sant, alors len-uplet(S?1,···,S?n)a pour densité :(s?1,···,s?n)?→n! tnds?1···ds?n. On reconnaît la densité de {(T1,···,Tn)|N(t) =n}, d"où le lemme 2.? Lemme 3. Soit{N(t) ;t≥0}un processus de comptage défini par la définition 3.

P(N(rj)-N(rj-1) =nj;j? {1,2,···,k}) =k?

j=1e -λ(rj-rj-1)[λ(rj-rj-1)]nj nj!

Preuve :(inspirée de la référence [4])

Soit0 =r0< r1<···< rk=tune subdivision quelconque de[0,t]. Avec les mêmes notations que dans la

preuve du lemme 2, si on note(N?b-N?a)le nombre de variables aléatoiresSkdans l"intervalle]a,b](ce qui est

également le nombre deS?kdans]a,b]car on ne fait que reprendre les mêmes variables aléatoires mais dans un

ordre différent), on a : P(N?r j-N?r nj!? r j-rj-1t? nj.

En effet, puisqueS1,···,Sniid≂U([0,t]), alors(N?1,···,N?k)forme un vecteur de loi multinomiale de

paramètres : ? n(nombre de tirages indépendants) avec?ki=1ni=n; ? p j=rj-rj-1

Ainsi,{(T1,···,Tn)|N(t) =n}ayant même loi que{S?1,···,S?n}, on obtient donc que :

P(N(rj)-N(rj-1) =nj?

n r j-rj-1t? nj (avecn=?kj=1nj, sinon cette probabilité est nulle).

Pour se débarrasserdu conditionnement, on multiplie parP(N(t) =n). Rappelons queP(N(t) =n) =e-λt(λt)n

n!(cf. lemme 2).

Ainsi, on a :

=e-λt(λt)(Pkj=1nj) ?n!· ?n!?kj=11nj!? r j-rj-1t? nj =e-λ[Pkj=1(rj-rj-1)]?kj=1(λ?t)nj nj!(rj-rj-1)nj?tnj =?kj=1e-λ(rj-rj-1)[λ(rj-rj-1)]nj nj! et ce?0 =r0< r1<···< rk=tsubdivision de[0,t], d"où le lemme 3.? Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 6 Processus de Poisson homogènes Démontrons à présent le théorème 2. Démonstration :Soit{N(t) ;t≥0}un processus de comptage défini par la définition 3. a)N(0) = 0carT1>0presque sûrement.

Montrons que{N(t) ;t≥0}est à accroissements indépendants, et que le nombre de tops dans l"intervalle

[s,s+t],N(s+t)-N(s)suit une loi de Poisson de paramètreλt,ie

P(N(s+t)-N(s) =n) =e-λt(λt)nn!

P(N(rj)-N(rj-1) =nj;j? {1,2,···,k}) =k?

j=1e -λ(rj-rj-1)[λ(rj-rj-1)]nj nj! Ainsi,?s,t >0, (pourr0= 0,r1=s,r2=s+t), on aP(N(s) =k,N(s+t)-N(s) =n) =e-λs(λs)k k!·e-λt(λt)nn!et en sommant sur lesk, on obtient :

P(N(s+t)-N(s) =n) =?

k?NP(N(s) =k,N(s+t)-N(s) =n) k?N[e-λs(λs)k k!]·e-λt(λt)nn! =e-λt(λt)n n!Finalement,?s,t >0, N(s+t)-N(s)suit une loi de Poisson, d"où c).

Et de plus, on obtient queP(?

On en déduit donc que le processus est bien à accroissements indépendants, d"où b). Cela conclut donc la démonstration du théorème 2.

Théorème

Soit{N(t) ;t≥0}défini par la définition 1. Notons(Xn)n≥1les sauts (Xnreprésente l"instant du

nièmetop). Alors la suite(Xn)ainsi définie vérifie la définition 3.

Remarque

: La démonstration de ce théorème est à peine évoquée dans [4]. Ce qui suit constitue notre travail

théorique principal.

Démonstration :

Reprenons les mêmes notations que dans le théorème 3, et considérons(Tn)n≥1vérifiant la définition 3.

On peut alors définir un processus{N?(t) ;t≥0}au sens de la définition 3.

1èreétape : Montrons que?n≥1,?Γ?Rnmesurable, on a :

P((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n) =P((T1,···,Tn)?Γ|N?(t) =n) Par le lemme 2, on sait queN?(t)suit une loi de Poisson, et que?Γ?Rnmesurable,

P((T1,···,Tn)?Γ|N?(t) =n) =n!

tn? 1

1èresous-étape :Cas particulier des pavés rangés.

ConsidéronsΓ =?kj=1]rj-1,rj]nj.

Montrons queP((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n) =n! tn? Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK 7 Processus de Poisson homogènes

PosonsP=P((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n).

On a :{N(rj)-N(rj-1)=nj}={X(Pj-1

={(X(Pj-1

D"où on obtient :P=P({(X(Pj-1

Ainsi :

P(N(t) =n)

Or, d"après la définition 1, on sait que?t≥0, N(t)suit une loi de Poisson de paramètreλt, et que le processus

est à accroissements indépendants. Les intervalles]rj-1,rj]étant disjoints, on obtient : nj! =e-λt(λt)n n!n!?kj=11nj!? r j-rj-1t? nj

D"oùP=n!

tn?kj=1(rj-rj-1)njnj!. nj!=? R P=n! tn?kj=1[? R n! tn? R La mesure de Lebesgue étant invariante par translation, on obtient : P=n! tn? R =n! tn? R =n! ie

P((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n) =n!tn?

2èmesous-étape :Cas des pavés quelconques.

Montrons que pour tout pavéΓ =?ni=1]αi,βi], on a :

P((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n) =n!

tn? 1 On a bien sûr,Γ =?ni=1]αi,βi]mesurable dansRnmuni de la mesure de Lebesgue.

[PDF] Processus de Poisson homogènes Application à des données

Processus de Poisson homogènes

Application à des données génomiques

Mélisande ALBERT - Nicolas OGOREK

P. REYNAUD-BOURET

Table des matièresIntroduction1

1 Processus de Poisson homogènes2

1.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Processus de Poisson homogènes - Première approche . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Une construction des processus de Poisson homogènes . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Application à un exemple concret10

2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Test de Kolmogorov - Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 10

2.3 R et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Test des TATAAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 11

2.3.2 Test des gènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 13

Bibliographie15

Introduction

Fig.1 - Escherichia Coli

1 Processus de Poisson homogènes1.1 Définitions préliminaires

Définition

Définition

Définition

Définition

1.2 Processus de Poisson homogènes - Première approche

Définition

Poisson de paramètreλt,ie

Définition

Remarque

Théorème

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes.

Démonstration :

P(N(h) = 1) =λhe-λhd"après c)

P(N(h)≥2) =?

On a alors?u≥0:

E[e-uX] =?

 ?h >0on calcule :

P(N(h) = 0) = 1-P(N(h)≥1)

Ainsi on obtient :

E[e-uN(h)] =?

Or,?n≥2P(N(h)≥2) =?

D"où on a :

Ainsi on ag(t+h) =g(t)[1-λh(1-e-u) +o(h)]

Or d"après 1, on a :

Finalement,?h?R?,hpetit,

En outre,?t≥0, g(t)>0d"oùg?(t)

Ainsi on a :

1.3 Une construction des processus de Poisson homogènes

Définition

Remarque

Remarque: On a alors :N(t) =?0si t < T1

Théorème

Preuve :Soitn≥1et soitt≥0. Alors :?

0dt1]dt2···dtn(Fubini - Tonelli)

0(tk)k-1

Preuve :(inspirée de la référence [4])

Commençons par calculer la loi deN(t).

Ainsi on obtient,?t?R+,?n?N,

On obtient donc la première partie du lemme :

P(N(t) =n) =e-λt(λt)n

P(N(t)=n)

Lebesgue surRn.

P(N(rj)-N(rj-1) =nj;j? {1,2,···,k}) =k?

Preuve :(inspirée de la référence [4])

P(N(rj)-N(rj-1) =nj?

Ainsi, on a :

P(N(s+t)-N(s) =n) =e-λt(λt)nn!

P(N(rj)-N(rj-1) =nj;j? {1,2,···,k}) =k?

P(N(s+t)-N(s) =n) =?

Et de plus, on obtient queP(?

Théorème

Remarque

Démonstration :

1èreétape : Montrons que?n≥1,?Γ?Rnmesurable, on a :

P((T1,···,Tn)?Γ|N?(t) =n) =n!

1èresous-étape :Cas particulier des pavés rangés.

ConsidéronsΓ =?kj=1]rj-1,rj]nj.

PosonsP=P((X1,···,Xn)?Γ|N(t) =n).

On a :{N(rj)-N(rj-1)=nj}={X(Pj-1

D"où on obtient :P=P({(X(Pj-1

?h >0on calcule :

Commençons par calculer la loi deN(t).